Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvel 33770
Description: Elementhood of preimage maps produced by the "less than or equal to" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvclteel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvel.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ dom 𝑃)
dstfrvel.2 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dstfrvel (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴))

Proof of Theorem dstfrvel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
31, 2rrvvf 33741 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
4 dstfrvel.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ dom 𝑃)
53, 4ffvelcdmd 7086 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ∈ ℝ)
6 dstfrvel.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴)
7 breq1 5150 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘‹β€˜π΅) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐴 ↔ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴))
87elrab 3682 . . . 4 ((π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ↔ ((π‘‹β€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴))
95, 6, 8sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴})
103ffund 6720 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
111, 2rrvdm 33743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = βˆͺ dom 𝑃)
124, 11eleqtrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom 𝑋)
13 fvimacnv 7053 . . . 4 ((Fun 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑋) β†’ ((π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ↔ 𝐡 ∈ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴})))
1410, 12, 13syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ↔ 𝐡 ∈ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴})))
159, 14mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}))
16 orvclteel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
171, 2, 16orrvcval4 33761 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}))
1815, 17eleqtrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104  {crab 3430  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111   ≀ cle 11253  Probcprb 33704  rRndVarcrrv 33737  βˆ˜RV/𝑐corvc 33752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-esum 33324  df-siga 33405  df-sigagen 33435  df-brsiga 33478  df-meas 33492  df-mbfm 33546  df-prob 33705  df-rrv 33738  df-orvc 33753
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  33771
  Copyright terms: Public domain W3C validator