Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvel 31788
Description: Elementhood of preimage maps produced by the "less than or equal to" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvel.1 (𝜑𝐵 dom 𝑃)
dstfrvel.2 (𝜑 → (𝑋𝐵) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dstfrvel (𝜑𝐵 ∈ (𝑋RV/𝑐𝐴))

Proof of Theorem dstfrvel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvvf 31759 . . . . 5 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
4 dstfrvel.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 dom 𝑃)
53, 4ffvelrnd 6843 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵) ∈ ℝ)
6 dstfrvel.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵) ≤ 𝐴)
7 breq1 5055 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋𝐵) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑋𝐵) ≤ 𝐴))
87elrab 3666 . . . 4 ((𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ↔ ((𝑋𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑋𝐵) ≤ 𝐴))
95, 6, 8sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
103ffund 6507 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑋)
111, 2rrvdm 31761 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = dom 𝑃)
124, 11eleqtrrd 2919 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑋)
13 fvimacnv 6814 . . . 4 ((Fun 𝑋𝐵 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})))
1410, 12, 13syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})))
159, 14mpbid 235 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
16 orvclteel.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
171, 2, 16orrvcval4 31779 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
1815, 17eleqtrrd 2919 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋RV/𝑐𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115  {crab 3137   cuni 4824   class class class wbr 5052  ccnv 5541  dom cdm 5542  cima 5545  Fun wfun 6337  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  cle 10674  Probcprb 31722  rRndVarcrrv 31755  RV/𝑐corvc 31770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-ioo 12739  df-topgen 16717  df-top 21502  df-bases 21554  df-esum 31344  df-siga 31425  df-sigagen 31455  df-brsiga 31498  df-meas 31512  df-mbfm 31566  df-prob 31723  df-rrv 31756  df-orvc 31771
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  31789
  Copyright terms: Public domain W3C validator