Theorem dstfrvel 34781

Description: Elementhood of preimage maps produced by the "less than or equal to" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvel.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ dom 𝑃)
dstfrvel.2	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dstfrvel	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem dstfrvel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstfrv.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvvf 34751	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
4		dstfrvel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ dom 𝑃)
5	3, 4	ffvelcdmd 7070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ∈ ℝ)
6		dstfrvel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴)
7		breq1 5108	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋‘𝐵) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴))
8	7	elrab 3653	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ ((𝑋‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴))
9	5, 6, 8	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})
10	3	ffund 6700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
11	1, 2	rrvdm 34753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
12	4, 11	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑋)
13		fvimacnv 7038	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})))
14	10, 12, 13	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})))
15	9, 14	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}))
16		orvclteel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	1, 2, 16	orrvcval4 34772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}))
18	15, 17	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  {crab 3417  ∪ cuni 4868   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652   “ cima 5655  Fun wfun 6519  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087   ≤ cle 11232  Probcprb 34714  rRndVarcrrv 34747  ∘_RV/𝑐corvc 34763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioo 13367  df-topgen 17486  df-top 23012  df-bases 23064  df-esum 34335  df-siga 34416  df-sigagen 34446  df-brsiga 34489  df-meas 34503  df-mbfm 34557  df-prob 34715  df-rrv 34748  df-orvc 34764

This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  34782