Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvel 33467
Description: Elementhood of preimage maps produced by the "less than or equal to" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvclteel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvel.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ dom 𝑃)
dstfrvel.2 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dstfrvel (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴))

Proof of Theorem dstfrvel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
31, 2rrvvf 33438 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
4 dstfrvel.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ dom 𝑃)
53, 4ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ∈ ℝ)
6 dstfrvel.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴)
7 breq1 5151 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘‹β€˜π΅) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐴 ↔ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴))
87elrab 3683 . . . 4 ((π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ↔ ((π‘‹β€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜π΅) ≀ 𝐴))
95, 6, 8sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴})
103ffund 6721 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
111, 2rrvdm 33440 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = βˆͺ dom 𝑃)
124, 11eleqtrrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom 𝑋)
13 fvimacnv 7054 . . . 4 ((Fun 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ dom 𝑋) β†’ ((π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ↔ 𝐡 ∈ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴})))
1410, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜π΅) ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ↔ 𝐡 ∈ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴})))
159, 14mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}))
16 orvclteel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
171, 2, 16orrvcval4 33458 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}))
1815, 17eleqtrrd 2836 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  {crab 3432  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108   ≀ cle 11248  Probcprb 33401  rRndVarcrrv 33434  βˆ˜RV/𝑐corvc 33449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ioo 13327  df-topgen 17388  df-top 22395  df-bases 22448  df-esum 33021  df-siga 33102  df-sigagen 33132  df-brsiga 33175  df-meas 33189  df-mbfm 33243  df-prob 33402  df-rrv 33435  df-orvc 33450
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  33468
  Copyright terms: Public domain W3C validator