Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvel 31788
 Description: Elementhood of preimage maps produced by the "less than or equal to" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvel.1 (𝜑𝐵 dom 𝑃)
dstfrvel.2 (𝜑 → (𝑋𝐵) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dstfrvel (𝜑𝐵 ∈ (𝑋RV/𝑐𝐴))

Proof of Theorem dstfrvel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvvf 31759 . . . . 5 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
4 dstfrvel.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 dom 𝑃)
53, 4ffvelrnd 6843 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵) ∈ ℝ)
6 dstfrvel.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵) ≤ 𝐴)
7 breq1 5055 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋𝐵) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑋𝐵) ≤ 𝐴))
87elrab 3666 . . . 4 ((𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ↔ ((𝑋𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑋𝐵) ≤ 𝐴))
95, 6, 8sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
103ffund 6507 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑋)
111, 2rrvdm 31761 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = dom 𝑃)
124, 11eleqtrrd 2919 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑋)
13 fvimacnv 6814 . . . 4 ((Fun 𝑋𝐵 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})))
1410, 12, 13syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})))
159, 14mpbid 235 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
16 orvclteel.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
171, 2, 16orrvcval4 31779 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
1815, 17eleqtrrd 2919 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋RV/𝑐𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2115  {crab 3137  ∪ cuni 4824   class class class wbr 5052  ◡ccnv 5541  dom cdm 5542   “ cima 5545  Fun wfun 6337  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534   ≤ cle 10674  Probcprb 31722  rRndVarcrrv 31755  ∘RV/𝑐corvc 31770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-ioo 12739  df-topgen 16717  df-top 21502  df-bases 21554  df-esum 31344  df-siga 31425  df-sigagen 31455  df-brsiga 31498  df-meas 31512  df-mbfm 31566  df-prob 31723  df-rrv 31756  df-orvc 31771 This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  31789
 Copyright terms: Public domain W3C validator