Theorem dstfrvel 34985

Description: Elementhood of preimage maps produced by the "less than or equal to" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dstfrvel.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ dom 𝑃)
dstfrvel.2	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dstfrvel	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem dstfrvel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstfrv.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvvf 34955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
4		dstfrvel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∪ dom 𝑃)
5	3, 4	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ∈ ℝ)
6		dstfrvel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴)
7		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑋‘𝐵) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴))
8	7	elrab 3645	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ ((𝑋‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘𝐵) ≤ 𝐴))
9	5, 6, 8	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})
10	3	ffund 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
11	1, 2	rrvdm 34957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
12	4, 11	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑋)
13		fvimacnv 7045	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑋) → ((𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})))
14	10, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ↔ 𝐵 ∈ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴})))
15	9, 14	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}))
16		orvclteel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	1, 2, 16	orrvcval4 34976	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}))
18	15, 17	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   ≤ cle 11268  Probcprb 34918  rRndVarcrrv 34951  ∘_RV/𝑐corvc 34967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13402  df-topgen 17528  df-top 23119  df-bases 23171  df-esum 34538  df-siga 34619  df-sigagen 34650  df-brsiga 34693  df-meas 34707  df-mbfm 34761  df-prob 34919  df-rrv 34952  df-orvc 34968

This theorem is used by:  dstfrvunirn  34986