Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem1 37700
Description: Lemma for ftc1anc 37708- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25693, but this proof avoids ax-cc 10475. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7101 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 11289 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3 id 22 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6977 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
5 absf 15376 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
76feqmptd 6977 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
92, 4, 7, 8fmptco 7149 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
109adantr 480 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
112abscld 15475 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1211fmpttd 7135 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):𝐴⟶ℝ)
1312adantr 480 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14 fdm 6745 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16 mbfdm 25661 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1716adantl 481 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1815, 17eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2211biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2322bicomd 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))))
2421, 23sylan9bbr 510 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))))
25 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
2625ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
2711, 26sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
28 absle 15354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥)))
291, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥)))
30 renegcl 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) < -𝑥))
3230, 1, 31syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) < -𝑥))
331biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3430rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35 elioomnf 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3736bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
3833, 37sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
3938notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
4032, 39bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑡)))
421, 41sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑡)))
431biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
44 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
4519, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
4645bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡)) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4743, 46sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4847notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4942, 48bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5040, 49anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
5129, 50bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
5251notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53 elun 4153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54 oran 992 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5553, 54bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5652, 55bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5724, 27, 563bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5857an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5958rabbidva 3443 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6160mptpreima 6258 . . . . . . . 8 ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡))
6362mptpreima 6258 . . . . . . . 8 ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
6459, 61, 633eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6665feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
6766cnveqd 5886 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
6867imaeq1d 6077 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
6964, 68eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70 imaundi 6169 . . . . . 6 (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
7169, 70eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
7271adantlr 715 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73 mbfima 25665 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74 mbfima 25665 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 unmbl 25572 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7673, 74, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7776ancoms 458 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7877adantr 480 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7972, 78eqeltrd 2841 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 abslt 15353 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
811, 80sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
82 elioomnf 13484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8319, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8411biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8584bicomd 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥))
8683, 85sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥))
8734, 19jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
881rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
89 elioo5 13444 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
90893expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
9187, 88, 90syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
9281, 86, 913bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
9392an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
9493rabbidva 3443 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
9560mptpreima 6258 . . . . . . 7 ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
9662mptpreima 6258 . . . . . . 7 ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
9794, 95, 963eqtr4g 2802 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
9867imaeq1d 6077 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
9997, 98eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
10099adantlr 715 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101 mbfima 25665 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102101ancoms 458 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103102adantr 480 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104100, 103eqeltrd 2841 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
10513, 18, 79, 104ismbf2d 25675 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
10610, 105eqeltrd 2841 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cun 3949   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  (,)cioo 13387  abscabs 15273  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  37701  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem8  37707
  Copyright terms: Public domain W3C validator