Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem1 37679
Description: Lemma for ftc1anc 37687- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25706, but this proof avoids ax-cc 10472. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7100 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 11286 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3 id 22 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6976 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
5 absf 15372 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
76feqmptd 6976 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
92, 4, 7, 8fmptco 7148 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
109adantr 480 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
112abscld 15471 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1211fmpttd 7134 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):𝐴⟶ℝ)
1312adantr 480 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14 fdm 6745 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16 mbfdm 25674 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1716adantl 481 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1815, 17eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19 rexr 11304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2211biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2322bicomd 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))))
2421, 23sylan9bbr 510 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))))
25 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
2625ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
2711, 26sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
28 absle 15350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥)))
291, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥)))
30 renegcl 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31 lenlt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) < -𝑥))
3230, 1, 31syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) < -𝑥))
331biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3430rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35 elioomnf 13480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3736bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
3833, 37sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
3938notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
4032, 39bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41 lenlt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑡)))
421, 41sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑡)))
431biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
44 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
4519, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
4645bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡)) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4743, 46sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4847notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4942, 48bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5040, 49anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
5129, 50bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
5251notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53 elun 4162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54 oran 991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5553, 54bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5652, 55bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5724, 27, 563bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5857an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5958rabbidva 3439 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6160mptpreima 6259 . . . . . . . 8 ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡))
6362mptpreima 6259 . . . . . . . 8 ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
6459, 61, 633eqtr4g 2799 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6665feqmptd 6976 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
6766cnveqd 5888 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
6867imaeq1d 6078 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
6964, 68eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70 imaundi 6171 . . . . . 6 (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
7169, 70eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
7271adantlr 715 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73 mbfima 25678 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74 mbfima 25678 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 unmbl 25585 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7673, 74, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7776ancoms 458 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7877adantr 480 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7972, 78eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 abslt 15349 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
811, 80sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
82 elioomnf 13480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8319, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8411biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8584bicomd 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥))
8683, 85sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥))
8734, 19jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
881rexrd 11308 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
89 elioo5 13440 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
90893expa 1117 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
9187, 88, 90syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
9281, 86, 913bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
9392an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
9493rabbidva 3439 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
9560mptpreima 6259 . . . . . . 7 ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
9662mptpreima 6259 . . . . . . 7 ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
9794, 95, 963eqtr4g 2799 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
9867imaeq1d 6078 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
9997, 98eqtr4d 2777 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
10099adantlr 715 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101 mbfima 25678 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102101ancoms 458 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103102adantr 480 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104100, 103eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
10513, 18, 79, 104ismbf2d 25688 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
10610, 105eqeltrd 2838 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cun 3960   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  cima 5691  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  -cneg 11490  (,)cioo 13383  abscabs 15269  volcvol 25511  MblFncmbf 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-xmet 21374  df-met 21375  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  37680  ftc1anclem4  37682  ftc1anclem5  37683  ftc1anclem6  37684  ftc1anclem8  37686
  Copyright terms: Public domain W3C validator