Theorem ftc1anclem1 38879

Description: Lemma for ftc1anc 38887- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 26034, but this proof avoids ax-cc 10552. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem1	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7113	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11376	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6984	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
5		absf 15548	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
7	6	feqmptd 6984	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
9	2, 4, 7, 8	fmptco 7162	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
11	2	abscld 15650	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
12	11	fmpttd 7147	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14		fdm 6749	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16		mbfdm 26002	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18	15, 17	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19		rexr 11394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
22	11	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	bicomd 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
24	21, 23	sylan9bbr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
25		ltnle 11428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
26	25	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
27	11, 26	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
28		absle 15526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ( -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
29	1, 28	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ( -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
30		renegcl 11660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31		lenlt 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ( -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
32	30, 1, 31	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
33	1	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
34	30	rexrd 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35		elioomnf 13615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( -𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
37	36	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥)))
38	33, 37	sylan9bb 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥)))
39	38	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥)))
40	32, 39	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥)))
41		lenlt 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
42	1, 41	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
43	1	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
44		elioopnf 13614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
45	19, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
46	45	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
47	43, 46	sylan9bb 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
48	47	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
49	42, 48	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
50	40, 49	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (( -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
51	29, 50	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
52	51	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53		elun 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54		oran 1005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
55	53, 54	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,) -𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
56	52, 55	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
57	24, 27, 56	3bitrd 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
58	57	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
59	58	rabbidva 3422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
61	60	mptpreima 6258	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))
63	62	mptpreima 6258	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
64	59, 61, 63	3eqtr4g 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
66	65	feqmptd 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
67	66	cnveqd 5865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ◡𝐹 = ◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
68	67	imaeq1d 6069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
69	64, 68	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70		imaundi 6159	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,) -𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
71	69, 70	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
72	71	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73		mbfima 26006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∈ dom vol)
74		mbfima 26006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75		unmbl 25913	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
76	73, 74, 75	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
77	76	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
78	77	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,) -𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
79	72, 78	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80		abslt 15525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ( -𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
81	1, 80	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ( -𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
82		elioomnf 13615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
83	19, 82	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
84	11	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
85	84	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
86	83, 85	sylan9bbr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
87	34, 19	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ( -𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
88	1	rexrd 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*)
89		elioo5 13574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥) ↔ ( -𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
90	89	3expa 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( -𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥) ↔ ( -𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
91	87, 88, 90	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥) ↔ ( -𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
92	81, 86, 91	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥)))
93	92	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥)))
94	93	rabbidva 3422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥)})
95	60	mptpreima 6258	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
96	62	mptpreima 6258	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ( -𝑥(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ( -𝑥(,)𝑥)}
97	94, 95, 96	3eqtr4g 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ( -𝑥(,)𝑥)))
98	67	imaeq1d 6069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ( -𝑥(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ( -𝑥(,)𝑥)))
99	97, 98	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ( -𝑥(,)𝑥)))
100	99	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ ( -𝑥(,)𝑥)))
101		mbfima 26006	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ( -𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102	101	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (◡𝐹 “ ( -𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103	102	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ( -𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
105	13, 18, 79, 104	ismbf2d 26016	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
106	10, 105	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ∪ cun 4152   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658   “ cima 5661   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581  (,)cioo 13516  abscabs 15444  volcvol 25839  MblFncmbf 25990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xadd 13282  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-xmet 21722  df-met 21723  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-mbf 25995

This theorem is used by:  ftc1anclem2  38880  ftc1anclem4  38882  ftc1anclem5  38883  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem8  38886