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Theorem ftc1anclem1 36561
Description: Lemma for ftc1anc 36569- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25175, but this proof avoids ax-cc 10430. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables π‘₯ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7084 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
21recnd 11242 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3 id 22 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43feqmptd 6961 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
5 absf 15284 . . . . . 6 abs:β„‚βŸΆβ„
65a1i 11 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
76feqmptd 6961 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
8 fveq2 6892 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
92, 4, 7, 8fmptco 7127 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
109adantr 482 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
112abscld 15383 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
1211fmpttd 7115 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
1312adantr 482 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
14 fdm 6727 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1514adantr 482 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
16 mbfdm 25143 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
1716adantl 483 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
1815, 17eqeltrrd 2835 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
19 rexr 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
20 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2211biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2322bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ↔ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2421, 23sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
25 ltnle 11293 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
2625ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
2711, 26sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
28 absle 15262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯)))
291, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯)))
30 renegcl 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
31 lenlt 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯))
3230, 1, 31syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯))
331biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3430rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ*)
35 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3736bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
3833, 37sylan9bb 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
3938notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
4032, 39bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
41 lenlt 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)))
421, 41sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)))
431biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
44 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
4519, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
4645bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4743, 46sylan9bb 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4847notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4942, 48bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5040, 49anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
5129, 50bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
5251notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
53 elun 4149 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∨ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
54 oran 989 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∨ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)) ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5553, 54bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞)) ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5652, 55bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5724, 27, 563bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5857an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5958rabbidva 3440 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞)} = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))})
60 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
6160mptpreima 6238 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞)}
62 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘))
6362mptpreima 6238 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))}
6459, 61, 633eqtr4g 2798 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
65 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
6665feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
6766cnveqd 5876 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ◑𝐹 = β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
6867imaeq1d 6059 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
6964, 68eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
70 imaundi 6150 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)))
7169, 70eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))))
7271adantlr 714 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))))
73 mbfima 25147 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) ∈ dom vol)
74 mbfima 25147 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 unmbl 25054 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7673, 74, 75syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7776ancoms 460 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7877adantr 482 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7972, 78eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 abslt 15261 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
811, 80sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
82 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8319, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8411biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8584bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯))
8683, 85sylan9bbr 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯))
8734, 19jca 513 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*))
881rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*)
89 elioo5 13381 . . . . . . . . . . . 12 ((-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
90893expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
9187, 88, 90syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
9281, 86, 913bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9392an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9493rabbidva 3440 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯)} = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)})
9560mptpreima 6238 . . . . . . 7 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯)}
9662mptpreima 6238 . . . . . . 7 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)}
9794, 95, 963eqtr4g 2798 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9867imaeq1d 6059 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9997, 98eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
10099adantlr 714 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
101 mbfima 25147 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
102101ancoms 460 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
103102adantr 482 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
104100, 103eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
10513, 18, 79, 104ismbf2d 25157 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
10610, 105eqeltrd 2834 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βˆͺ cun 3947   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445  (,)cioo 13324  abscabs 15181  volcvol 24980  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  36562  ftc1anclem4  36564  ftc1anclem5  36565  ftc1anclem6  36566  ftc1anclem8  36568
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