Theorem ftc1anclem1 34405

Description: Lemma for ftc1anc 34413- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 23962, but this proof avoids ax-cc 9655. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem1	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 10468	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6562	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
5		absf 14558	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
7	6	feqmptd 6562	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8		fveq2 6499	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
9	2, 4, 7, 8	fmptco 6714	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
10	9	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
11	2	abscld 14657	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
12	11	fmpttd 6702	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
13	12	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14		fdm 6352	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16		mbfdm 23930	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
17	16	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18	15, 17	eqeltrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19		rexr 10486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 12647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
22	11	biantrurd 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	bicomd 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
24	21, 23	sylan9bbr 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
25		ltnle 10520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
26	25	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
27	11, 26	sylan 572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
28		absle 14536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
29	1, 28	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
30		renegcl 10750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31		lenlt 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
32	30, 1, 31	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
33	1	biantrurd 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
34	30	rexrd 10490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35		elioomnf 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
37	36	bicomd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
38	33, 37	sylan9bb 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
39	38	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
40	32, 39	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41		lenlt 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
42	1, 41	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
43	1	biantrurd 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
44		elioopnf 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
45	19, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
46	45	bicomd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
47	43, 46	sylan9bb 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
48	47	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
49	42, 48	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
50	40, 49	anbi12d 621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
51	29, 50	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
52	51	notbid 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53		elun 4015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54		oran 972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
55	53, 54	bitri 267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
56	52, 55	syl6bbr 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
57	24, 27, 56	3bitrd 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
58	57	an32s 639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
59	58	rabbidva 3403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60		eqid 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
61	60	mptpreima 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62		eqid 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))
63	62	mptpreima 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
64	59, 61, 63	3eqtr4g 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65		simpl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
66	65	feqmptd 6562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
67	66	cnveqd 5596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ◡𝐹 = ◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
68	67	imaeq1d 5769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
69	64, 68	eqtr4d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70		imaundi 5848	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
71	69, 70	syl6eq 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
72	71	adantlr 702	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73		mbfima 23934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74		mbfima 23934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75		unmbl 23841	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
76	73, 74, 75	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
77	76	ancoms 451	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
78	77	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
79	72, 78	eqeltrd 2867	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80		abslt 14535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
81	1, 80	sylan 572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
82		elioomnf 12648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
83	19, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
84	11	biantrurd 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
85	84	bicomd 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
86	83, 85	sylan9bbr 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
87	34, 19	jca 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
88	1	rexrd 10490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*)
89		elioo5 12610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
90	89	3expa 1098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
91	87, 88, 90	syl2anr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
92	81, 86, 91	3bitr4d 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
93	92	an32s 639	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
94	93	rabbidva 3403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
95	60	mptpreima 5931	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
96	62	mptpreima 5931	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
97	94, 95, 96	3eqtr4g 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
98	67	imaeq1d 5769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
99	97, 98	eqtr4d 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
100	99	adantlr 702	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101		mbfima 23934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102	101	ancoms 451	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103	102	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2867	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
105	13, 18, 79, 104	ismbf2d 23944	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
106	10, 105	eqeltrd 2867	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3093   ∪ cun 3828   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ^◡ccnv 5406  dom cdm 5407   “ cima 5410   ∘ ccom 5411  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  ℝcr 10334  +∞cpnf 10471  -∞cmnf 10472  ℝ^*cxr 10473   < clt 10474   ≤ cle 10475  -cneg 10671  (,)cioo 12554  abscabs 14454  volcvol 23767  MblFncmbf 23918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xadd 12325  df-ioo 12558  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-xmet 20240  df-met 20241  df-ovol 23768  df-vol 23769  df-mbf 23923

This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  34406  ftc1anclem4  34408  ftc1anclem5  34409  ftc1anclem6  34410  ftc1anclem8  34412