Theorem ftc1anclem1 37894

Description: Lemma for ftc1anc 37902- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25615, but this proof avoids ax-cc 10345. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem1	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11160	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
5		absf 15261	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
7	6	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
9	2, 4, 7, 8	fmptco 7074	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
11	2	abscld 15362	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
12	11	fmpttd 7060	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14		fdm 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16		mbfdm 25583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18	15, 17	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19		rexr 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
22	11	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
24	21, 23	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
25		ltnle 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
26	25	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
27	11, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
28		absle 15239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
29	1, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
30		renegcl 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31		lenlt 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
32	30, 1, 31	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
33	1	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
34	30	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35		elioomnf 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
37	36	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
38	33, 37	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
39	38	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
40	32, 39	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41		lenlt 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
42	1, 41	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
43	1	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
44		elioopnf 13359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
45	19, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
46	45	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
47	43, 46	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
48	47	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
49	42, 48	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
50	40, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
51	29, 50	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
52	51	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53		elun 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54		oran 991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
55	53, 54	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
56	52, 55	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
57	24, 27, 56	3bitrd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
58	57	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
59	58	rabbidva 3405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
61	60	mptpreima 6196	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))
63	62	mptpreima 6196	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
64	59, 61, 63	3eqtr4g 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
66	65	feqmptd 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
67	66	cnveqd 5824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ◡𝐹 = ◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
68	67	imaeq1d 6018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
69	64, 68	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70		imaundi 6107	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
71	69, 70	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
72	71	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73		mbfima 25587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74		mbfima 25587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75		unmbl 25494	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
76	73, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
77	76	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
78	77	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
79	72, 78	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80		abslt 15238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
81	1, 80	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
82		elioomnf 13360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
83	19, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
84	11	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
85	84	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
86	83, 85	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
87	34, 19	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
88	1	rexrd 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*)
89		elioo5 13319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
90	89	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
91	87, 88, 90	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
92	81, 86, 91	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
93	92	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
94	93	rabbidva 3405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
95	60	mptpreima 6196	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
96	62	mptpreima 6196	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
97	94, 95, 96	3eqtr4g 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
98	67	imaeq1d 6018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
99	97, 98	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
100	99	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101		mbfima 25587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102	101	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103	102	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
105	13, 18, 79, 104	ismbf2d 25597	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
106	10, 105	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ∪ cun 3899   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  -cneg 11365  (,)cioo 13261  abscabs 15157  volcvol 25420  MblFncmbf 25571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-xmet 21302  df-met 21303  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576

This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  37895  ftc1anclem4  37897  ftc1anclem5  37898  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem8  37901