Theorem ftc1anclem1 37694

Description: Lemma for ftc1anc 37702- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25566, but this proof avoids ax-cc 10395. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem1	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7056	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6932	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
5		absf 15311	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
7	6	feqmptd 6932	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
9	2, 4, 7, 8	fmptco 7104	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
11	2	abscld 15412	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
12	11	fmpttd 7090	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14		fdm 6700	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16		mbfdm 25534	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18	15, 17	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19		rexr 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
22	11	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
24	21, 23	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
25		ltnle 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
26	25	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
27	11, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
28		absle 15289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
29	1, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
30		renegcl 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31		lenlt 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
32	30, 1, 31	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
33	1	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
34	30	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35		elioomnf 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
37	36	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
38	33, 37	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
39	38	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
40	32, 39	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41		lenlt 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
42	1, 41	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
43	1	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
44		elioopnf 13411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
45	19, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
46	45	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
47	43, 46	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
48	47	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
49	42, 48	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
50	40, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
51	29, 50	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
52	51	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53		elun 4119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54		oran 991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
55	53, 54	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
56	52, 55	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
57	24, 27, 56	3bitrd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
58	57	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
59	58	rabbidva 3415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
61	60	mptpreima 6214	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))
63	62	mptpreima 6214	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
64	59, 61, 63	3eqtr4g 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
66	65	feqmptd 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
67	66	cnveqd 5842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ◡𝐹 = ◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
68	67	imaeq1d 6033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
69	64, 68	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70		imaundi 6125	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
71	69, 70	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
72	71	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73		mbfima 25538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74		mbfima 25538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75		unmbl 25445	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
76	73, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
77	76	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
78	77	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
79	72, 78	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80		abslt 15288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
81	1, 80	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
82		elioomnf 13412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
83	19, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
84	11	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
85	84	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
86	83, 85	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
87	34, 19	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
88	1	rexrd 11231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*)
89		elioo5 13371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
90	89	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
91	87, 88, 90	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
92	81, 86, 91	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
93	92	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
94	93	rabbidva 3415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
95	60	mptpreima 6214	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
96	62	mptpreima 6214	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
97	94, 95, 96	3eqtr4g 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
98	67	imaeq1d 6033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
99	97, 98	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
100	99	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101		mbfima 25538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102	101	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103	102	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
105	13, 18, 79, 104	ismbf2d 25548	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
106	10, 105	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ∪ cun 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641   “ cima 5644   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  -cneg 11413  (,)cioo 13313  abscabs 15207  volcvol 25371  MblFncmbf 25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527

This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  37695  ftc1anclem4  37697  ftc1anclem5  37698  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem8  37701