Theorem ftc1anclem1 37673

Description: Lemma for ftc1anc 37681- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25557, but this proof avoids ax-cc 10329. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem1	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1

Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7015	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11143	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6891	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
5		absf 15245	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
7	6	feqmptd 6891	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
9	2, 4, 7, 8	fmptco 7063	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
11	2	abscld 15346	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
12	11	fmpttd 7049	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14		fdm 6661	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16		mbfdm 25525	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
18	15, 17	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19		rexr 11161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		elioopnf 13346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
22	11	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
24	21, 23	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))
25		ltnle 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
26	25	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
27	11, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥))
28		absle 15223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
29	1, 28	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥)))
30		renegcl 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31		lenlt 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
32	30, 1, 31	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))
33	1	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
34	30	rexrd 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35		elioomnf 13347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)))
37	36	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
38	33, 37	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
39	38	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
40	32, 39	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41		lenlt 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
42	1, 41	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))
43	1	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
44		elioopnf 13346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
45	19, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))))
46	45	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
47	43, 46	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
48	47	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
49	42, 48	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
50	40, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
51	29, 50	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
52	51	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53		elun 4104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54		oran 991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
55	53, 54	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
56	52, 55	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
57	24, 27, 56	3bitrd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
58	57	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
59	58	rabbidva 3401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
61	60	mptpreima 6187	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))
63	62	mptpreima 6187	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
64	59, 61, 63	3eqtr4g 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
66	65	feqmptd 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
67	66	cnveqd 5818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ◡𝐹 = ◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
68	67	imaeq1d 6010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
69	64, 68	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70		imaundi 6098	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
71	69, 70	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
72	71	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73		mbfima 25529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74		mbfima 25529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75		unmbl 25436	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
76	73, 74, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
77	76	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
78	77	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
79	72, 78	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80		abslt 15222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
81	1, 80	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
82		elioomnf 13347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
83	19, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
84	11	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)))
85	84	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
86	83, 85	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))
87	34, 19	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
88	1	rexrd 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*)
89		elioo5 13306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
90	89	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
91	87, 88, 90	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥)))
92	81, 86, 91	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
93	92	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
94	93	rabbidva 3401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
95	60	mptpreima 6187	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
96	62	mptpreima 6187	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
97	94, 95, 96	3eqtr4g 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
98	67	imaeq1d 6010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
99	97, 98	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
100	99	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101		mbfima 25529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102	101	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103	102	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
105	13, 18, 79, 104	ismbf2d 25539	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
106	10, 105	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394   ∪ cun 3901   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  -cneg 11348  (,)cioo 13248  abscabs 15141  volcvol 25362  MblFncmbf 25513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21254  df-met 21255  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518

This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  37674  ftc1anclem4  37676  ftc1anclem5  37677  ftc1anclem6  37678  ftc1anclem8  37680