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Theorem ftc1anclem1 36653
Description: Lemma for ftc1anc 36661- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25182, but this proof avoids ax-cc 10432. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables π‘₯ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
21recnd 11244 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3 id 22 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43feqmptd 6960 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
5 absf 15286 . . . . . 6 abs:β„‚βŸΆβ„
65a1i 11 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
76feqmptd 6960 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
8 fveq2 6891 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
92, 4, 7, 8fmptco 7129 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
109adantr 481 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
112abscld 15385 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
1211fmpttd 7116 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
1312adantr 481 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
14 fdm 6726 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
16 mbfdm 25150 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
1716adantl 482 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
1815, 17eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
19 rexr 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
20 elioopnf 13422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2211biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2322bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ↔ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2421, 23sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
25 ltnle 11295 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
2625ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
2711, 26sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
28 absle 15264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯)))
291, 28sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯)))
30 renegcl 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
31 lenlt 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯))
3230, 1, 31syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯))
331biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3430rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ*)
35 elioomnf 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3736bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
3833, 37sylan9bb 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
3938notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
4032, 39bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
41 lenlt 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)))
421, 41sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)))
431biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
44 elioopnf 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
4519, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
4645bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4743, 46sylan9bb 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4847notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4942, 48bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5040, 49anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
5129, 50bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
5251notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
53 elun 4148 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∨ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
54 oran 988 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∨ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)) ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5553, 54bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞)) ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5652, 55bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5724, 27, 563bitrd 304 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5857an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5958rabbidva 3439 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞)} = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))})
60 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
6160mptpreima 6237 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞)}
62 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘))
6362mptpreima 6237 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))}
6459, 61, 633eqtr4g 2797 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
65 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
6665feqmptd 6960 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
6766cnveqd 5875 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ◑𝐹 = β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
6867imaeq1d 6058 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
6964, 68eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
70 imaundi 6149 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)))
7169, 70eqtrdi 2788 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))))
7271adantlr 713 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))))
73 mbfima 25154 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) ∈ dom vol)
74 mbfima 25154 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 unmbl 25061 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7673, 74, 75syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7776ancoms 459 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7877adantr 481 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7972, 78eqeltrd 2833 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 abslt 15263 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
811, 80sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
82 elioomnf 13423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8319, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8411biantrurd 533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8584bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯))
8683, 85sylan9bbr 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯))
8734, 19jca 512 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*))
881rexrd 11266 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*)
89 elioo5 13383 . . . . . . . . . . . 12 ((-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
90893expa 1118 . . . . . . . . . . 11 (((-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
9187, 88, 90syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
9281, 86, 913bitr4d 310 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9392an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9493rabbidva 3439 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯)} = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)})
9560mptpreima 6237 . . . . . . 7 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯)}
9662mptpreima 6237 . . . . . . 7 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)}
9794, 95, 963eqtr4g 2797 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9867imaeq1d 6058 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9997, 98eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
10099adantlr 713 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
101 mbfima 25154 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
102101ancoms 459 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
103102adantr 481 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
104100, 103eqeltrd 2833 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
10513, 18, 79, 104ismbf2d 25164 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
10610, 105eqeltrd 2833 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βˆͺ cun 3946   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  -cneg 11447  (,)cioo 13326  abscabs 15183  volcvol 24987  MblFncmbf 25138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-xmet 20943  df-met 20944  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  36654  ftc1anclem4  36656  ftc1anclem5  36657  ftc1anclem6  36658  ftc1anclem8  36660
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