Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem1 35123
Description: Lemma for ftc1anc 35131- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 24265, but this proof avoids ax-cc 9850. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6830 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 10662 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3 id 22 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6712 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
5 absf 14692 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
76feqmptd 6712 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
8 fveq2 6649 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
92, 4, 7, 8fmptco 6872 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
109adantr 484 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
112abscld 14791 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1211fmpttd 6860 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):𝐴⟶ℝ)
1312adantr 484 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):𝐴⟶ℝ)
14 fdm 6499 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
1514adantr 484 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴)
16 mbfdm 24233 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1716adantl 485 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1815, 17eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol)
19 rexr 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 elioopnf 12825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2211biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)))))
2322bicomd 226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))))
2421, 23sylan9bbr 514 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡))))
25 ltnle 10713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
2625ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
2711, 26sylan 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥))
28 absle 14670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥)))
291, 28sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥)))
30 renegcl 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
31 lenlt 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) < -𝑥))
3230, 1, 31syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) < -𝑥))
331biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → ((𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3430rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ*)
35 elioomnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥)))
3736bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
3833, 37sylan9bb 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
3938notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
4032, 39bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥)))
41 lenlt 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑡)))
421, 41sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑡)))
431biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
44 elioopnf 12825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
4519, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡))))
4645bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹𝑡)) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4743, 46sylan9bb 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4847notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
4942, 48bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5040, 49anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
5129, 50bitrd 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
5251notbid 321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))))
53 elun 4079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
54 oran 987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5553, 54bitri 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))
5652, 55syl6bbr 292 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5724, 27, 563bitrd 308 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5857an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
5958rabbidva 3428 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))})
60 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6160mptpreima 6063 . . . . . . . 8 ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
62 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡))
6362mptpreima 6063 . . . . . . . 8 ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}
6459, 61, 633eqtr4g 2861 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
65 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
6665feqmptd 6712 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
6766cnveqd 5714 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)))
6867imaeq1d 5899 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
6964, 68eqtr4d 2839 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))))
70 imaundi 5979 . . . . . 6 (𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))
7169, 70eqtrdi 2852 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
7271adantlr 714 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))))
73 mbfima 24237 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol)
74 mbfima 24237 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 unmbl 24144 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7673, 74, 75syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7776ancoms 462 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7877adantr 484 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom vol)
7972, 78eqeltrd 2893 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 abslt 14669 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
811, 80sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
82 elioomnf 12826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8319, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8411biantrurd 536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥)))
8584bicomd 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥))
8683, 85sylan9bbr 514 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) < 𝑥))
8734, 19jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
881rexrd 10684 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
89 elioo5 12786 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
90893expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
9187, 88, 90syl2anr 599 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) < 𝑥)))
9281, 86, 913bitr4d 314 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
9392an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝐴) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)))
9493rabbidva 3428 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)})
9560mptpreima 6063 . . . . . . 7 ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
9662mptpreima 6063 . . . . . . 7 ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡𝐴 ∣ (𝐹𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}
9794, 95, 963eqtr4g 2861 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
9867imaeq1d 5899 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = ((𝑡𝐴 ↦ (𝐹𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)))
9997, 98eqtr4d 2839 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
10099adantlr 714 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)))
101 mbfima 24237 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
102101ancoms 462 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
103102adantr 484 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol)
104100, 103eqeltrd 2893 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
10513, 18, 79, 104ismbf2d 24247 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
10610, 105eqeltrd 2893 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113  cun 3882   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ccnv 5522  dom cdm 5523  cima 5526  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  -cneg 10864  (,)cioo 12730  abscabs 14588  volcvol 24070  MblFncmbf 24221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-xmet 20087  df-met 20088  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  35124  ftc1anclem4  35126  ftc1anclem5  35127  ftc1anclem6  35128  ftc1anclem8  35130
  Copyright terms: Public domain W3C validator