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Theorem ftc1anclem1 36154
Description: Lemma for ftc1anc 36162- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 25025, but this proof avoids ax-cc 10372. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables π‘₯ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7033 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
21recnd 11184 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3 id 22 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43feqmptd 6911 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
5 absf 15223 . . . . . 6 abs:β„‚βŸΆβ„
65a1i 11 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
76feqmptd 6911 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
8 fveq2 6843 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
92, 4, 7, 8fmptco 7076 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
109adantr 482 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
112abscld 15322 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
1211fmpttd 7064 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
1312adantr 482 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
14 fdm 6678 . . . . 5 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1514adantr 482 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
16 mbfdm 24993 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
1716adantl 483 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
1815, 17eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
19 rexr 11202 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
20 elioopnf 13361 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2211biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2322bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ↔ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2421, 23sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
25 ltnle 11235 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
2625ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
2711, 26sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯))
28 absle 15201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯)))
291, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯)))
30 renegcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
31 lenlt 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯))
3230, 1, 31syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯))
331biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3430rexrd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ*)
35 elioomnf 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯)))
3736bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
3833, 37sylan9bb 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
3938notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) < -π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
4032, 39bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯)))
41 lenlt 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)))
421, 41sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)))
431biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
44 elioopnf 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
4519, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘))))
4645bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘)) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4743, 46sylan9bb 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4847notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
4942, 48bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5040, 49anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((-π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ π‘₯) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
5129, 50bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
5251notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞))))
53 elun 4109 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞)) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∨ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
54 oran 989 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∨ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)) ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5553, 54bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞)) ↔ Β¬ (Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-∞(,)-π‘₯) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (π‘₯(,)+∞)))
5652, 55bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5724, 27, 563bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5857an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
5958rabbidva 3415 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞)} = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))})
60 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
6160mptpreima 6191 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (π‘₯(,)+∞)}
62 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘))
6362mptpreima 6191 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))}
6459, 61, 633eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
65 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
6665feqmptd 6911 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
6766cnveqd 5832 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ◑𝐹 = β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
6867imaeq1d 6013 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
6964, 68eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))))
70 imaundi 6103 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ ((-∞(,)-π‘₯) βˆͺ (π‘₯(,)+∞))) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)))
7169, 70eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))))
7271adantlr 714 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))))
73 mbfima 24997 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) ∈ dom vol)
74 mbfima 24997 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 unmbl 24904 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7673, 74, 75syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7776ancoms 460 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7877adantr 482 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)-π‘₯)) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (π‘₯(,)+∞))) ∈ dom vol)
7972, 78eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (π‘₯(,)+∞)) ∈ dom vol)
80 abslt 15200 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
811, 80sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
82 elioomnf 13362 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8319, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8411biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯ ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯)))
8584bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯))
8683, 85sylan9bbr 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) < π‘₯))
8734, 19jca 513 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*))
881rexrd 11206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*)
89 elioo5 13322 . . . . . . . . . . . 12 ((-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
90893expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((-π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
9187, 88, 90syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯) ↔ (-π‘₯ < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < π‘₯)))
9281, 86, 913bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9392an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9493rabbidva 3415 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯)} = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)})
9560mptpreima 6191 . . . . . . 7 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (-∞(,)π‘₯)}
9662mptpreima 6191 . . . . . . 7 (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) = {𝑑 ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (-π‘₯(,)π‘₯)}
9794, 95, 963eqtr4g 2802 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9867imaeq1d 6013 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) = (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
9997, 98eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
10099adantlr 714 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) = (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)))
101 mbfima 24997 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
102101ancoms 460 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
103102adantr 482 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-π‘₯(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
104100, 103eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) β€œ (-∞(,)π‘₯)) ∈ dom vol)
10513, 18, 79, 104ismbf2d 25007 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
10610, 105eqeltrd 2838 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408   βˆͺ cun 3909   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  -cneg 11387  (,)cioo 13265  abscabs 15120  volcvol 24830  MblFncmbf 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  36155  ftc1anclem4  36157  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem8  36161
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