Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre2 44018
Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐡, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1 β„²π‘₯𝐡
rfcnpre2.2 β„²π‘₯𝐹
rfcnpre2.3 β„²π‘₯πœ‘
rfcnpre2.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre2.5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre2.6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡}
rfcnpre2.7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
2 rfcnpre2.2 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐹
32nfcnv 5878 . . . . 5 β„²π‘₯◑𝐹
4 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘₯-∞
5 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘₯(,)
6 rfcnpre2.1 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐡
74, 5, 6nfov 7442 . . . . 5 β„²π‘₯(-∞(,)𝐡)
83, 7nfima 6067 . . . 4 β„²π‘₯(◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡))
9 nfrab1 3450 . . . 4 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡}
10 rfcnpre2.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
11 rfcnpre2.5 . . . . . . . . 9 𝑋 = βˆͺ 𝐽
12 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13 rfcnpre2.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1410, 11, 12, 13fcnre 44012 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
1514ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
16 rfcnpre2.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
17 elioomnf 13426 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)))
1918baibd 539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
2015, 19syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
2120pm5.32da 578 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)))
22 ffn 6717 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
23 elpreima 7059 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡))))
2414, 22, 233syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)𝐡))))
25 rabid 3451 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡))
2625a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡)))
2721, 24, 263bitr4d 311 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡}))
281, 8, 9, 27eqrd 4001 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
29 rfcnpre2.6 . . 3 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡}
3028, 29eqtr4di 2789 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) = 𝐴)
31 iooretop 24503 . . . . 5 (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
3332, 10eleqtrrdi 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) ∈ 𝐾)
34 cnima 22990 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐡) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) ∈ 𝐽)
3513, 33, 34syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) ∈ 𝐽)
3630, 35eqeltrrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882  {crab 3431  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253  (,)cioo 13329  topGenctg 17388   Cn ccn 22949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-ioo 13333  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  45067  cnfsmf  45755
  Copyright terms: Public domain W3C validator