Theorem rfcnpre2 42112

Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre2.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre2.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre2.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre2.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5721	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
5		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		rfcnpre2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfov 7200	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(-∞(,)𝐵)
8	3, 7	nfima 5911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9		nfrab1 3287	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
10		rfcnpre2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		rfcnpre2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13		rfcnpre2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
14	10, 11, 12, 13	fcnre 42106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
15	14	ffvelrnda 6861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		rfcnpre2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		elioomnf 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
19	18	baibd 543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
20	15, 19	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
21	20	pm5.32da 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
22		ffn 6504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23		elpreima 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
24	14, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25		rabid 3281	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
27	21, 24, 26	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}))
28	1, 8, 9, 27	eqrd 3896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
29		rfcnpre2.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
30	28, 29	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31		iooretop 23518	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	32, 10	eleqtrrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34		cnima 22016	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35	13, 33, 34	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
36	30, 35	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2879  {crab 3057  ∪ cuni 4796   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5524  ran crn 5526   “ cima 5528   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℝcr 10614  -∞cmnf 10751  ℝ^*cxr 10752   < clt 10753  (,)cioo 12821  topGenctg 16814   Cn ccn 21975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-q 12431  df-ioo 12825  df-topgen 16820  df-top 21645  df-topon 21662  df-bases 21697  df-cn 21978

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  43135  cnfsmf  43815