Theorem rfcnpre2 42463

Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre2.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre2.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre2.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre2.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5776	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
5		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		rfcnpre2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfov 7285	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(-∞(,)𝐵)
8	3, 7	nfima 5966	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9		nfrab1 3310	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
10		rfcnpre2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		rfcnpre2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13		rfcnpre2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
14	10, 11, 12, 13	fcnre 42457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
15	14	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		rfcnpre2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		elioomnf 13105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
19	18	baibd 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
20	15, 19	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
21	20	pm5.32da 578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
22		ffn 6584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23		elpreima 6917	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
24	14, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25		rabid 3304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
27	21, 24, 26	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}))
28	1, 8, 9, 27	eqrd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
29		rfcnpre2.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
30	28, 29	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31		iooretop 23835	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	32, 10	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34		cnima 22324	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35	13, 33, 34	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
36	30, 35	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  {crab 3067  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  (,)cioo 13008  topGenctg 17065   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-ioo 13012  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  43483  cnfsmf  44163