Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre2 41155
Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1 𝑥𝐵
rfcnpre2.2 𝑥𝐹
rfcnpre2.3 𝑥𝜑
rfcnpre2.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5 𝑋 = 𝐽
rfcnpre2.6 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2 (𝜑𝐴𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . 4 𝑥𝜑
2 rfcnpre2.2 . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfcnv 5747 . . . . 5 𝑥𝐹
4 nfcv 2981 . . . . . 6 𝑥-∞
5 nfcv 2981 . . . . . 6 𝑥(,)
6 rfcnpre2.1 . . . . . 6 𝑥𝐵
74, 5, 6nfov 7181 . . . . 5 𝑥(-∞(,)𝐵)
83, 7nfima 5934 . . . 4 𝑥(𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9 nfrab1 3389 . . . 4 𝑥{𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
10 rfcnpre2.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11 rfcnpre2.5 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝐽
12 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13 rfcnpre2.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1410, 11, 12, 13fcnre 41149 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1514ffvelrnda 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 rfcnpre2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
17 elioomnf 12825 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1918baibd 540 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2015, 19syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2120pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
22 ffn 6510 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23 elpreima 6823 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
2414, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25 rabid 3383 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
2721, 24, 263bitr4d 312 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}))
281, 8, 9, 27eqrd 3989 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
29 rfcnpre2.6 . . 3 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
3028, 29syl6eqr 2878 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31 iooretop 23291 . . . . 5 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
3332, 10syl6eleqr 2928 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34 cnima 21791 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3513, 33, 34syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3630, 35eqeltrrd 2918 1 (𝜑𝐴𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2965  {crab 3146   cuni 4836   class class class wbr 5062  ccnv 5552  ran crn 5554  cima 5556   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12731  topGenctg 16703   Cn ccn 21750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ioo 12735  df-topgen 16709  df-top 21420  df-topon 21437  df-bases 21472  df-cn 21753
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  42205  cnfsmf  42885
  Copyright terms: Public domain W3C validator