Theorem rfcnpre2 45991

Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre2.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre2.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre2.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre2.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5856	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
5		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		rfcnpre2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfov 7442	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(-∞(,)𝐵)
8	3, 7	nfima 6062	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9		nfrab1 3432	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
10		rfcnpre2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		rfcnpre2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13		rfcnpre2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
14	10, 11, 12, 13	fcnre 45985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		rfcnpre2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		elioomnf 13556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
19	18	baibd 549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
20	15, 19	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
21	20	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
22		ffn 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23		elpreima 7049	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
24	14, 22, 23	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25		rabid 3433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
27	21, 24, 26	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}))
28	1, 8, 9, 27	eqrd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
29		rfcnpre2.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
30	28, 29	eqtr4di 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31		iooretop 25064	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	32, 10	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34		cnima 23563	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35	13, 33, 34	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
36	30, 35	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908  {crab 3413  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   “ cima 5654   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13457  topGenctg 17588   Cn ccn 23522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-ioo 13461  df-topgen 17594  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cn 23525

This theorem is used by:  stoweidlem52  47006  cnfsmf  47694