Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre2 45036
Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1 𝑥𝐵
rfcnpre2.2 𝑥𝐹
rfcnpre2.3 𝑥𝜑
rfcnpre2.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5 𝑋 = 𝐽
rfcnpre2.6 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2 (𝜑𝐴𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . 4 𝑥𝜑
2 rfcnpre2.2 . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfcnv 5889 . . . . 5 𝑥𝐹
4 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥-∞
5 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥(,)
6 rfcnpre2.1 . . . . . 6 𝑥𝐵
74, 5, 6nfov 7461 . . . . 5 𝑥(-∞(,)𝐵)
83, 7nfima 6086 . . . 4 𝑥(𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9 nfrab1 3457 . . . 4 𝑥{𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
10 rfcnpre2.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11 rfcnpre2.5 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝐽
12 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13 rfcnpre2.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1410, 11, 12, 13fcnre 45030 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 rfcnpre2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
17 elioomnf 13484 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1918baibd 539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2015, 19syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2120pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
22 ffn 6736 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23 elpreima 7078 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
2414, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25 rabid 3458 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
2721, 24, 263bitr4d 311 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}))
281, 8, 9, 27eqrd 4003 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
29 rfcnpre2.6 . . 3 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
3028, 29eqtr4di 2795 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31 iooretop 24786 . . . . 5 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
3332, 10eleqtrrdi 2852 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34 cnima 23273 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3513, 33, 34syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3630, 35eqeltrrd 2842 1 (𝜑𝐴𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  {crab 3436   cuni 4907   class class class wbr 5143  ccnv 5684  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  (,)cioo 13387  topGenctg 17482   Cn ccn 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  46067  cnfsmf  46755
  Copyright terms: Public domain W3C validator