Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre2 44969
Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1 𝑥𝐵
rfcnpre2.2 𝑥𝐹
rfcnpre2.3 𝑥𝜑
rfcnpre2.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5 𝑋 = 𝐽
rfcnpre2.6 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2 (𝜑𝐴𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . 4 𝑥𝜑
2 rfcnpre2.2 . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfcnv 5892 . . . . 5 𝑥𝐹
4 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥-∞
5 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥(,)
6 rfcnpre2.1 . . . . . 6 𝑥𝐵
74, 5, 6nfov 7461 . . . . 5 𝑥(-∞(,)𝐵)
83, 7nfima 6088 . . . 4 𝑥(𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9 nfrab1 3454 . . . 4 𝑥{𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
10 rfcnpre2.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11 rfcnpre2.5 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝐽
12 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13 rfcnpre2.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1410, 11, 12, 13fcnre 44963 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 rfcnpre2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
17 elioomnf 13481 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
1918baibd 539 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2015, 19syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2120pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
22 ffn 6737 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23 elpreima 7078 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
2414, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25 rabid 3455 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵)))
2721, 24, 263bitr4d 311 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}))
281, 8, 9, 27eqrd 4015 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
29 rfcnpre2.6 . . 3 𝐴 = {𝑥𝑋 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵}
3028, 29eqtr4di 2793 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31 iooretop 24802 . . . . 5 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
3332, 10eleqtrrdi 2850 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34 cnima 23289 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3513, 33, 34syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
3630, 35eqeltrrd 2840 1 (𝜑𝐴𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  {crab 3433   cuni 4912   class class class wbr 5148  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  (,)cioo 13384  topGenctg 17484   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  46008  cnfsmf  46696
  Copyright terms: Public domain W3C validator