Theorem rfcnpre2 46264

Description: If 𝐹 is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real 𝐵, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre2.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre2.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre2.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre2.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre2.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
rfcnpre2.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre2.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre2.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre2.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5864	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
5		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		rfcnpre2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfov 7476	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(-∞(,)𝐵)
8	3, 7	nfima 6077	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵))
9		nfrab1 3435	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
10		rfcnpre2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		rfcnpre2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
13		rfcnpre2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
14	10, 11, 12, 13	fcnre 46258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		rfcnpre2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		elioomnf 13605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
19	18	baibd 549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
20	15, 19	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
21	20	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
22		ffn 6734	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
23		elpreima 7083	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
24	14, 22, 23	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝐵))))
25		rabid 3436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵))
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝐵)))
27	21, 24, 26	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}))
28	1, 8, 9, 27	eqrd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
29		rfcnpre2.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵}
30	28, 29	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = 𝐴)
31		iooretop 25117	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	32, 10	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾)
34		cnima 23616	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
35	13, 33, 34	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) ∈ 𝐽)
36	30, 35	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  {crab 3416  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  ran crn 5657   “ cima 5659   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  -∞cmnf 11371  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373  (,)cioo 13506  topGenctg 17640   Cn ccn 23575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-ioo 13510  df-topgen 17646  df-top 23245  df-topon 23262  df-bases 23297  df-cn 23578

This theorem is used by:  stoweidlem52  47277  cnfsmf  47965