Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnclem 37690
Description: Lemma for iblabsnc 37691; cf. iblabslem 25863. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabsnclem.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 25826 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 25672 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 25566 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 25575 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
123recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 15475 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
14 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4571 . . . . 5 (((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 4132 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4534 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 iftrue 4531 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
2221mpteq2ia 5245 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2313fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))):𝐴⟶ℝ)
2413adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2524biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
263adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
27 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
2826, 27absled 15469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
2928notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3027, 24ltnled 11408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦))
31 renegcl 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3231rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ*)
3332ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioomnf 13484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3626biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3727renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
3826, 37ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
3935, 36, 383bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
40 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
42 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4426biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4527, 26ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4643, 44, 453bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4739, 46orbi12d 919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
48 ianor 984 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4947, 48bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
5029, 30, 493bitr4rd 312 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵))))
51 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5241, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5325, 50, 523bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5453rabbidva 3443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))})
55 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
5655mptpreima 6258 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))
5857mptpreima 6258 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 6258 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 4166 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 4315 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2765 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6354, 56, 623eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 25802 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
663fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ)
67 mbfima 25665 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 25665 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 25572 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 13484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7541, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7624biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7726, 27absltd 15468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 307 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7926biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
81 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8280, 81bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
83 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8432, 40, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8584ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8855mptpreima 6258 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 6258 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 25665 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9523, 7, 73, 94ismbf2d 25675 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
9622, 95eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 25681 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97eqeltrid 2845 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 11246 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
101 ifan 4579 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
102 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
104 max1 13227 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
10514, 3, 104sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
106 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 13498 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4561 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4579 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
1143renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
115 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
117 max1 13227 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
11814, 114, 117sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
119 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4561 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
125 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 7717 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
127101, 113oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
128 max0add 15349 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
130 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
132 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
134131, 133oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
13521adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
137136ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
138 00id 11436 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
143137, 142pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
144127, 143eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
145144mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
146126, 145eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
1471, 146eqtr4id 2796 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
148147fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
149111adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139eqtrid 2789 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
152 ibar 528 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
153152ifbid 4549 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
154153mpteq2ia 5245 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
1553, 6mbfpos 25686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155eqeltrrid 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 25681 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
158112fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1595simp2d 1144 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
160123fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1615simp3d 1145 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
162157, 158, 159, 160, 161itg2addnc 37681 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
163148, 162eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
164159, 161readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
165163, 164eqeltrd 2841 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16698, 165jca 511 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  abscabs 15273  volcvol 25498  MblFncmbf 25649  2citg2 25651  𝐿1cibl 25652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692
  Copyright terms: Public domain W3C validator