Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnclem 37643
Description: Lemma for iblabsnc 37644; cf. iblabslem 25883. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabsnclem.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 25846 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1142 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 25691 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 25585 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 25594 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
123recnd 11318 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 15485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
14 0re 11292 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4593 . . . . 5 (((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 585 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 4155 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4557 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 iftrue 4554 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
2221mpteq2ia 5269 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2313fmpttd 7149 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))):𝐴⟶ℝ)
2413adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2524biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
263adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
2826, 27absled 15479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
2928notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3027, 24ltnled 11437 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦))
31 renegcl 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3231rexrd 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ*)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioomnf 13504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3626biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3727renegcld 11717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
3826, 37ltnled 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
3935, 36, 383bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
40 rexr 11336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
42 elioopnf 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4426biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4527, 26ltnled 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4643, 44, 453bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4739, 46orbi12d 917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
48 ianor 982 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4947, 48bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
5029, 30, 493bitr4rd 312 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵))))
51 elioopnf 13503 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5241, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5325, 50, 523bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5453rabbidva 3450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))})
55 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
5655mptpreima 6269 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))
5857mptpreima 6269 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 6269 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 4189 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 4334 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2768 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6354, 56, 623eqtr4g 2805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 25822 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
663fmpttd 7149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ)
67 mbfima 25684 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 25684 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 25591 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7541, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7624biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7726, 27absltd 15478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 307 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7926biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
81 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8280, 81bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
83 elioo2 13448 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8432, 40, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8855mptpreima 6269 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 6269 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 25684 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9523, 7, 73, 94ismbf2d 25694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
9622, 95eqeltrid 2848 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 25700 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97eqeltrid 2848 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 11275 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
101 ifan 4601 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
102 ifcl 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
104 max1 13247 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
10514, 3, 104sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
106 elrege0 13514 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 13518 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110eqeltrid 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4601 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
1143renegcld 11717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
115 ifcl 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
117 max1 13247 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
11814, 114, 117sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
119 elrege0 13514 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121eqeltrid 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
125 eqidd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 7734 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
127101, 113oveq12i 7460 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
128 max0add 15359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
130 iftrue 4554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
132 iftrue 4554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
134131, 133oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
13521adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
137136ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
138 00id 11465 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4557 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4557 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 7466 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2806 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
143137, 142pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
144127, 143eqtrid 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
145144mpteq2dv 5268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
146126, 145eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
1471, 146eqtr4id 2799 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
148147fveq2d 6924 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
149111adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139eqtrid 2792 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
152 ibar 528 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
153152ifbid 4571 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
154153mpteq2ia 5269 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
1553, 6mbfpos 25705 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155eqeltrrid 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 25700 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
158112fmpttd 7149 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1595simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
160123fmpttd 7149 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1615simp3d 1144 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
162157, 158, 159, 160, 161itg2addnc 37634 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘f + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
163148, 162eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
164159, 161readdcld 11319 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
165163, 164eqeltrd 2844 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16698, 165jca 511 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  cdif 3973  cun 3974  wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166  cmpt 5249  ccnv 5699  dom cdm 5700  cima 5703  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  f cof 7712  cr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  -cneg 11521  (,)cioo 13407  [,)cico 13409  abscabs 15283  volcvol 25517  MblFncmbf 25668  2citg2 25670  𝐿1cibl 25671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-0p 25724
This theorem is referenced by:  iblabsnc  37644  iblmulc2nc  37645
  Copyright terms: Public domain W3C validator