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Theorem iblabsnclem 37078
Description: Lemma for iblabsnc 37079; cf. iblabslem 25731. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabsnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
iblabsnclem.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
43iblrelem 25694 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 25540 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 25434 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
10 rembl 25443 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
123recnd 11258 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1312abscld 15401 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
14 0re 11232 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4569 . . . . 5 (((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 4123 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
1817adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
19 iffalse 4533 . . . . 5 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
21 iftrue 4530 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
2221mpteq2ia 5245 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
2313fmpttd 7119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))):π΄βŸΆβ„)
2413adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
2524biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))))
263adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2826, 27absled 15395 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
2928notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ 𝑦 ↔ Β¬ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
3027, 24ltnled 11377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ 𝑦))
31 renegcl 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
3231rexrd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioomnf 13439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) < -𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) < -𝑦)))
3626biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) < -𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) < -𝑦)))
3727renegcld 11657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
3826, 37ltnled 11377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) < -𝑦 ↔ Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
3935, 36, 383bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
40 rexr 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
42 elioopnf 13438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π΅))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π΅))))
4426biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π΅))))
4527, 26ltnled 11377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦))
4643, 44, 453bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦))
4739, 46orbi12d 917 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∨ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
48 ianor 980 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦) ↔ (Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∨ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦))
4947, 48bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ Β¬ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
5029, 30, 493bitr4rd 312 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))))
51 elioopnf 13438 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))))
5241, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))))
5325, 50, 523bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5453rabbidva 3434 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))})
55 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
5655mptpreima 6236 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (𝑦(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))
5857mptpreima 6236 . . . . . . . . . 10 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 6236 . . . . . . . . . 10 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 4157 . . . . . . . . 9 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦)} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 4301 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦)} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2755 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6354, 56, 623eqtr4g 2792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (𝑦(,)+∞)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 25671 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
663fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„)
67 mbfima 25533 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 25533 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 25440 . . . . . . . . . 10 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 13439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦)))
7541, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦)))
7624biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦 ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦)))
7726, 27absltd 15394 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 307 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
7926biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦))))
81 3anass 1093 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8280, 81bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
83 elioo2 13383 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8432, 40, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3434 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8855mptpreima 6236 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (-∞(,)𝑦)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 6236 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (-∞(,)𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 25533 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9523, 7, 73, 94ismbf2d 25543 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
9622, 95eqeltrid 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 25549 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97eqeltrid 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 11215 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
101 ifan 4577 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0)
102 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
104 max1 13182 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
10514, 3, 104sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
106 elrege0 13449 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 13453 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4559 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110eqeltrid 2832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4577 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)
1143renegcld 11657 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
115 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
117 max1 13182 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
11814, 114, 117sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
119 elrege0 13449 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4559 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121eqeltrid 2832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2728 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)))
125 eqidd 2728 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 7697 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
127101, 113oveq12i 7426 . . . . . . . . 9 (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0))
128 max0add 15275 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
130 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
132 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
134131, 133oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
13521adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
137136ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
138 00id 11405 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2793 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
143137, 142pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
144127, 143eqtrid 2779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
145144mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
146126, 145eqtrd 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
1471, 146eqtr4id 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
148147fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
149111adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139eqtrid 2779 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
152 ibar 528 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))))
153152ifbid 4547 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
154153mpteq2ia 5245 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
1553, 6mbfpos 25554 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155eqeltrrid 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 25549 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
158112fmpttd 7119 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
1595simp2d 1141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
160123fmpttd 7119 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
1615simp3d 1142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
162157, 158, 159, 160, 161itg2addnc 37069 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
163148, 162eqtrd 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
164159, 161readdcld 11259 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) ∈ ℝ)
165163, 164eqeltrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
16698, 165jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7675  β„cr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127  +∞cpnf 11261  -∞cmnf 11262  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265  -cneg 11461  (,)cioo 13342  [,)cico 13344  abscabs 15199  volcvol 25366  MblFncmbf 25517  βˆ«2citg2 25519  πΏ1cibl 25520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-0p 25573
This theorem is referenced by:  iblabsnc  37079  iblmulc2nc  37080
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