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Theorem iblabsnclem 36144
Description: Lemma for iblabsnc 36145; cf. iblabslem 25195. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabsnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
iblabsnclem.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
43iblrelem 25158 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 25004 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 24898 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
10 rembl 24907 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
123recnd 11184 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
1312abscld 15322 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
14 0re 11158 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4532 . . . . 5 (((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 4088 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
1817adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
19 iffalse 4496 . . . . 5 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = 0)
21 iftrue 4493 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
2221mpteq2ia 5209 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
2313fmpttd 7064 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))):π΄βŸΆβ„)
2413adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
2524biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))))
263adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2826, 27absled 15316 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
2928notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ 𝑦 ↔ Β¬ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
3027, 24ltnled 11303 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ↔ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ 𝑦))
31 renegcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
3231rexrd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioomnf 13362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) < -𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) < -𝑦)))
3626biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) < -𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) < -𝑦)))
3727renegcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
3826, 37ltnled 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) < -𝑦 ↔ Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
3935, 36, 383bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
40 rexr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
42 elioopnf 13361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π΅))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π΅))))
4426biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π΅))))
4527, 26ltnled 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦))
4643, 44, 453bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦))
4739, 46orbi12d 918 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∨ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
48 ianor 981 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦) ↔ (Β¬ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∨ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦))
4947, 48bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ Β¬ (-𝑦 ≀ (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) ≀ 𝑦)))
5029, 30, 493bitr4rd 312 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))))
51 elioopnf 13361 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))))
5241, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))))
5325, 50, 523bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5453rabbidva 3415 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))})
55 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
5655mptpreima 6191 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (𝑦(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅))
5857mptpreima 6191 . . . . . . . . . 10 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 6191 . . . . . . . . . 10 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 4122 . . . . . . . . 9 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦)} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 4266 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦)} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6354, 56, 623eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (𝑦(,)+∞)) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 25135 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
663fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„)
67 mbfima 24997 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 24997 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 24904 . . . . . . . . . 10 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-∞(,)-𝑦)) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 13362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦)))
7541, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦)))
7624biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦 ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦)))
7726, 27absltd 15315 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 307 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
7926biantrurd 534 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦))))
81 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8280, 81bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
83 elioo2 13306 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8432, 40, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (πΉβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π΅) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3415 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8855mptpreima 6191 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (-∞(,)𝑦)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 6191 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π΅) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2802 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (-∞(,)𝑦)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 24997 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β€œ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9523, 7, 73, 94ismbf2d 25007 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ MblFn)
9622, 95eqeltrid 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 25013 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 11143 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
101 ifan 4540 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0)
102 ifcl 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
104 max1 13105 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
10514, 3, 104sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
106 elrege0 13372 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 13376 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4522 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4540 . . . . . . . . . 10 if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)
1143renegcld 11583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
115 ifcl 4532 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ)
117 max1 13105 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
11814, 114, 117sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
119 elrege0 13372 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4522 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)))
125 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 7638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
127101, 113oveq12i 7370 . . . . . . . . 9 (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0))
128 max0add 15196 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
130 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
131130adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0))
132 iftrue 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
133132adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0))
134131, 133oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) + if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0)))
13521adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
137136ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
138 00id 11331 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
143137, 142pm2.61d1 180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, if(0 ≀ -(πΉβ€˜π΅), -(πΉβ€˜π΅), 0), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
144127, 143eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0))
145144mpteq2dv 5208 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) + if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
146126, 145eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΉβ€˜π΅)), 0)))
1471, 146eqtr4id 2796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))))
148147fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
149111adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139eqtrid 2789 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0) = 0)
152 ibar 530 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))))
153152ifbid 4510 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0) = if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
154153mpteq2ia 5209 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))
1553, 6mbfpos 25018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π΅), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 25013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∈ MblFn)
158112fmpttd 7064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
1595simp2d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
160123fmpttd 7064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
1615simp3d 1145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
162157, 158, 159, 160, 161itg2addnc 36135 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
163148, 162eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))))
164159, 161readdcld 11185 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)), (πΉβ€˜π΅), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π΅)), -(πΉβ€˜π΅), 0)))) ∈ ℝ)
165163, 164eqeltrd 2838 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
16698, 165jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  β„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  -cneg 11387  (,)cioo 13265  [,)cico 13267  abscabs 15120  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  βˆ«2citg2 24983  πΏ1cibl 24984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-ibl 24989  df-0p 25037
This theorem is referenced by:  iblabsnc  36145  iblmulc2nc  36146
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