Theorem cantnflem1a 9723

Description: Lemma for cantnf 9731. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
oemapval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
oemapval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
oemapvali.r	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x	⊢ 𝑋 = ∪ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹‘𝑐) ∈ (𝐺‘𝑐)}

Assertion

Ref	Expression
cantnflem1a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem cantnflem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		oemapval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
5		oemapval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		oemapval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
7		oemapvali.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑇𝐺)
8		oemapvali.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹‘𝑐) ∈ (𝐺‘𝑐)}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	oemapvali 9722	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋 ∈ 𝑤 → (𝐹‘𝑤) = (𝐺‘𝑤))))
10	9	simp1d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋))
12	11	ne0d 4291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
13	1, 2, 3	cantnfs 9704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
14	6, 13	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
15	14	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
16	15	ffnd 6740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
17		0ex 5267	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
19		elsuppfn 8225	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
20	16, 3, 18, 19	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
21	10, 12, 20	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108  {copab 5173  dom cdm 5658  Oncon0 6388   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   supp csupp 8214   finSupp cfsupp 9391   CNF ccnf 9699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-seqom 8496  df-1o 8514  df-map 8887  df-en 9012  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-cnf 9700

This theorem is used by:  cantnflem1b  9724  cantnflem1d  9726  cantnflem1  9727