Theorem cantnflem1a 9686

Description: Lemma for cantnf 9694. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
oemapval.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
oemapval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
oemapval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
oemapvali.r	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x	⊢ 𝑋 = ∪ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹‘𝑐) ∈ (𝐺‘𝑐)}

Assertion

Ref	Expression
cantnflem1a	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem cantnflem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		oemapval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
5		oemapval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		oemapval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
7		oemapvali.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑇𝐺)
8		oemapvali.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ (𝐹‘𝑐) ∈ (𝐺‘𝑐)}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	oemapvali 9685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑋 ∈ 𝑤 → (𝐹‘𝑤) = (𝐺‘𝑤))))
10	9	simp1d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	9	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐺‘𝑋))
12	11	ne0d 4288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
13	1, 2, 3	cantnfs 9667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
14	6, 13	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
15	14	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
16	15	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
17		0ex 5261	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
19		elsuppfn 8187	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
20	16, 3, 18, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
21	10, 12, 20	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  {copab 5167  dom cdm 5651  Oncon0 6362   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   finSupp cfsupp 9353   CNF ccnf 9662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seqom 8458  df-1o 8476  df-map 8849  df-en 8974  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-cnf 9663

This theorem is used by:  cantnflem1b  9687  cantnflem1d  9689  cantnflem1  9690