MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflem1a 9629
Description: Lemma for cantnf 9637. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
oemapval.f (𝜑𝐹𝑆)
oemapval.g (𝜑𝐺𝑆)
oemapvali.r (𝜑𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
Assertion
Ref Expression
cantnflem1a (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem cantnflem1a
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 oemapval.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
5 oemapval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑆)
6 oemapval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
7 oemapvali.r . . . 4 (𝜑𝐹𝑇𝐺)
8 oemapvali.x . . . 4 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 9628 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
109simp1d 1143 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
119simp2d 1144 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
1211ne0d 4299 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ ∅)
131, 2, 3cantnfs 9610 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
146, 13mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1514simpld 496 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1615ffnd 6673 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
17 0ex 5268 . . . 4 ∅ ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ V)
19 elsuppfn 8106 . . 3 ((𝐺 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
2016, 3, 18, 19syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
2110, 12, 20mpbir2and 712 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  c0 4286   cuni 4869   class class class wbr 5109  {copab 5171  dom cdm 5637  Oncon0 6321   Fn wfn 6495  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096   finSupp cfsupp 9311   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnflem1b  9630  cantnflem1d  9632  cantnflem1  9633
  Copyright terms: Public domain W3C validator