MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflem1a 9726
Description: Lemma for cantnf 9734. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
oemapval.f (𝜑𝐹𝑆)
oemapval.g (𝜑𝐺𝑆)
oemapvali.r (𝜑𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
Assertion
Ref Expression
cantnflem1a (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem cantnflem1a
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 oemapval.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
5 oemapval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑆)
6 oemapval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
7 oemapvali.r . . . 4 (𝜑𝐹𝑇𝐺)
8 oemapvali.x . . . 4 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 9725 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
109simp1d 1142 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
119simp2d 1143 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
1211ne0d 4341 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ ∅)
131, 2, 3cantnfs 9707 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
146, 13mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1514simpld 494 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1615ffnd 6736 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
17 0ex 5306 . . . 4 ∅ ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ V)
19 elsuppfn 8196 . . 3 ((𝐺 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
2016, 3, 18, 19syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
2110, 12, 20mpbir2and 713 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  c0 4332   cuni 4906   class class class wbr 5142  {copab 5204  dom cdm 5684  Oncon0 6383   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186   finSupp cfsupp 9402   CNF ccnf 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-seqom 8489  df-1o 8507  df-map 8869  df-en 8987  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-cnf 9703
This theorem is referenced by:  cantnflem1b  9727  cantnflem1d  9729  cantnflem1  9730
  Copyright terms: Public domain W3C validator