Theorem caratheodory 46505

Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodory.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caratheodory	⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodory.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caratheodory.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragensal 46502	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
5	1, 4	omef 46473	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 ∪ dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6		caragenval 46470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
8	7	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
9	2	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
11	8, 10	eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
12		ssrab2 4055	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂
13	11, 12	eqsstrdi 4003	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
14	5, 13	fssresd 6744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
15	1, 2	caragen0 46483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16		fvres 6894	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
18	1	ome0 46474	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
20		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
21		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22		fveq2 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑒‘𝑛) = (𝑒‘𝑚))
23	22	cbvdisjv 5097	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
24	23	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
26	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
28	23	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
30		fveq2 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
31	30	cbviunv 5016	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛)
32	31	mpteq2i 5217	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛))
33	26, 4, 2, 27, 29, 32	caratheodorylem2 46504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
34	20, 21, 25, 33	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
35	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36		nnenom 13996	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
37		endom 8991	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40		ffvelcdm 7070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
41	40	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	35, 39, 41	saliuncl 46300	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
43		fvres 6894	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
45	44	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
46		fvres 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
47	41, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
48	47	mpteq2dva 5214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛))))
49	48	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
50	49	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
51	34, 45, 50	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))))
52	3, 14, 19, 51	ismeannd 46444	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883  ∪ ciun 4967  Disj wdisj 5086   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ωcom 7859   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955  0cc0 11127  1c1 11128  +∞cpnf 11264  ℕcn 12238   +_𝑒 cxad 13124  [,]cicc 13363  ...cfz 13522  SAlgcsalg 46285  Σ^{^}csumge0 46339  Meascmea 46426  OutMeascome 46466  CaraGenccaragen 46468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-ac2 10475  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-acn 9954  df-ac 10128  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xadd 13127  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701  df-salg 46286  df-sumge0 46340  df-mea 46427  df-ome 46467  df-caragen 46469

This theorem is referenced by:  vonmea  46551