Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caratheodory 46543
Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
31, 2caragensal 46540 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2737 . . . 4 dom 𝑂 = dom 𝑂
51, 4omef 46511 . . 3 (𝜑𝑂:𝒫 dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6 caragenval 46508 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
87eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
92eqcomi 2746 . . . . . 6 (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2778 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
12 ssrab2 4080 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} ⊆ 𝒫 dom 𝑂
1311, 12eqsstrdi 4028 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 dom 𝑂)
145, 13fssresd 6775 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
151, 2caragen0 46521 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16 fvres 6925 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
181ome0 46512 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1917, 18eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = 0)
20 simp1 1137 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
21 simp2 1138 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑚))
2322cbvdisjv 5121 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2423biimpi 216 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
25243ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2613ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2823biimpri 228 . . . . . 6 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
29283ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
30 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
3130cbviunv 5040 . . . . . 6 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚) = 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛)
3231mpteq2i 5247 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 46542 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
353adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 14021 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
37 endom 9019 . . . . . . . 8 (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 ℕ ≼ ω
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝑒:ℕ⟶𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4140adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 46338 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
43 fvres 6925 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
45443adant3 1133 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
46 fvres 6925 . . . . . . 7 ((𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4847mpteq2dva 5242 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛))))
4948fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
50493adant3 1133 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 46482 1 (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  cn 12266   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  SAlgcsalg 46323  Σ^csumge0 46377  Meascmea 46464  OutMeascome 46504  CaraGenccaragen 46506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465  df-ome 46505  df-caragen 46507
This theorem is referenced by:  vonmea  46589
  Copyright terms: Public domain W3C validator