Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem caratheodory 45544
Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆) ∈ Meas)
Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑗 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
31, 2caragensal 45541 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2731 . . . 4 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
51, 4omef 45512 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 βˆͺ dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
6 caragenval 45509 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
87eqcomd 2737 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)} = (CaraGenβ€˜π‘‚))
92eqcomi 2740 . . . . . 6 (CaraGenβ€˜π‘‚) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
12 ssrab2 4078 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)} βŠ† 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
1311, 12eqsstrdi 4037 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
145, 13fssresd 6759 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
151, 2caragen0 45522 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
16 fvres 6911 . . . 4 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘‚β€˜βˆ…))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘‚β€˜βˆ…))
181ome0 45513 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1917, 18eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0)
20 simp1 1135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
21 simp2 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†)
22 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘’β€˜π‘›) = (π‘’β€˜π‘š))
2322cbvdisjv 5125 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ↔ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
2423biimpi 215 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) β†’ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
25243ad2ant3 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
2613ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†)
2823biimpri 227 . . . . . 6 (Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›))
29283ad2ant3 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›))
30 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘’β€˜π‘š) = (π‘’β€˜π‘›))
3130cbviunv 5044 . . . . . 6 βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘›)
3231mpteq2i 5254 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘š)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘›))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 45543 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1370 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
353adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 13950 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
37 endom 8978 . . . . . . . 8 (β„• β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 β„• β‰Ό Ο‰
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
40 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4140adantll 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 45339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
43 fvres 6911 . . . . 5 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
45443adant3 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
46 fvres 6911 . . . . . . 7 ((π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))
4847mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›))))
4948fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
50493adant3 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 45483 1 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆) ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858   β‰ˆ cen 8939   β‰Ό cdom 8940  0cc0 11113  1c1 11114  +∞cpnf 11250  β„•cn 12217   +𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  SAlgcsalg 45324  Ξ£^csumge0 45378  Meascmea 45465  OutMeascome 45505  CaraGenccaragen 45507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-salg 45325  df-sumge0 45379  df-mea 45466  df-ome 45506  df-caragen 45508
This theorem is referenced by:  vonmea  45590
  Copyright terms: Public domain W3C validator