Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caratheodory 46483
Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
31, 2caragensal 46480 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2734 . . . 4 dom 𝑂 = dom 𝑂
51, 4omef 46451 . . 3 (𝜑𝑂:𝒫 dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6 caragenval 46448 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
87eqcomd 2740 . . . . 5 (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
92eqcomi 2743 . . . . . 6 (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2775 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
12 ssrab2 4089 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} ⊆ 𝒫 dom 𝑂
1311, 12eqsstrdi 4049 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 dom 𝑂)
145, 13fssresd 6775 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
151, 2caragen0 46461 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16 fvres 6925 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
181ome0 46452 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1917, 18eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = 0)
20 simp1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
21 simp2 1136 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑚))
2322cbvdisjv 5125 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2423biimpi 216 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
25243ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2613ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2823biimpri 228 . . . . . 6 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
29283ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
30 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
3130cbviunv 5044 . . . . . 6 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚) = 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛)
3231mpteq2i 5252 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 46482 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
353adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 14017 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
37 endom 9017 . . . . . . . 8 (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 ℕ ≼ ω
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40 ffvelcdm 7100 . . . . . . 7 ((𝑒:ℕ⟶𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4140adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 46278 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
43 fvres 6925 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
45443adant3 1131 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
46 fvres 6925 . . . . . . 7 ((𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4847mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛))))
4948fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
50493adant3 1131 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2784 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 46422 1 (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  cdif 3959  cin 3961  c0 4338  𝒫 cpw 4604   cuni 4911   ciun 4995  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  cen 8980  cdom 8981  0cc0 11152  1c1 11153  +∞cpnf 11289  cn 12263   +𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  SAlgcsalg 46263  Σ^csumge0 46317  Meascmea 46404  OutMeascome 46444  CaraGenccaragen 46446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-salg 46264  df-sumge0 46318  df-mea 46405  df-ome 46445  df-caragen 46447
This theorem is referenced by:  vonmea  46529
  Copyright terms: Public domain W3C validator