Theorem caratheodory 46533

Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodory.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caratheodory	⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodory.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caratheodory.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragensal 46530	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
5	1, 4	omef 46501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 ∪ dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6		caragenval 46498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
8	7	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
9	2	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
11	8, 10	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
12		ssrab2 4046	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂
13	11, 12	eqsstrdi 3994	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
14	5, 13	fssresd 6730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
15	1, 2	caragen0 46511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16		fvres 6880	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
18	1	ome0 46502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
20		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
21		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑒‘𝑛) = (𝑒‘𝑚))
23	22	cbvdisjv 5088	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
24	23	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
26	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
28	23	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
30		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
31	30	cbviunv 5007	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛)
32	31	mpteq2i 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛))
33	26, 4, 2, 27, 29, 32	caratheodorylem2 46532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
34	20, 21, 25, 33	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
35	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36		nnenom 13952	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
37		endom 8953	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40		ffvelcdm 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
41	40	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	35, 39, 41	saliuncl 46328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
43		fvres 6880	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
45	44	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
46		fvres 6880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
47	41, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
48	47	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛))))
49	48	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
50	49	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
51	34, 45, 50	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))))
52	3, 14, 19, 51	ismeannd 46472	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874  ∪ ciun 4958  Disj wdisj 5077   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11212  ℕcn 12193   +_𝑒 cxad 13077  [,]cicc 13316  ...cfz 13475  SAlgcsalg 46313  Σ^{^}csumge0 46367  Meascmea 46454  OutMeascome 46494  CaraGenccaragen 46496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-salg 46314  df-sumge0 46368  df-mea 46455  df-ome 46495  df-caragen 46497

This theorem is referenced by:  vonmea  46579