Theorem caratheodory 46449

Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodory.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caratheodory	⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodory.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caratheodory.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragensal 46446	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
5	1, 4	omef 46417	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 ∪ dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6		caragenval 46414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
8	7	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
9	2	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
11	8, 10	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
12		ssrab2 4103	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂
13	11, 12	eqsstrdi 4063	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
14	5, 13	fssresd 6788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
15	1, 2	caragen0 46427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16		fvres 6939	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
18	1	ome0 46418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
20		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
21		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑒‘𝑛) = (𝑒‘𝑚))
23	22	cbvdisjv 5144	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
24	23	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
25	24	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
26	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
28	23	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
30		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
31	30	cbviunv 5063	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛)
32	31	mpteq2i 5271	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛))
33	26, 4, 2, 27, 29, 32	caratheodorylem2 46448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
34	20, 21, 25, 33	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
35	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36		nnenom 14031	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
37		endom 9039	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
41	40	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	35, 39, 41	saliuncl 46244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
43		fvres 6939	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
45	44	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
46		fvres 6939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
47	41, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
48	47	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛))))
49	48	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
50	49	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
51	34, 45, 50	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))))
52	3, 14, 19, 51	ismeannd 46388	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001  0cc0 11184  1c1 11185  +∞cpnf 11321  ℕcn 12293   +_𝑒 cxad 13173  [,]cicc 13410  ...cfz 13567  SAlgcsalg 46229  Σ^{^}csumge0 46283  Meascmea 46370  OutMeascome 46410  CaraGenccaragen 46412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-salg 46230  df-sumge0 46284  df-mea 46371  df-ome 46411  df-caragen 46413

This theorem is referenced by:  vonmea  46495