Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caratheodory 44843
Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑗 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
31, 2caragensal 44840 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2737 . . . 4 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
51, 4omef 44811 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 βˆͺ dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
6 caragenval 44808 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
87eqcomd 2743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)} = (CaraGenβ€˜π‘‚))
92eqcomi 2746 . . . . . 6 (CaraGenβ€˜π‘‚) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
12 ssrab2 4042 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)} βŠ† 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
1311, 12eqsstrdi 4003 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
145, 13fssresd 6714 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
151, 2caragen0 44821 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
16 fvres 6866 . . . 4 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘‚β€˜βˆ…))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘‚β€˜βˆ…))
181ome0 44812 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1917, 18eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0)
20 simp1 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
21 simp2 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†)
22 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘’β€˜π‘›) = (π‘’β€˜π‘š))
2322cbvdisjv 5086 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ↔ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
2423biimpi 215 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) β†’ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
25243ad2ant3 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
2613ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†)
2823biimpri 227 . . . . . 6 (Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›))
29283ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›))
30 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘’β€˜π‘š) = (π‘’β€˜π‘›))
3130cbviunv 5005 . . . . . 6 βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘›)
3231mpteq2i 5215 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘š)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘›))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 44842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
353adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 13892 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
37 endom 8926 . . . . . . . 8 (β„• β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 β„• β‰Ό Ο‰
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
40 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 ((𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4140adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 44638 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
43 fvres 6866 . . . . 5 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
45443adant3 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
46 fvres 6866 . . . . . . 7 ((π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))
4847mpteq2dva 5210 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›))))
4948fveq2d 6851 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
50493adant3 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2787 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 44782 1 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆) ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  0cc0 11058  1c1 11059  +∞cpnf 11193  β„•cn 12160   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  SAlgcsalg 44623  Ξ£^csumge0 44677  Meascmea 44764  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-salg 44624  df-sumge0 44678  df-mea 44765  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  vonmea  44889
  Copyright terms: Public domain W3C validator