Theorem caratheodory 46054

Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodory.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caratheodory	⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodory.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caratheodory.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragensal 46051	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
5	1, 4	omef 46022	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 ∪ dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6		caragenval 46019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
8	7	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
9	2	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
11	8, 10	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
12		ssrab2 4073	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂
13	11, 12	eqsstrdi 4031	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
14	5, 13	fssresd 6764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
15	1, 2	caragen0 46032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16		fvres 6915	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
18	1	ome0 46023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
20		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
21		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22		fveq2 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑒‘𝑛) = (𝑒‘𝑚))
23	22	cbvdisjv 5125	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
24	23	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
25	24	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
26	1	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
28	23	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
29	28	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
30		fveq2 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
31	30	cbviunv 5044	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛)
32	31	mpteq2i 5254	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛))
33	26, 4, 2, 27, 29, 32	caratheodorylem2 46053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
34	20, 21, 25, 33	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
35	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36		nnenom 13981	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
37		endom 9000	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40		ffvelcdm 7090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
41	40	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	35, 39, 41	saliuncl 45849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
43		fvres 6915	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
45	44	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
46		fvres 6915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
47	41, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
48	47	mpteq2dva 5249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛))))
49	48	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
50	49	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
51	34, 45, 50	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))))
52	3, 14, 19, 51	ismeannd 45993	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  {crab 3418   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4909  ∪ ciun 4997  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5678   ↾ cres 5680  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962  0cc0 11140  1c1 11141  +∞cpnf 11277  ℕcn 12245   +_𝑒 cxad 13125  [,]cicc 13362  ...cfz 13519  SAlgcsalg 45834  Σ^{^}csumge0 45888  Meascmea 45975  OutMeascome 46015  CaraGenccaragen 46017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-salg 45835  df-sumge0 45889  df-mea 45976  df-ome 46016  df-caragen 46018

This theorem is referenced by:  vonmea  46100