Theorem caratheodory 47359

Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caratheodory.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caratheodory	⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory

Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodory.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caratheodory.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3	1, 2	caragensal 47356	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂
5	1, 4	omef 47327	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 ∪ dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6		caragenval 47324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
7	1, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
8	7	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
9	2	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
11	8, 10	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)})
12		ssrab2 4028	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑂((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝑒))) = (𝑂‘𝑎)} ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂
13	11, 12	eqsstrdi 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ dom 𝑂)
14	5, 13	fssresd 6743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
15	1, 2	caragen0 47337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16		fvres 6898	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
18	1	ome0 47328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
20		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
21		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑒‘𝑛) = (𝑒‘𝑚))
23	22	cbvdisjv 5081	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
24	23	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
25	24	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
26	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
28	23	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
30		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
31	30	cbviunv 4997	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛)
32	31	mpteq2i 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ∪ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒‘𝑛))
33	26, 4, 2, 27, 29, 32	caratheodorylem2 47358	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
34	20, 21, 25, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
35	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36		nnenom 14047	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
37		endom 8988	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40		ffvelcdm 7075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
41	40	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
42	35, 39, 41	saliuncl 47154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
43		fvres 6898	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
44	42, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
45	44	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)))
46		fvres 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
47	41, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)) = (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))
48	47	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛))))
49	48	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
50	49	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒‘𝑛)))))
51	34, 45, 50	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆 ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → ((𝑂 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂 ↾ 𝑆)‘(𝑒‘𝑛)))))
52	3, 14, 19, 51	ismeannd 47298	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ 𝑆) ∈ Meas)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ωcom 7863   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953  0cc0 11127  1c1 11128  +∞cpnf 11267  ℕcn 12260   +_𝑒 cxad 13164  [,]cicc 13404  ...cfz 13564  SAlgcsalg 47139  Σ^{^}csumge0 47193  Meascmea 47280  OutMeascome 47320  CaraGenccaragen 47322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xadd 13167  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777  df-salg 47140  df-sumge0 47194  df-mea 47281  df-ome 47321  df-caragen 47323

This theorem is used by:  vonmea  47405