Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem caratheodory 45542
Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆) ∈ Meas)
Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables π‘Ž 𝑒 𝑗 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
31, 2caragensal 45539 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2730 . . . 4 βˆͺ dom 𝑂 = βˆͺ dom 𝑂
51, 4omef 45510 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 βˆͺ dom π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
6 caragenval 45507 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
87eqcomd 2736 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)} = (CaraGenβ€˜π‘‚))
92eqcomi 2739 . . . . . 6 (CaraGenβ€˜π‘‚) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (CaraGenβ€˜π‘‚) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)})
12 ssrab2 4076 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂 ∣ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom 𝑂((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝑒)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝑒))) = (π‘‚β€˜π‘Ž)} βŠ† 𝒫 βˆͺ dom 𝑂
1311, 12eqsstrdi 4035 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ dom 𝑂)
145, 13fssresd 6757 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
151, 2caragen0 45520 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
16 fvres 6909 . . . 4 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘‚β€˜βˆ…))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘‚β€˜βˆ…))
181ome0 45511 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆ…) = 0)
1917, 18eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0)
20 simp1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
21 simp2 1135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†)
22 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘’β€˜π‘›) = (π‘’β€˜π‘š))
2322cbvdisjv 5123 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ↔ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
2423biimpi 215 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) β†’ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
25243ad2ant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š))
2613ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†)
2823biimpri 227 . . . . . 6 (Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›))
29283ad2ant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›))
30 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘’β€˜π‘š) = (π‘’β€˜π‘›))
3130cbviunv 5042 . . . . . 6 βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘›)
3231mpteq2i 5252 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘š)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(π‘’β€˜π‘›))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 45541 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj π‘š ∈ β„• (π‘’β€˜π‘š)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
353adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 13949 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
37 endom 8977 . . . . . . . 8 (β„• β‰ˆ Ο‰ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 β„• β‰Ό Ο‰
3938a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
40 ffvelcdm 7082 . . . . . . 7 ((𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4140adantll 710 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 45337 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆)
43 fvres 6909 . . . . 5 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
45443adant3 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)))
46 fvres 6909 . . . . . . 7 ((π‘’β€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))
4847mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›))))
4948fveq2d 6894 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
50493adant3 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2780 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒:β„•βŸΆπ‘† ∧ Disj 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) β†’ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘’β€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑂 β†Ύ 𝑆)β€˜(π‘’β€˜π‘›)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 45481 1 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ 𝑆) ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  β„•cn 12216   +𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  SAlgcsalg 45322  Ξ£^csumge0 45376  Meascmea 45463  OutMeascome 45503  CaraGenccaragen 45505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-salg 45323  df-sumge0 45377  df-mea 45464  df-ome 45504  df-caragen 45506
This theorem is referenced by:  vonmea  45588
  Copyright terms: Public domain W3C validator