Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caratheodory 41536
Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
31, 2caragensal 41533 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2825 . . . 4 dom 𝑂 = dom 𝑂
51, 4omef 41504 . . 3 (𝜑𝑂:𝒫 dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6 caragenval 41501 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
87eqcomd 2831 . . . . 5 (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
92eqcomi 2834 . . . . . 6 (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2862 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
12 ssrab2 3912 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} ⊆ 𝒫 dom 𝑂
1311, 12syl6eqss 3880 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 dom 𝑂)
145, 13fssresd 6308 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
151, 2caragen0 41514 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16 fvres 6452 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
181ome0 41505 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1917, 18eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = 0)
20 simp1 1172 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
21 simp2 1173 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑚))
2322cbvdisjv 4852 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2423biimpi 208 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
25243ad2ant3 1171 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2613ad2ant1 1169 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1173 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2823biimpri 220 . . . . . 6 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
29283ad2ant3 1171 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
30 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
3130cbviunv 4779 . . . . . 6 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚) = 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛)
3231mpteq2i 4964 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 41535 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1496 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
353adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 13074 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
37 endom 8249 . . . . . . . 8 (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 ℕ ≼ ω
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40 ffvelrn 6606 . . . . . . 7 ((𝑒:ℕ⟶𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4140adantll 707 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 41333 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
43 fvres 6452 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
45443adant3 1168 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
46 fvres 6452 . . . . . . 7 ((𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4847mpteq2dva 4967 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛))))
4948fveq2d 6437 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
50493adant3 1168 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2871 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 41475 1 (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  {crab 3121  cdif 3795  cin 3797  c0 4144  𝒫 cpw 4378   cuni 4658   ciun 4740  Disj wdisj 4841   class class class wbr 4873  cmpt 4952  dom cdm 5342  cres 5344  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  ωcom 7326  cen 8219  cdom 8220  0cc0 10252  1c1 10253  +∞cpnf 10388  cn 11350   +𝑒 cxad 12230  [,]cicc 12466  ...cfz 12619  SAlgcsalg 41319  Σ^csumge0 41370  Meascmea 41457  OutMeascome 41497  CaraGenccaragen 41499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-ac2 9600  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-salg 41320  df-sumge0 41371  df-mea 41458  df-ome 41498  df-caragen 41500
This theorem is referenced by:  vonmea  41582
  Copyright terms: Public domain W3C validator