Theorem odinf 18801

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odinf	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znnen 15650	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ℕ
2		nnenom 13432	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entr2i 8603	. . . 4 ⊢ ω ≈ ℤ
4		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odf1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		odf1.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	4, 5, 6, 7	odf1 18800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))
9	8	biimp3a 1470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
10		f1f 6568	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
11		zex 12064	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
12	4	fvexi 6682	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
13		fex2 7657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	11, 12, 13	mp3an23 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ⟶𝑋 → 𝐹 ∈ V)
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
16		f1f1orn 6623	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
17	9, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
18		f1oen3g 8564	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
19	15, 17, 18	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
20		entr 8600	. . . 4 ⊢ ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
21	3, 19, 20	sylancr 590	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
22		endom 8575	. . 3 ⊢ (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
23		domnsym 8686	. . 3 ⊢ (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
25		isfinite 9181	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
26	24, 25	sylnibr 332	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3397   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  ran crn 5520  ⟶wf 6329  –1-1→wf1 6330  –1-1-onto→wf1o 6332  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ωcom 7593   ≈ cen 8545   ≼ cdom 8546   ≺ csdm 8547  Fincfn 8548  0cc0 10608  ℕcn 11709  ℤcz 12055  Basecbs 16579  Grpcgrp 18212  ._gcmg 18335  odcod 18763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-od 18767

This theorem is referenced by:  dfod2  18802  odcl2  18803