MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinf 18801
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odinf ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 15650 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
2 nnenom 13432 . . . . 5 ℕ ≈ ω
31, 2entr2i 8603 . . . 4 ω ≈ ℤ
4 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 odf1.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
6 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
7 odf1.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
84, 5, 6, 7odf1 18800 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
98biimp3a 1470 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
10 f1f 6568 . . . . . 6 (𝐹:ℤ–1-1𝑋𝐹:ℤ⟶𝑋)
11 zex 12064 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
124fvexi 6682 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
13 fex2 7657 . . . . . . 7 ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
1411, 12, 13mp3an23 1454 . . . . . 6 (𝐹:ℤ⟶𝑋𝐹 ∈ V)
159, 10, 143syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
16 f1f1orn 6623 . . . . . 6 (𝐹:ℤ–1-1𝑋𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
179, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
18 f1oen3g 8564 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
1915, 17, 18syl2anc 587 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
20 entr 8600 . . . 4 ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
213, 19, 20sylancr 590 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
22 endom 8575 . . 3 (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
23 domnsym 8686 . . 3 (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
25 isfinite 9181 . 2 (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
2624, 25sylnibr 332 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3397   class class class wbr 5027  cmpt 5107  ran crn 5520  wf 6329  1-1wf1 6330  1-1-ontowf1o 6332  cfv 6333  (class class class)co 7164  ωcom 7593  cen 8545  cdom 8546  csdm 8547  Fincfn 8548  0cc0 10608  cn 11709  cz 12055  Basecbs 16579  Grpcgrp 18212  .gcmg 18335  odcod 18763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-od 18767
This theorem is referenced by:  dfod2  18802  odcl2  18803
  Copyright terms: Public domain W3C validator