MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinf 18612
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odinf ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 15557 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
2 nnenom 13341 . . . . 5 ℕ ≈ ω
31, 2entr2i 8556 . . . 4 ω ≈ ℤ
4 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 odf1.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
6 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
7 odf1.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
84, 5, 6, 7odf1 18611 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
98biimp3a 1462 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
10 f1f 6571 . . . . . 6 (𝐹:ℤ–1-1𝑋𝐹:ℤ⟶𝑋)
11 zex 11982 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
124fvexi 6680 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
13 fex2 7629 . . . . . . 7 ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
1411, 12, 13mp3an23 1446 . . . . . 6 (𝐹:ℤ⟶𝑋𝐹 ∈ V)
159, 10, 143syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
16 f1f1orn 6622 . . . . . 6 (𝐹:ℤ–1-1𝑋𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
179, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
18 f1oen3g 8517 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
20 entr 8553 . . . 4 ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
213, 19, 20sylancr 587 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
22 endom 8528 . . 3 (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
23 domnsym 8635 . . 3 (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
25 isfinite 9107 . 2 (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
2624, 25sylnibr 330 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  wf 6347  1-1wf1 6348  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  cen 8498  cdom 8499  csdm 8500  Fincfn 8501  0cc0 10529  cn 11630  cz 11973  Basecbs 16475  Grpcgrp 18035  .gcmg 18156  odcod 18574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-od 18578
This theorem is referenced by:  dfod2  18613  odcl2  18614
  Copyright terms: Public domain W3C validator