MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinf 19473
Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
odf1.2 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
odf1.3 Β· = (.gβ€˜πΊ)
odf1.4 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odinf ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑂   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 16152 . . . . 5 β„€ β‰ˆ β„•
2 nnenom 13942 . . . . 5 β„• β‰ˆ Ο‰
31, 2entr2i 9001 . . . 4 Ο‰ β‰ˆ β„€
4 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
5 odf1.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
6 odf1.3 . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
7 odf1.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
84, 5, 6, 7odf1 19472 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐹:℀–1-1→𝑋))
98biimp3a 1465 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐹:℀–1-1→𝑋)
10 f1f 6777 . . . . . 6 (𝐹:℀–1-1→𝑋 β†’ 𝐹:β„€βŸΆπ‘‹)
11 zex 12564 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
124fvexi 6895 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
13 fex2 7917 . . . . . . 7 ((𝐹:β„€βŸΆπ‘‹ ∧ β„€ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
1411, 12, 13mp3an23 1449 . . . . . 6 (𝐹:β„€βŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹 ∈ V)
159, 10, 143syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐹 ∈ V)
16 f1f1orn 6834 . . . . . 6 (𝐹:℀–1-1→𝑋 β†’ 𝐹:℀–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
179, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ 𝐹:℀–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
18 f1oen3g 8958 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:℀–1-1-ontoβ†’ran 𝐹) β†’ β„€ β‰ˆ ran 𝐹)
1915, 17, 18syl2anc 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ β„€ β‰ˆ ran 𝐹)
20 entr 8998 . . . 4 ((Ο‰ β‰ˆ β„€ ∧ β„€ β‰ˆ ran 𝐹) β†’ Ο‰ β‰ˆ ran 𝐹)
213, 19, 20sylancr 586 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ Ο‰ β‰ˆ ran 𝐹)
22 endom 8971 . . 3 (Ο‰ β‰ˆ ran 𝐹 β†’ Ο‰ β‰Ό ran 𝐹)
23 domnsym 9095 . . 3 (Ο‰ β‰Ό ran 𝐹 β†’ Β¬ ran 𝐹 β‰Ί Ο‰)
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ Β¬ ran 𝐹 β‰Ί Ο‰)
25 isfinite 9643 . 2 (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 β‰Ί Ο‰)
2624, 25sylnibr 329 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) = 0) β†’ Β¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667  βŸΆwf 6529  β€“1-1β†’wf1 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Ο‰com 7848   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933   β‰Ί csdm 8934  Fincfn 8935  0cc0 11106  β„•cn 12209  β„€cz 12555  Basecbs 17143  Grpcgrp 18853  .gcmg 18985  odcod 19434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-od 19438
This theorem is referenced by:  dfod2  19474  odcl2  19475
  Copyright terms: Public domain W3C validator