Theorem odinf 19549

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odinf	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znnen 16235	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ℕ
2		nnenom 14003	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entr2i 9028	. . . 4 ⊢ ω ≈ ℤ
4		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odf1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		odf1.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	4, 5, 6, 7	odf1 19548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))
9	8	biimp3a 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
10		f1f 6779	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
11		zex 12602	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
12	4	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
13		fex2 7937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	11, 12, 13	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ⟶𝑋 → 𝐹 ∈ V)
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
16		f1f1orn 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
17	9, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
18		f1oen3g 8986	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
19	15, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
20		entr 9025	. . . 4 ⊢ ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
21	3, 19, 20	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
22		endom 8998	. . 3 ⊢ (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
23		domnsym 9118	. . 3 ⊢ (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
25		isfinite 9671	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
26	24, 25	sylnibr 329	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7866   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963  Fincfn 8964  0cc0 11134  ℕcn 12245  ℤcz 12593  Basecbs 17233  Grpcgrp 18921  ._gcmg 19055  odcod 19510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-od 19514

This theorem is referenced by:  dfod2  19550  odcl2  19551