Theorem odinf 19476

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odinf	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znnen 16162	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ℕ
2		nnenom 13952	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entr2i 9011	. . . 4 ⊢ ω ≈ ℤ
4		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odf1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		odf1.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	4, 5, 6, 7	odf1 19475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))
9	8	biimp3a 1468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
10		f1f 6787	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
11		zex 12574	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
12	4	fvexi 6905	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
13		fex2 7928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	11, 12, 13	mp3an23 1452	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ⟶𝑋 → 𝐹 ∈ V)
15	9, 10, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
16		f1f1orn 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
17	9, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
18		f1oen3g 8968	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
19	15, 17, 18	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
20		entr 9008	. . . 4 ⊢ ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
21	3, 19, 20	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
22		endom 8981	. . 3 ⊢ (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
23		domnsym 9105	. . 3 ⊢ (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
25		isfinite 9653	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
26	24, 25	sylnibr 329	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ωcom 7859   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943   ≺ csdm 8944  Fincfn 8945  0cc0 11116  ℕcn 12219  ℤcz 12565  Basecbs 17151  Grpcgrp 18858  ._gcmg 18990  odcod 19437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-od 19441

This theorem is referenced by:  dfod2  19477  odcl2  19478