MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfaddlem 25409
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 11195 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfadd.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 mbfadd.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
53fdmd 6727 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25375 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4217 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
112, 3, 4, 9, 9, 10off 7690 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):π΄βŸΆβ„)
12 eliun 5000 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
13 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
14 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
154adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
173adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1914, 16, 18ltsubaddd 11814 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
2014adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
21 qre 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2316adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 ltsub23 11698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ))
2625anbi1cd 632 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
2726rexbidva 3174 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
2814, 16resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3018adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31 lttr 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3229, 22, 30, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3332rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
34 qbtwnre 13182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)))
35343expia 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
3628, 18, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
3733, 36impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3827, 37bitrd 278 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
393ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
414ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
439adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
44 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
45 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
4640, 42, 43, 43, 10, 44, 45ofval 7683 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
4746breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
4819, 38, 473bitr4d 310 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯)))
4922rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
50 elioopnf 13424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
5230, 51mpbirand 703 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)))
5320, 22resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5453rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
55 elioopnf 13424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5723, 56mpbirand 703 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)))
5852, 57anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5958rexbidva 3174 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
6011adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):π΄βŸΆβ„)
6160ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6214rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
63 elioopnf 13424 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯))))
6561, 64mpbirand 703 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯)))
6648, 59, 653bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
6766pm5.32da 577 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6813, 67bitrid 282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69 elpreima 7058 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞))))
7040, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞))))
71 elpreima 7058 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7370, 72anbi12d 629 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
74 elin 3963 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
75 anandi 672 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7673, 74, 753bitr4g 313 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
7776rexbidv 3176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
7811ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
7978adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
80 elpreima 7058 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8268, 77, 813bitr4d 310 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞))))
8312, 82bitrid 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞))))
8483eqrdv 2728 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)))
85 qnnen 16160 . . . . 5 β„š β‰ˆ β„•
86 endom 8977 . . . . 5 (β„š β‰ˆ β„• β†’ β„š β‰Ό β„•)
8785, 86ax-mp 5 . . . 4 β„š β‰Ό β„•
88 mbfima 25379 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol)
896, 3, 88syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
91 mbfima 25379 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol)
9290, 4, 91syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93 inmbl 25291 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9489, 92, 93syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9594ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9695ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97 iunmbl2 25306 . . . 4 ((β„š β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9887, 96, 97sylancr 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9984, 98eqeltrrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
10011, 99ismbf3d 25403 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  β„cr 11111   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„šcq 12936  (,)cioo 13328  volcvol 25212  MblFncmbf 25363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368
This theorem is referenced by:  mbfadd  25410
  Copyright terms: Public domain W3C validator