MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfaddlem 25410
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 11196 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfadd.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 mbfadd.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
53fdmd 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25376 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4219 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
112, 3, 4, 9, 9, 10off 7691 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):π΄βŸΆβ„)
12 eliun 5002 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
13 r19.42v 3189 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
14 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
154adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
173adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1914, 16, 18ltsubaddd 11815 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
2014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
21 qre 12942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 ltsub23 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ))
2625anbi1cd 633 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
2726rexbidva 3175 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
2814, 16resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31 lttr 11295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3229, 22, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3332rexlimdva 3154 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
34 qbtwnre 13183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)))
35343expia 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
3628, 18, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
3733, 36impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3827, 37bitrd 278 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
393ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
414ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
439adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
44 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
45 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
4640, 42, 43, 43, 10, 44, 45ofval 7684 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
4746breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
4819, 38, 473bitr4d 310 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯)))
4922rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
50 elioopnf 13425 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
5230, 51mpbirand 704 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)))
5320, 22resubcld 11647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5453rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
55 elioopnf 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5723, 56mpbirand 704 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)))
5852, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5958rexbidva 3175 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
6011adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):π΄βŸΆβ„)
6160ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6214rexrd 11269 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
63 elioopnf 13425 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯))))
6561, 64mpbirand 704 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯)))
6648, 59, 653bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
6766pm5.32da 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6813, 67bitrid 282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞))))
7040, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞))))
71 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7370, 72anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
74 elin 3965 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
75 anandi 673 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7673, 74, 753bitr4g 313 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
7776rexbidv 3177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
7811ffnd 6719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
80 elpreima 7060 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8268, 77, 813bitr4d 310 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞))))
8312, 82bitrid 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞))))
8483eqrdv 2729 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)))
85 qnnen 16161 . . . . 5 β„š β‰ˆ β„•
86 endom 8978 . . . . 5 (β„š β‰ˆ β„• β†’ β„š β‰Ό β„•)
8785, 86ax-mp 5 . . . 4 β„š β‰Ό β„•
88 mbfima 25380 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol)
896, 3, 88syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
91 mbfima 25380 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol)
9290, 4, 91syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93 inmbl 25292 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9489, 92, 93syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9594ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9695ralrimiva 3145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97 iunmbl2 25307 . . . 4 ((β„š β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9887, 96, 97sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9984, 98eqeltrrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
10011, 99ismbf3d 25404 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   ∩ cin 3948  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   β‰ˆ cen 8939   β‰Ό cdom 8940  β„cr 11112   + caddc 11116  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„šcq 12937  (,)cioo 13329  volcvol 25213  MblFncmbf 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-xmet 21138  df-met 21139  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369
This theorem is referenced by:  mbfadd  25411
  Copyright terms: Public domain W3C validator