Theorem mbfaddlem 25695

Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfaddlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11238	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfadd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		mbfadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
5	3	fdmd 6746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25661	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11	2, 3, 4, 9, 9, 10	off 7715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
12		eliun 4995	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
13		r19.42v 3191	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
14		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
16	15	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	14, 16, 18	ltsubaddd 11859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
20	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		qre 12995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
24		ltsub23 11743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
26	25	anbi1cd 635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	rexbidva 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
28	14, 16	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31		lttr 11337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
32	29, 22, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
33	32	rexlimdva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
34		qbtwnre 13241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
35	34	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
36	28, 18, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
37	33, 36	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
38	27, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
39	3	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
41	4	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
43	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
44		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
45		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
46	40, 42, 43, 43, 10, 44, 45	ofval 7708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
47	46	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
48	19, 38, 47	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥)))
49	22	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
50		elioopnf 13483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
52	30, 51	mpbirand 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
53	20, 22	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
55		elioopnf 13483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
57	23, 56	mpbirand 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)))
58	52, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
59	58	rexbidva 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
60	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
61	60	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ)
62	14	rexrd 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
63		elioopnf 13483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥))))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥))))
65	61, 64	mpbirand 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥)))
66	48, 59, 65	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
67	66	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
68	13, 67	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69		elpreima 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
70	40, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
71		elpreima 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
72	42, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
73	70, 72	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
74		elin 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
75		anandi 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
76	73, 74, 75	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
77	76	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
78	11	ffnd 6737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
80		elpreima 7078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
82	68, 77, 81	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
83	12, 82	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
84	83	eqrdv 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)))
85		qnnen 16249	. . . . 5 ⊢ ℚ ≈ ℕ
86		endom 9019	. . . . 5 ⊢ (ℚ ≈ ℕ → ℚ ≼ ℕ)
87	85, 86	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ℕ
88		mbfima 25665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
89	6, 3, 88	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
90		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
91		mbfima 25665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
92	90, 4, 91	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93		inmbl 25577	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
94	89, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
95	94	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
96	95	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97		iunmbl2 25592	. . . 4 ⊢ ((ℚ ≼ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
98	87, 96, 97	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
99	84, 98	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
100	11, 99	ismbf3d 25689	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  ℝcr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℚcq 12990  (,)cioo 13387  volcvol 25498  MblFncmbf 25649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654

This theorem is referenced by:  mbfadd  25696