MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfaddlem 25708
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfadd.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 11235 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfadd.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 mbfadd.4 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
53fdmd 6746 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfadd.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25674 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4234 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
112, 3, 4, 9, 9, 10off 7714 . 2 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
12 eliun 4999 . . . . 5 (𝑥 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
13 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
14 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
154adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
1615ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
173adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1914, 16, 18ltsubaddd 11856 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑦 ∈ ℝ)
21 qre 12992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ)
2316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
24 ltsub23 11740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟) < (𝐺𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦𝑟) < (𝐺𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟))
2625anbi1cd 635 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
2726rexbidva 3174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
2814, 16resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
31 lttr 11334 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
3229, 22, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
3332rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
34 qbtwnre 13237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)))
35343expia 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
3628, 18, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
3733, 36impbid 212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
3827, 37bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
393ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
414ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
439adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
44 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
45 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
4640, 42, 43, 43, 10, 44, 45ofval 7707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
4746breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
4819, 38, 473bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥)))
4922rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
50 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹𝑥))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹𝑥))))
5230, 51mpbirand 707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ 𝑟 < (𝐹𝑥)))
5320, 22resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ)
5453rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ*)
55 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑟) ∈ ℝ* → ((𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
5723, 56mpbirand 707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞) ↔ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)))
5852, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
5958rexbidva 3174 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
6011adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
6160ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ)
6214rexrd 11308 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
63 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥))))
6561, 64mpbirand 707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥)))
6648, 59, 653bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
6766pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6813, 67bitrid 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69 elpreima 7077 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
7040, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
71 elpreima 7077 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
7370, 72anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)))))
74 elin 3978 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
75 anandi 676 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
7673, 74, 753bitr4g 314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)))))
7776rexbidv 3176 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)))))
7811ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) Fn 𝐴)
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹f + 𝐺) Fn 𝐴)
80 elpreima 7077 . . . . . . 7 ((𝐹f + 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8268, 77, 813bitr4d 311 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
8312, 82bitrid 283 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
8483eqrdv 2732 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) = ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)))
85 qnnen 16245 . . . . 5 ℚ ≈ ℕ
86 endom 9017 . . . . 5 (ℚ ≈ ℕ → ℚ ≼ ℕ)
8785, 86ax-mp 5 . . . 4 ℚ ≼ ℕ
88 mbfima 25678 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
896, 3, 88syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
91 mbfima 25678 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
9290, 4, 91syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93 inmbl 25590 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9489, 92, 93syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9594ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9695ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97 iunmbl2 25605 . . . 4 ((ℚ ≼ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol) → 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9887, 96, 97sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9984, 98eqeltrrd 2839 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
10011, 99ismbf3d 25702 1 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cin 3961   ciun 4995   class class class wbr 5147  ccnv 5687  dom cdm 5688  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cen 8980  cdom 8981  cr 11151   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cmin 11489  cn 12263  cq 12987  (,)cioo 13383  volcvol 25511  MblFncmbf 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-xmet 21374  df-met 21375  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667
This theorem is referenced by:  mbfadd  25709
  Copyright terms: Public domain W3C validator