Theorem mbfaddlem 25637

Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfaddlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11112	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfadd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		mbfadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
5	3	fdmd 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25603	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11	2, 3, 4, 9, 9, 10	off 7642	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
12		eliun 4938	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
13		r19.42v 3170	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
14		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
16	15	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	14, 16, 18	ltsubaddd 11737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
20	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		qre 12894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
24		ltsub23 11621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
26	25	anbi1cd 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	rexbidva 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
28	14, 16	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31		lttr 11213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
32	29, 22, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
33	32	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
34		qbtwnre 13142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
35	34	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
36	28, 18, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
37	33, 36	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
38	27, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
39	3	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
41	4	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
43	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
44		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
45		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
46	40, 42, 43, 43, 10, 44, 45	ofval 7635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
47	46	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
48	19, 38, 47	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥)))
49	22	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
50		elioopnf 13387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
52	30, 51	mpbirand 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
53	20, 22	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
55		elioopnf 13387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
57	23, 56	mpbirand 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)))
58	52, 57	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
59	58	rexbidva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
60	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
61	60	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ)
62	14	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
63		elioopnf 13387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥))))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥))))
65	61, 64	mpbirand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥)))
66	48, 59, 65	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
67	66	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
68	13, 67	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69		elpreima 7004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
70	40, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
71		elpreima 7004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
72	42, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
73	70, 72	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
74		elin 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
75		anandi 677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
76	73, 74, 75	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
77	76	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
78	11	ffnd 6663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
80		elpreima 7004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
82	68, 77, 81	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
83	12, 82	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
84	83	eqrdv 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)))
85		qnnen 16171	. . . . 5 ⊢ ℚ ≈ ℕ
86		endom 8919	. . . . 5 ⊢ (ℚ ≈ ℕ → ℚ ≼ ℕ)
87	85, 86	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ℕ
88		mbfima 25607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
89	6, 3, 88	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
90		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
91		mbfima 25607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
92	90, 4, 91	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93		inmbl 25519	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
94	89, 92, 93	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
95	94	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
96	95	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97		iunmbl2 25534	. . . 4 ⊢ ((ℚ ≼ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
98	87, 96, 97	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
99	84, 98	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
100	11, 99	ismbf3d 25631	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884  ℝcr 11028   + caddc 11032  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℚcq 12889  (,)cioo 13289  volcvol 25440  MblFncmbf 25591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-xmet 21337  df-met 21338  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596

This theorem is referenced by:  mbfadd  25638