MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfaddlem 25695
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfadd.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 11238 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfadd.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 mbfadd.4 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
53fdmd 6746 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfadd.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25661 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4227 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
112, 3, 4, 9, 9, 10off 7715 . 2 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
12 eliun 4995 . . . . 5 (𝑥 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
13 r19.42v 3191 . . . . . . 7 (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
14 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
154adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
173adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1914, 16, 18ltsubaddd 11859 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑦 ∈ ℝ)
21 qre 12995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ)
2316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
24 ltsub23 11743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟) < (𝐺𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦𝑟) < (𝐺𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟))
2625anbi1cd 635 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
2726rexbidva 3177 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
2814, 16resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
31 lttr 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
3229, 22, 30, 31syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
3332rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) → (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
34 qbtwnre 13241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)))
35343expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
3628, 18, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥))))
3733, 36impbid 212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺𝑥)) < 𝑟𝑟 < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
3827, 37bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺𝑥)) < (𝐹𝑥)))
393ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
414ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
439adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
44 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
45 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
4640, 42, 43, 43, 10, 44, 45ofval 7708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
4746breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
4819, 38, 473bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)) ↔ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥)))
4922rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
50 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹𝑥))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹𝑥))))
5230, 51mpbirand 707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ 𝑟 < (𝐹𝑥)))
5320, 22resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ)
5453rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ*)
55 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑟) ∈ ℝ* → ((𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
5723, 56mpbirand 707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞) ↔ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥)))
5852, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
5958rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹𝑥) ∧ (𝑦𝑟) < (𝐺𝑥))))
6011adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
6160ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ)
6214rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
63 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥))))
6561, 64mpbirand 707 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥)))
6648, 59, 653bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
6766pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6813, 67bitrid 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
7040, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
71 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
7370, 72anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)))))
74 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
75 anandi 676 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞))))
7673, 74, 753bitr4g 314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)))))
7776rexbidv 3179 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦𝑟)(,)+∞)))))
7811ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) Fn 𝐴)
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹f + 𝐺) Fn 𝐴)
80 elpreima 7078 . . . . . . 7 ((𝐹f + 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8268, 77, 813bitr4d 311 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
8312, 82bitrid 283 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
8483eqrdv 2735 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) = ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)))
85 qnnen 16249 . . . . 5 ℚ ≈ ℕ
86 endom 9019 . . . . 5 (ℚ ≈ ℕ → ℚ ≼ ℕ)
8785, 86ax-mp 5 . . . 4 ℚ ≼ ℕ
88 mbfima 25665 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
896, 3, 88syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
91 mbfima 25665 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
9290, 4, 91syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93 inmbl 25577 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9489, 92, 93syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9594ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9695ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97 iunmbl2 25592 . . . 4 ((ℚ ≼ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol) → 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9887, 96, 97sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℚ ((𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (𝐺 “ ((𝑦𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9984, 98eqeltrrd 2842 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
10011, 99ismbf3d 25689 1 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950   ciun 4991   class class class wbr 5143  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cen 8982  cdom 8983  cr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  cq 12990  (,)cioo 13387  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by:  mbfadd  25696
  Copyright terms: Public domain W3C validator