MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfaddlem 25040
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 11141 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfadd.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 mbfadd.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
53fdmd 6684 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25006 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4183 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
112, 3, 4, 9, 9, 10off 7640 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):π΄βŸΆβ„)
12 eliun 4963 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
13 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
14 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
154adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
1615ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
173adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1914, 16, 18ltsubaddd 11758 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
2014adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
21 qre 12885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2316adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 ltsub23 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ))
2625anbi1cd 635 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
2726rexbidva 3174 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
2814, 16resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3018adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3229, 22, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3332rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
34 qbtwnre 13125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)))
35343expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
3628, 18, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
3733, 36impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
3827, 37bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) < (πΉβ€˜π‘₯)))
393ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
414ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
439adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
44 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
45 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
4640, 42, 43, 43, 10, 44, 45ofval 7633 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))
4746breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
4819, 38, 473bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯)))
4922rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
50 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯))))
5230, 51mpbirand 706 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ↔ π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯)))
5320, 22resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5453rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
55 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5723, 56mpbirand 706 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞) ↔ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯)))
5852, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
5958rexbidva 3174 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘Ÿ < (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) < (πΊβ€˜π‘₯))))
6011adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):π΄βŸΆβ„)
6160ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6214rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
63 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯))))
6561, 64mpbirand 706 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯)))
6648, 59, 653bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞)))
6766pm5.32da 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6813, 67bitrid 283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69 elpreima 7013 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞))))
7040, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞))))
71 elpreima 7013 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7242, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7370, 72anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
74 elin 3931 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
75 anandi 675 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))))
7673, 74, 753bitr4g 314 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
7776rexbidv 3176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘Ÿ(,)+∞) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)))))
7811ffnd 6674 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
7978adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
80 elpreima 7013 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8268, 77, 813bitr4d 311 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞))))
8312, 82bitrid 283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞))))
8483eqrdv 2735 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) = (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)))
85 qnnen 16102 . . . . 5 β„š β‰ˆ β„•
86 endom 8926 . . . . 5 (β„š β‰ˆ β„• β†’ β„š β‰Ό β„•)
8785, 86ax-mp 5 . . . 4 β„š β‰Ό β„•
88 mbfima 25010 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol)
896, 3, 88syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
91 mbfima 25010 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol)
9290, 4, 91syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93 inmbl 24922 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9489, 92, 93syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9594ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9695ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97 iunmbl2 24937 . . . 4 ((β„š β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9887, 96, 97sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ π‘Ÿ ∈ β„š ((◑𝐹 β€œ (π‘Ÿ(,)+∞)) ∩ (◑𝐺 β€œ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)+∞))) ∈ dom vol)
9984, 98eqeltrrd 2839 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f + 𝐺) β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
10011, 99ismbf3d 25034 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  β„cr 11057   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„šcq 12880  (,)cioo 13271  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfadd  25041
  Copyright terms: Public domain W3C validator