Theorem exeltr 36684

Description: Every set is a member of a transitive set. This requires ax-inf2 9562 to prove, see tz9.1 9650. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exeltr	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝑤,𝑧

Proof of Theorem exeltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6855	. . 3 ⊢ (TC‘{𝑥}) ∈ V
2		eleq2 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (TC‘{𝑥}) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (TC‘{𝑥})))
3		treq 5214	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (TC‘{𝑥}) → (Tr 𝑦 ↔ Tr (TC‘{𝑥})))
4	2, 3	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑦 = (TC‘{𝑥}) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (TC‘{𝑥}) ∧ Tr (TC‘{𝑥}))))
5		vsnex 5381	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
6		tcid 9658	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥} ∈ V → {𝑥} ⊆ (TC‘{𝑥}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ⊆ (TC‘{𝑥})
8		vsnid 4622	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥}
9	7, 8	sselii 3932	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ (TC‘{𝑥})
10		tctr 9659	. . . 4 ⊢ Tr (TC‘{𝑥})
11	9, 10	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TC‘{𝑥}) ∧ Tr (TC‘{𝑥}))
12	1, 4, 11	ceqsexv2d 3493	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)
13		trss 5217	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ⊆ 𝑦))
14		df-ss 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
15	13, 14	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
16	15	alrimiv 1929	. . . 4 ⊢ (Tr 𝑦 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
17	16	anim2i 618	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
18	17	eximi 1837	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
19	12, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582  Tr wtr 5207  ‘cfv 6500  TCctc 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-tc 9656

This theorem is referenced by: (None)