Theorem exeltr 36646

Description: Every set is a member of a transitive set. This requires ax-inf2 9554 to prove, see tz9.1 9642. (Contributed by Matthew House, 4-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exeltr	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝑤,𝑧

Proof of Theorem exeltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6848	. . 3 ⊢ (TC‘{𝑥}) ∈ V
2		eleq2 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (TC‘{𝑥}) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (TC‘{𝑥})))
3		treq 5213	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (TC‘{𝑥}) → (Tr 𝑦 ↔ Tr (TC‘{𝑥})))
4	2, 3	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑦 = (TC‘{𝑥}) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (TC‘{𝑥}) ∧ Tr (TC‘{𝑥}))))
5		vsnex 5380	. . . . . 6 ⊢ {𝑥} ∈ V
6		tcid 9650	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥} ∈ V → {𝑥} ⊆ (TC‘{𝑥}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ⊆ (TC‘{𝑥})
8		vsnid 4621	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥}
9	7, 8	sselii 3931	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ (TC‘{𝑥})
10		tctr 9651	. . . 4 ⊢ Tr (TC‘{𝑥})
11	9, 10	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (TC‘{𝑥}) ∧ Tr (TC‘{𝑥}))
12	1, 4, 11	ceqsexv2d 3492	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)
13		trss 5216	. . . . . 6 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ⊆ 𝑦))
14		df-ss 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
15	13, 14	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
16	15	alrimiv 1929	. . . 4 ⊢ (Tr 𝑦 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))
17	16	anim2i 618	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
18	17	eximi 1837	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))))
19	12, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  {csn 4581  Tr wtr 5206  ‘cfv 6493  TCctc 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-tc 9648

This theorem is referenced by: (None)