Theorem cdlemg47 41018

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg47	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   𝑅,ℎ   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   𝐺(ℎ)

Proof of Theorem cdlemg47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ ∈ 𝑇)
3		simp12 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
4		cdlemg46.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemg46.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrnco 41001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (ℎ ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (ℎ ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
8		simp13 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)))
10		cdlemg46.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11		cdlemg46.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 4, 5, 11	cdlemg46 41017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐹))
13	1, 3, 2, 9, 12	syl121anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐹))
14		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
15	13, 14	neeqtrd 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐺))
16	4, 5, 11	cdlemg44 41015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((ℎ ∘ 𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (ℎ ∘ 𝐹)))
17	1, 7, 8, 15, 16	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (ℎ ∘ 𝐹)))
18		coass 6224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∘ ℎ) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (ℎ ∘ 𝐹))
19	17, 18	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐺 ∘ ℎ) ∘ 𝐹))
20		simp33 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))
21	20, 14	neeqtrd 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐺))
22	4, 5, 11	cdlemg44 41015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (ℎ ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ℎ))
23	1, 2, 8, 21, 22	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (ℎ ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ℎ))
24	23	coeq1d 5810	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = ((𝐺 ∘ ℎ) ∘ 𝐹))
25	19, 24	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((ℎ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
26		coass 6224	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
27		coass 6224	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
28	25, 26, 27	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
29	28	coeq2d 5811	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))))
30		coass 6224	. . . 4 ⊢ ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
31	10, 4, 5	ltrn1o 40406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ:𝐵–1-1-onto→𝐵)
32	1, 2, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ:𝐵–1-1-onto→𝐵)
33		f1ococnv1 6803	. . . . . 6 ⊢ (ℎ:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡ℎ ∘ ℎ) = ( I ↾ 𝐵))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ ℎ) = ( I ↾ 𝐵))
35	34	coeq1d 5810	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
36	30, 35	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
37	4, 5	ltrnco 41001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
38	1, 3, 8, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
39	10, 4, 5	ltrn1o 40406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
40	1, 38, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
41		f1of 6774	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐵⟶𝐵)
42		fcoi2 6709	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
44	36, 43	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (𝐹 ∘ 𝐺))
45		coass 6224	. . . 4 ⊢ ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
46	34	coeq1d 5810	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
47	45, 46	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
48	4, 5	ltrnco 41001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
49	1, 8, 3, 48	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
50	10, 4, 5	ltrn1o 40406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐵–1-1-onto→𝐵)
51	1, 49, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐵–1-1-onto→𝐵)
52		f1of 6774	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐵⟶𝐵)
53		fcoi2 6709	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ 𝐹))
54	51, 52, 53	3syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ 𝐹))
55	47, 54	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))) = (𝐺 ∘ 𝐹))
56	29, 44, 55	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  Basecbs 17138  HLchlt 39632  LHypclh 40266  LTrncltrn 40383  trLctrl 40440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8767  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-oposet 39458  df-ol 39460  df-oml 39461  df-covers 39548  df-ats 39549  df-atl 39580  df-cvlat 39604  df-hlat 39633  df-llines 39780  df-lplanes 39781  df-lvols 39782  df-lines 39783  df-psubsp 39785  df-pmap 39786  df-padd 40078  df-lhyp 40270  df-laut 40271  df-ldil 40386  df-ltrn 40387  df-trl 40441

This theorem is referenced by:  cdlemg48  41019