Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg47 39607
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg47 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝐾   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵()   𝐺()

Proof of Theorem cdlemg47
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1200 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑇)
3 simp12 1205 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
4 cdlemg46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemg46.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrnco 39590 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇𝐹𝑇) → (𝐹) ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹) ∈ 𝑇)
8 simp13 1206 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
9 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)))
10 cdlemg46.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 cdlemg46.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1210, 4, 5, 11cdlemg46 39606 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
131, 3, 2, 9, 12syl121anc 1376 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
14 simp2r 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
1513, 14neeqtrd 3011 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐺))
164, 5, 11cdlemg44 39604 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹) ∈ 𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (𝐹)))
171, 7, 8, 15, 16syl121anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (𝐹)))
18 coass 6265 . . . . . 6 ((𝐺) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹))
1917, 18eqtr4di 2791 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐺) ∘ 𝐹))
20 simp33 1212 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))
2120, 14neeqtrd 3011 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐺))
224, 5, 11cdlemg44 39604 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐺) = (𝐺))
231, 2, 8, 21, 22syl121anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐺) = (𝐺))
2423coeq1d 5862 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐺) ∘ 𝐹) = ((𝐺) ∘ 𝐹))
2519, 24eqtr4d 2776 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐺) ∘ 𝐹))
26 coass 6265 . . . 4 ((𝐹) ∘ 𝐺) = ( ∘ (𝐹𝐺))
27 coass 6265 . . . 4 ((𝐺) ∘ 𝐹) = ( ∘ (𝐺𝐹))
2825, 26, 273eqtr3g 2796 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ (𝐹𝐺)) = ( ∘ (𝐺𝐹)))
2928coeq2d 5863 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺))) = ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹))))
30 coass 6265 . . . 4 (() ∘ (𝐹𝐺)) = ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺)))
3110, 4, 5ltrn1o 38995 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇) → :𝐵1-1-onto𝐵)
321, 2, 31syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → :𝐵1-1-onto𝐵)
33 f1ococnv1 6863 . . . . . 6 (:𝐵1-1-onto𝐵 → () = ( I ↾ 𝐵))
3432, 33syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → () = ( I ↾ 𝐵))
3534coeq1d 5862 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (() ∘ (𝐹𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)))
3630, 35eqtr3id 2787 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)))
374, 5ltrnco 39590 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
381, 3, 8, 37syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
3910, 4, 5ltrn1o 38995 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝐹𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
401, 38, 39syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
41 f1of 6834 . . . 4 ((𝐹𝐺):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐺):𝐵𝐵)
42 fcoi2 6767 . . . 4 ((𝐹𝐺):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹𝐺))
4340, 41, 423syl 18 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹𝐺))
4436, 43eqtrd 2773 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐹𝐺))) = (𝐹𝐺))
45 coass 6265 . . . 4 (() ∘ (𝐺𝐹)) = ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹)))
4634coeq1d 5862 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (() ∘ (𝐺𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)))
4745, 46eqtr3id 2787 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)))
484, 5ltrnco 39590 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
491, 8, 3, 48syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
5010, 4, 5ltrn1o 38995 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝐺𝐹):𝐵1-1-onto𝐵)
511, 49, 50syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐺𝐹):𝐵1-1-onto𝐵)
52 f1of 6834 . . . 4 ((𝐺𝐹):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐺𝐹):𝐵𝐵)
53 fcoi2 6767 . . . 4 ((𝐺𝐹):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)) = (𝐺𝐹))
5451, 52, 533syl 18 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺𝐹)) = (𝐺𝐹))
5547, 54eqtrd 2773 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( ∘ (𝐺𝐹))) = (𝐺𝐹))
5629, 44, 553eqtr3d 2781 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   I cid 5574  ccnv 5676  cres 5679  ccom 5681  wf 6540  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  Basecbs 17144  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  cdlemg48  39608
  Copyright terms: Public domain W3C validator