Theorem pf1mpf 22239

Description: Convert a univariate polynomial function to multivariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q	⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1mpf	⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem pf1mpf

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pf1rcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
2	1	pf1rcl 22236	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ 𝑄)
4	3, 1	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹 ∈ ran (eval1‘𝑅))
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
8		pf1f.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	evl1rhm 22219	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10	2, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
13	11, 12	rhmf 20394	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
14		ffn 6688	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15		fvelrnb 6921	. . . 4 ⊢ ((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (eval1‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹))
16	10, 13, 14, 15	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ ran (eval1‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹))
17	4, 16	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ∃𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹)
18		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
19		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
20	6, 11	ply1bas 22079	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
21	5, 18, 8, 19, 20	evl1val 22216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑦) = (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧}))))
22	21	coeq1d 5825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((eval1‘𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧}))) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
23		coass 6238	. . . . . . 7 ⊢ ((((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧}))) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧})) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
24		df1o2 8441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
25	8	fvexi 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
26		0ex 5262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
27		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))
28	24, 25, 26, 27	mapsncnv 8866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧}))
29	28	coeq1i 5823	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧})) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)))
30	24, 25, 26, 27	mapsnf1o2 8867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵
31		f1ococnv1 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)):(𝐵 ↑m 1o)–1-1-onto→𝐵 → (◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o)))
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (◡(𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o)))
33	29, 32	eqtr3id 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧})) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o)))
34	33	coeq2d 5826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ ((𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧})) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅)))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o))))
35	23, 34	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑧}))) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o))))
36		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
37		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
38		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → 𝑅 ∈ CRing)
39		ovexd 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐵 ↑m 1o) ∈ V)
40		1on 8446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
41	18, 8, 19, 36	evlrhm 22003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
42	40, 41	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
43	20, 37	rhmf 20394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o eval 𝑅) ∈ ((1o mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
45	44	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
46	36, 8, 37, 38, 39, 45	pwselbas 17452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((1o eval 𝑅)‘𝑦):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵)
47		fcoi1 6734	. . . . . . 7 ⊢ (((1o eval 𝑅)‘𝑦):(𝐵 ↑m 1o)⟶𝐵 → (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o eval 𝑅)‘𝑦))
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∘ ( I ↾ (𝐵 ↑m 1o))) = ((1o eval 𝑅)‘𝑦))
49	22, 35, 48	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((eval1‘𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = ((1o eval 𝑅)‘𝑦))
50	44	ffnd 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
51		fnfvelrn 7052	. . . . . . 7 ⊢ (((1o eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∈ ran (1o eval 𝑅))
52	50, 51	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∈ ran (1o eval 𝑅))
53		mpfpf1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ran (1o eval 𝑅)
54	52, 53	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((1o eval 𝑅)‘𝑦) ∈ 𝐸)
55	49, 54	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((eval1‘𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸)
56		coeq1 5821	. . . . 5 ⊢ (((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹 → (((eval1‘𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) = (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))))
57	56	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹 → ((((eval1‘𝑅)‘𝑦) ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸 ↔ (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸))
58	55, 57	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸))
59	58	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((eval1‘𝑅)‘𝑦) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸))
60	2, 17, 59	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ (𝑥‘∅))) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  ∅c0 4296  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Oncon0 6332   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1_oc1o 8427   ↑_m cmap 8799  Basecbs 17179   ↑_s cpws 17409  CRingccrg 20143   RingHom crh 20378   mPoly cmpl 21815   eval cevl 21980  Poly₁cpl1 22061  eval₁ce1 22201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-ply1 22066  df-evl1 22203

This theorem is referenced by:  pf1ind  22242