Theorem cycpmconjslem1 33147

Description: Lemma for cycpmconjs 33149. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cycpmconjslem1	⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6281	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊))
2	1	coeq1i 5884	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3		ssid 4031	. . . . 5 ⊢ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4		cores 6280	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊)
6		coass 6296	. . . 4 ⊢ ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
7	2, 5, 6	3eqtr3i 2776	. . 3 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8		cycpmconjs.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9		cycpmconjslem1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		cycpmconjslem1.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
11		cycpmconjslem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
12	8, 9, 10, 11	tocycfvres1 33103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
13	12	coeq1d 5886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊))
14		coass 6296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊))
15		f1f1orn 6873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
16		f1ococnv1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
17	11, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
18	17	coeq2d 5887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
19		coires1 6295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
20	18, 19	eqtr2di 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)))
21	14, 20	eqtr4id 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22		1zzd 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23		cshwfn 14849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	10, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		wrddm 14569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	fneq2d 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
28	24, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29		fnresdm 6699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
31	13, 21, 30	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
32	31	coeq2d 5887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
33	7, 32	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34		wrdfn 14576	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
35	10, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36		df-f 6577	. . . . 5 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
37	35, 3, 36	sylanblrc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38		iswrdi 14566	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40		f1ocnv 6874	. . . 4 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
41		f1of 6862	. . . 4 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
42	11, 15, 40, 41	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43		cshco 14885	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
44	39, 22, 42, 43	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
45		cycpmconjslem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
46	45	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
47	26, 46	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
48	47	reseq2d 6009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
49	17, 48	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
50	49	oveq1d 7463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
51	33, 44, 50	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648   I cid 5592  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702   “ cima 5703   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   cyclShift ccsh 14836  SymGrpcsymg 19410  toCycctocyc 33099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-csh 14837  df-tocyc 33100

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33148