Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmconjslem1 32915
Description: Lemma for cycpmconjs 32917. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjslem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjslem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Proof of Theorem cycpmconjslem1
StepHypRef Expression
1 resco 6250 . . . . 5 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š))
21coeq1i 5857 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š)
3 ssid 3996 . . . . 5 ran π‘Š βŠ† ran π‘Š
4 cores 6249 . . . . 5 (ran π‘Š βŠ† ran π‘Š β†’ (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š)
6 coass 6265 . . . 4 ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
72, 5, 63eqtr3i 2761 . . 3 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
8 cycpmconjs.m . . . . . . 7 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
9 cycpmconjslem1.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
10 cycpmconjslem1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
11 cycpmconjslem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
128, 9, 10, 11tocycfvres1 32871 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
1312coeq1d 5859 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š))
14 coass 6265 . . . . . 6 (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š))
15 f1f1orn 6843 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
16 f1ococnv1 6861 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1817coeq2d 5860 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)))
19 coires1 6264 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š)
2018, 19eqtr2di 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)))
2114, 20eqtr4id 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š))
22 1zzd 12618 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
23 cshwfn 14778 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2410, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
25 wrddm 14498 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2726fneq2d 6643 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
2824, 27mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š)
29 fnresdm 6669 . . . . . 6 ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3028, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3113, 21, 303eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3231coeq2d 5860 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š)) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
337, 32eqtrid 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
34 wrdfn 14505 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3510, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 df-f 6547 . . . . 5 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š ↔ (π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ran π‘Š βŠ† ran π‘Š))
3735, 3, 36sylanblrc 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š)
38 iswrdi 14495 . . . 4 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
3937, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
40 f1ocnv 6844 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
4111, 15, 403syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
42 f1of 6832 . . . 4 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
44 cshco 14814 . . 3 ((π‘Š ∈ Word ran π‘Š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š) β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
4539, 22, 43, 44syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
46 cycpmconjslem1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
4746oveq2d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑃))
4826, 47eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^𝑃))
4948reseq2d 5980 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ dom π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5017, 49eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5150oveq1d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
5233, 45, 513eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {csn 4625   I cid 5570  β—‘ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676   ∘ ccom 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134  β„€cz 12583  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316  Word cword 14491   cyclShift ccsh 14765  SymGrpcsymg 19320  toCycctocyc 32867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-csh 14766  df-tocyc 32868
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32916
  Copyright terms: Public domain W3C validator