Theorem cycpmconjslem1 32784

Description: Lemma for cycpmconjs 32786. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cycpmconjslem1	⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6240	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊))
2	1	coeq1i 5850	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3		ssid 3997	. . . . 5 ⊢ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4		cores 6239	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊)
6		coass 6255	. . . 4 ⊢ ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
7	2, 5, 6	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8		cycpmconjs.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9		cycpmconjslem1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		cycpmconjslem1.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
11		cycpmconjslem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
12	8, 9, 10, 11	tocycfvres1 32740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
13	12	coeq1d 5852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊))
14		coass 6255	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊))
15		f1f1orn 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
16		f1ococnv1 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
17	11, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
18	17	coeq2d 5853	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
19		coires1 6254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
20	18, 19	eqtr2di 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)))
21	14, 20	eqtr4id 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22		1zzd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23		cshwfn 14749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	10, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		wrddm 14469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	fneq2d 6634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
28	24, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29		fnresdm 6660	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
31	13, 21, 30	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
32	31	coeq2d 5853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
33	7, 32	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34		wrdfn 14476	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
35	10, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36		df-f 6538	. . . . 5 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
37	35, 3, 36	sylanblrc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38		iswrdi 14466	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
39	37, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40		f1ocnv 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
41	11, 15, 40	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
42		f1of 6824	. . . 4 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44		cshco 14785	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
45	39, 22, 43, 44	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
46		cycpmconjslem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
47	46	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
48	26, 47	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
49	48	reseq2d 5972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
50	17, 49	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
51	50	oveq1d 7417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
52	33, 45, 51	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  {csn 4621   I cid 5564  ^◡ccnv 5666  dom cdm 5667  ran crn 5668   ↾ cres 5669   “ cima 5670   ∘ ccom 5671   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  –1-1→wf1 6531  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108  ℤcz 12556  ..^cfzo 13625  ♯chash 14288  Word cword 14462   cyclShift ccsh 14736  SymGrpcsymg 19278  toCycctocyc 32736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519  df-substr 14589  df-pfx 14619  df-csh 14737  df-tocyc 32737

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32785