Theorem cycpmconjslem1 33758

Description: Lemma for cycpmconjs 33760. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cycpmconjslem1	⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6251	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊))
2	1	coeq1i 5836	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3		ssid 3930	. . . . 5 ⊢ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4		cores 6250	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊)
6		coass 6267	. . . 4 ⊢ ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
7	2, 5, 6	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8		cycpmconjs.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9		cycpmconjslem1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		cycpmconjslem1.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
11		cycpmconjslem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
12	8, 9, 10, 11	tocycfvres1 33714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
13	12	coeq1d 5838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊))
14		coass 6267	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊))
15		f1f1orn 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
16		f1ococnv1 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
17	11, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
18	17	coeq2d 5839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
19		coires1 6266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
20	18, 19	eqtr2di 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)))
21	14, 20	eqtr4id 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22		1zzd 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23		cshwfn 14953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	10, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		wrddm 14667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	10, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	fneq2d 6633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
28	24, 27	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29		fnresdm 6658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
31	13, 21, 30	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
32	31	coeq2d 5839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
33	7, 32	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34		wrdfn 14674	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
35	10, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36		df-f 6542	. . . . 5 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
37	35, 3, 36	sylanblrc 602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38		iswrdi 14663	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
39	37, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40		f1ocnv 6837	. . . 4 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
41		f1of 6824	. . . 4 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
42	11, 15, 40, 41	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43		cshco 14988	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
44	39, 22, 42, 43	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
45		cycpmconjslem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
46	45	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
47	26, 46	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
48	47	reseq2d 5969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
49	17, 48	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
50	49	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
51	33, 44, 50	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  {csn 4583   I cid 5544  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  1c1 11202  ℤcz 12694  ..^cfzo 13789  ♯chash 14475  Word cword 14659   cyclShift ccsh 14940  SymGrpcsymg 19584  toCycctocyc 33710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-substr 14790  df-pfx 14822  df-csh 14941  df-tocyc 33711

This theorem is used by:  cycpmconjslem2  33759