Theorem cycpmconjslem1 33483

Description: Lemma for cycpmconjs 33485. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cycpmconjslem1	⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resco 6250	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊))
2	1	coeq1i 5844	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3		ssid 3958	. . . . 5 ⊢ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4		cores 6249	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊)
6		coass 6266	. . . 4 ⊢ ((◡𝑊 ∘ ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
7	2, 5, 6	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8		cycpmconjs.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9		cycpmconjslem1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		cycpmconjslem1.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
11		cycpmconjslem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
12	8, 9, 10, 11	tocycfvres1 33439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
13	12	coeq1d 5846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊))
14		coass 6266	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊))
15		f1f1orn 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
16		f1ococnv1 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
17	11, 15, 16	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
18	17	coeq2d 5847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
19		coires1 6265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
20	18, 19	eqtr2di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ 𝑊)))
21	14, 20	eqtr4id 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22		1zzd 12631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23		cshwfn 14845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	10, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		wrddm 14565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	10, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	fneq2d 6629	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
28	24, 27	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29		fnresdm 6654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
31	13, 21, 30	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
32	31	coeq2d 5847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (((𝑀‘𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
33	7, 32	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34		wrdfn 14572	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
35	10, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36		df-f 6540	. . . . 5 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
37	35, 3, 36	sylanblrc 601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38		iswrdi 14561	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
39	37, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40		f1ocnv 6833	. . . 4 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
41		f1of 6820	. . . 4 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
42	11, 15, 40, 41	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
43		cshco 14880	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ◡𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
44	39, 22, 42, 43	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
45		cycpmconjslem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
46	45	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
47	26, 46	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
48	47	reseq2d 5977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
49	17, 48	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑊 ∘ 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
50	49	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ 𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
51	33, 44, 50	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑊 ∘ (𝑀‘𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  {csn 4588   I cid 5554  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660  ran crn 5661   ↾ cres 5662   “ cima 5663   ∘ ccom 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107  ℤcz 12597  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373  Word cword 14557   cyclShift ccsh 14832  SymGrpcsymg 19445  toCycctocyc 33435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-csh 14833  df-tocyc 33436

This theorem is used by:  cycpmconjslem2  33484