Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmconjslem1 32784
Description: Lemma for cycpmconjs 32786. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmconjslem1.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmconjslem1.2 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjslem1 (𝜑 → ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1
StepHypRef Expression
1 resco 6240 . . . . 5 ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (𝑊 ∘ ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊))
21coeq1i 5850 . . . 4 (((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 ∘ ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3 ssid 3997 . . . . 5 ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4 cores 6239 . . . . 5 (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊)
6 coass 6255 . . . 4 ((𝑊 ∘ ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (𝑊 ∘ (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
72, 5, 63eqtr3i 2760 . . 3 ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (𝑊 ∘ (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8 cycpmconjs.m . . . . . . 7 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9 cycpmconjslem1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑉)
10 cycpmconjslem1.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
11 cycpmconjslem1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
128, 9, 10, 11tocycfvres1 32740 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
1312coeq1d 5852 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝑊))
14 coass 6255 . . . . . 6 (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (𝑊𝑊))
15 f1f1orn 6835 . . . . . . . . 9 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
16 f1ococnv1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
1817coeq2d 5853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (𝑊𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
19 coires1 6254 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
2018, 19eqtr2di 2781 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (𝑊𝑊)))
2114, 20eqtr4id 2783 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22 1zzd 12591 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23 cshwfn 14749 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2410, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25 wrddm 14469 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2726fneq2d 6634 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
2824, 27mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29 fnresdm 6660 . . . . . 6 ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
3113, 21, 303eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
3231coeq2d 5853 . . 3 (𝜑 → (𝑊 ∘ (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
337, 32eqtrid 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34 wrdfn 14476 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3510, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36 df-f 6538 . . . . 5 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
3735, 3, 36sylanblrc 589 . . . 4 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38 iswrdi 14466 . . . 4 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
3937, 38syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40 f1ocnv 6836 . . . . 5 (𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
4111, 15, 403syl 18 . . . 4 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
42 f1of 6824 . . . 4 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44 cshco 14785 . . 3 ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝑊𝑊) cyclShift 1))
4539, 22, 43, 44syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝑊𝑊) cyclShift 1))
46 cycpmconjslem1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
4746oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
4826, 47eqtrd 2764 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
4948reseq2d 5972 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
5017, 49eqtrd 2764 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
5150oveq1d 7417 . 2 (𝜑 → ((𝑊𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
5233, 45, 513eqtrd 2768 1 (𝜑 → ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  {csn 4621   I cid 5564  ccnv 5666  dom cdm 5667  ran crn 5668  cres 5669  cima 5670  ccom 5671   Fn wfn 6529  wf 6530  1-1wf1 6531  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108  cz 12556  ..^cfzo 13625  chash 14288  Word cword 14462   cyclShift ccsh 14736  SymGrpcsymg 19278  toCycctocyc 32736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519  df-substr 14589  df-pfx 14619  df-csh 14737  df-tocyc 32737
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32785
  Copyright terms: Public domain W3C validator