Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmconjslem1 30947
 Description: Lemma for cycpmconjs 30949. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjslem1.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpmconjslem1.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmconjslem1.2 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjslem1 (𝜑 → ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1
StepHypRef Expression
1 resco 6080 . . . . 5 ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) = (𝑊 ∘ ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊))
21coeq1i 5699 . . . 4 (((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 ∘ ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊)
3 ssid 3914 . . . . 5 ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊
4 cores 6079 . . . . 5 (ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊 → (((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊)
6 coass 6095 . . . 4 ((𝑊 ∘ ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊)) ∘ 𝑊) = (𝑊 ∘ (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
72, 5, 63eqtr3i 2789 . . 3 ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (𝑊 ∘ (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊))
8 cycpmconjs.m . . . . . . 7 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
9 cycpmconjslem1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑉)
10 cycpmconjslem1.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
11 cycpmconjslem1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
128, 9, 10, 11tocycfvres1 30903 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
1312coeq1d 5701 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝑊))
14 coass 6095 . . . . . 6 (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (𝑊𝑊))
15 f1f1orn 6613 . . . . . . . . 9 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
16 f1ococnv1 6630 . . . . . . . . 9 (𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ dom 𝑊))
1817coeq2d 5702 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (𝑊𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)))
19 coires1 6094 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ( I ↾ dom 𝑊)) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊)
2018, 19eqtr2di 2810 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ (𝑊𝑊)))
2114, 20eqtr4id 2812 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊))
22 1zzd 12052 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
23 cshwfn 14210 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2410, 22, 23syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25 wrddm 13920 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2726fneq2d 6428 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
2824, 27mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊)
29 fnresdm 6449 . . . . . 6 ((𝑊 cyclShift 1) Fn dom 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ↾ dom 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
3113, 21, 303eqtrd 2797 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊) = (𝑊 cyclShift 1))
3231coeq2d 5702 . . 3 (𝜑 → (𝑊 ∘ (((𝑀𝑊) ↾ ran 𝑊) ∘ 𝑊)) = (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
337, 32syl5eq 2805 . 2 (𝜑 → ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)))
34 wrdfn 13927 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3510, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
36 df-f 6339 . . . . 5 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊 ↔ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ran 𝑊 ⊆ ran 𝑊))
3735, 3, 36sylanblrc 593 . . . 4 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊)
38 iswrdi 13917 . . . 4 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶ran 𝑊𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
3937, 38syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word ran 𝑊)
40 f1ocnv 6614 . . . . 5 (𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
4111, 15, 403syl 18 . . . 4 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
42 f1of 6602 . . . 4 (𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊)
44 cshco 14245 . . 3 ((𝑊 ∈ Word ran 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑊:ran 𝑊⟶dom 𝑊) → (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝑊𝑊) cyclShift 1))
4539, 22, 43, 44syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑊 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝑊𝑊) cyclShift 1))
46 cycpmconjslem1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑃)
4746oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑃))
4826, 47eqtrd 2793 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^𝑃))
4948reseq2d 5823 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ dom 𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
5017, 49eqtrd 2793 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑊) = ( I ↾ (0..^𝑃)))
5150oveq1d 7165 . 2 (𝜑 → ((𝑊𝑊) cyclShift 1) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
5233, 45, 513eqtrd 2797 1 (𝜑 → ((𝑊 ∘ (𝑀𝑊)) ∘ 𝑊) = (( I ↾ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858  {csn 4522   I cid 5429  ◡ccnv 5523  dom cdm 5524  ran crn 5525   ↾ cres 5526   “ cima 5527   ∘ ccom 5528   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  –1-1→wf1 6332  –1-1-onto→wf1o 6334  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576  ℤcz 12020  ..^cfzo 13082  ♯chash 13740  Word cword 13913   cyclShift ccsh 14197  SymGrpcsymg 18562  toCycctocyc 30899 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-substr 14050  df-pfx 14080  df-csh 14198  df-tocyc 30900 This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  30948
 Copyright terms: Public domain W3C validator