Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmconjslem1 32300
Description: Lemma for cycpmconjs 32302. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjslem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjslem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Proof of Theorem cycpmconjslem1
StepHypRef Expression
1 resco 6246 . . . . 5 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š))
21coeq1i 5857 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š)
3 ssid 4003 . . . . 5 ran π‘Š βŠ† ran π‘Š
4 cores 6245 . . . . 5 (ran π‘Š βŠ† ran π‘Š β†’ (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š)
6 coass 6261 . . . 4 ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
72, 5, 63eqtr3i 2768 . . 3 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
8 cycpmconjs.m . . . . . . 7 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
9 cycpmconjslem1.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
10 cycpmconjslem1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
11 cycpmconjslem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
128, 9, 10, 11tocycfvres1 32256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
1312coeq1d 5859 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š))
14 coass 6261 . . . . . 6 (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š))
15 f1f1orn 6841 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
16 f1ococnv1 6859 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1817coeq2d 5860 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)))
19 coires1 6260 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š)
2018, 19eqtr2di 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)))
2114, 20eqtr4id 2791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š))
22 1zzd 12589 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
23 cshwfn 14747 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2410, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
25 wrddm 14467 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2726fneq2d 6640 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
2824, 27mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š)
29 fnresdm 6666 . . . . . 6 ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3028, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3113, 21, 303eqtrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3231coeq2d 5860 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š)) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
337, 32eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
34 wrdfn 14474 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3510, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 df-f 6544 . . . . 5 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š ↔ (π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ran π‘Š βŠ† ran π‘Š))
3735, 3, 36sylanblrc 590 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š)
38 iswrdi 14464 . . . 4 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
3937, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
40 f1ocnv 6842 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
4111, 15, 403syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
42 f1of 6830 . . . 4 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
44 cshco 14783 . . 3 ((π‘Š ∈ Word ran π‘Š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š) β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
4539, 22, 43, 44syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
46 cycpmconjslem1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
4746oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑃))
4826, 47eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^𝑃))
4948reseq2d 5979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ dom π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5017, 49eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5150oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
5233, 45, 513eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  {csn 4627   I cid 5572  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  β„€cz 12554  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   cyclShift ccsh 14734  SymGrpcsymg 19228  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32301
  Copyright terms: Public domain W3C validator