Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmconjslem1 32052
Description: Lemma for cycpmconjs 32054. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjslem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjslem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))

Proof of Theorem cycpmconjslem1
StepHypRef Expression
1 resco 6203 . . . . 5 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š))
21coeq1i 5816 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š)
3 ssid 3967 . . . . 5 ran π‘Š βŠ† ran π‘Š
4 cores 6202 . . . . 5 (ran π‘Š βŠ† ran π‘Š β†’ (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š)
6 coass 6218 . . . 4 ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
72, 5, 63eqtr3i 2769 . . 3 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
8 cycpmconjs.m . . . . . . 7 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
9 cycpmconjslem1.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
10 cycpmconjslem1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
11 cycpmconjslem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
128, 9, 10, 11tocycfvres1 32008 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
1312coeq1d 5818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š))
14 coass 6218 . . . . . 6 (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š))
15 f1f1orn 6796 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
16 f1ococnv1 6814 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1817coeq2d 5819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)))
19 coires1 6217 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š)
2018, 19eqtr2di 2790 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)))
2114, 20eqtr4id 2792 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š))
22 1zzd 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
23 cshwfn 14695 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2410, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
25 wrddm 14415 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2726fneq2d 6597 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
2824, 27mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š)
29 fnresdm 6621 . . . . . 6 ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3028, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3113, 21, 303eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3231coeq2d 5819 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š)) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
337, 32eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
34 wrdfn 14422 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3510, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 df-f 6501 . . . . 5 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š ↔ (π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ran π‘Š βŠ† ran π‘Š))
3735, 3, 36sylanblrc 591 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š)
38 iswrdi 14412 . . . 4 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
3937, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
40 f1ocnv 6797 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
4111, 15, 403syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
42 f1of 6785 . . . 4 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
44 cshco 14731 . . 3 ((π‘Š ∈ Word ran π‘Š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š) β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
4539, 22, 43, 44syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
46 cycpmconjslem1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
4746oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑃))
4826, 47eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^𝑃))
4948reseq2d 5938 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ dom π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5017, 49eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5150oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
5233, 45, 513eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  {csn 4587   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057  β„€cz 12504  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32053
  Copyright terms: Public domain W3C validator