Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmconjslem1 32853
Description: Lemma for cycpmconjs 32855. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmconjslem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpmconjslem1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
cycpmconjslem1.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmconjslem1.2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjslem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Proof of Theorem cycpmconjslem1
StepHypRef Expression
1 resco 6248 . . . . 5 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š))
21coeq1i 5856 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š)
3 ssid 4000 . . . . 5 ran π‘Š βŠ† ran π‘Š
4 cores 6247 . . . . 5 (ran π‘Š βŠ† ran π‘Š β†’ (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š)
6 coass 6263 . . . 4 ((β—‘π‘Š ∘ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
72, 5, 63eqtr3i 2763 . . 3 ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š))
8 cycpmconjs.m . . . . . . 7 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
9 cycpmconjslem1.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
10 cycpmconjslem1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
11 cycpmconjslem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
128, 9, 10, 11tocycfvres1 32809 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
1312coeq1d 5858 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š))
14 coass 6263 . . . . . 6 (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š))
15 f1f1orn 6844 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
16 f1ococnv1 6862 . . . . . . . . 9 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1711, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ dom π‘Š))
1817coeq2d 5859 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)))
19 coires1 6262 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1) ∘ ( I β†Ύ dom π‘Š)) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š)
2018, 19eqtr2di 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š)))
2114, 20eqtr4id 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∘ π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š))
22 1zzd 12615 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
23 cshwfn 14775 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2410, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
25 wrddm 14495 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2726fneq2d 6642 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
2824, 27mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š)
29 fnresdm 6668 . . . . . 6 ((π‘Š cyclShift 1) Fn dom π‘Š β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3028, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) β†Ύ dom π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3113, 21, 303eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š) = (π‘Š cyclShift 1))
3231coeq2d 5859 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (((π‘€β€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) ∘ π‘Š)) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
337, 32eqtrid 2779 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)))
34 wrdfn 14502 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3510, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 df-f 6546 . . . . 5 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š ↔ (π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ran π‘Š βŠ† ran π‘Š))
3735, 3, 36sylanblrc 589 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š)
38 iswrdi 14492 . . . 4 (π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢ran π‘Š β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
3937, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word ran π‘Š)
40 f1ocnv 6845 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
4111, 15, 403syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
42 f1of 6833 . . . 4 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š)
44 cshco 14811 . . 3 ((π‘Š ∈ Word ran π‘Š ∧ 1 ∈ β„€ ∧ β—‘π‘Š:ran π‘ŠβŸΆdom π‘Š) β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
4539, 22, 43, 44syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ (π‘Š cyclShift 1)) = ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1))
46 cycpmconjslem1.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑃)
4746oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0..^𝑃))
4826, 47eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^𝑃))
4948reseq2d 5979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ dom π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5017, 49eqtrd 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Š ∘ π‘Š) = ( I β†Ύ (0..^𝑃)))
5150oveq1d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ π‘Š) cyclShift 1) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
5233, 45, 513eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Š ∘ (π‘€β€˜π‘Š)) ∘ π‘Š) = (( I β†Ύ (0..^𝑃)) cyclShift 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  {csn 4624   I cid 5569  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  β„€cz 12580  ..^cfzo 13651  β™―chash 14313  Word cword 14488   cyclShift ccsh 14762  SymGrpcsymg 19312  toCycctocyc 32805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763  df-tocyc 32806
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32854
  Copyright terms: Public domain W3C validator