MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggrp 19006
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symggrp (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2741 . 2 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 eqidd 2741 . 2 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
3 symggrp.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 eqid 2740 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 eqid 2740 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
63, 4, 5symgcl 18990 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
763adant1 1129 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
83, 4, 5symgcl 18990 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) ∈ (Base‘𝐺))
93, 4, 5symgov 18989 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
108, 9symggrplem 18521 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
1110adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
123idresperm 18991 . 2 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
133, 4, 5symgov 18989 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
1412, 13sylan 580 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
153, 4elsymgbas 18979 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
1615biimpa 477 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
17 f1of 6714 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
18 fcoi2 6647 . . . 4 (𝑥:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
1916, 17, 183syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
2014, 19eqtrd 2780 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
21 f1ocnv 6726 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
233, 4elsymgbas 18979 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
2422, 15, 233imtr4d 294 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
2524imp 407 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
263, 4, 5symgov 18989 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
2725, 26sylancom 588 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
28 f1ococnv1 6742 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
2916, 28syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
3027, 29eqtrd 2780 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
311, 2, 7, 11, 12, 20, 25, 30isgrpd 18599 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   I cid 5489  ccnv 5589  cres 5592  ccom 5594  wf 6428  1-1-ontowf1o 6431  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  Grpcgrp 18575  SymGrpcsymg 18972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-tset 16979  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-efmnd 18506  df-grp 18578  df-symg 18973
This theorem is referenced by:  symginv  19008  symgsubmefmndALT  19009  galactghm  19010  symgga  19013  pgrpsubgsymgbi  19014  pgrpsubgsymg  19015  idressubgsymg  19016  gsumccatsymgsn  19032  symgsssg  19073  symgfisg  19074  symggen  19076  symgtrinv  19078  psgnunilem5  19100  psgnunilem2  19101  psgnuni  19105  psgneldm2  19110  psgnfitr  19123  psgnghm  20783  zrhpsgninv  20788  evpmodpmf1o  20799  mdetleib2  21735  mdetdiag  21746  mdetralt  21755  mdetunilem7  21765  symgtgp  23255  symgfcoeu  31347  symgsubg  31352  cyc3co2  31403  cyc3genpmlem  31414  cyc3genpm  31415  cycpmconjs  31419  cyc3conja  31420  madjusmdetlem3  31775  madjusmdetlem4  31776  pgrple2abl  45670
  Copyright terms: Public domain W3C validator