Theorem symggrp 19327

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symggrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2735	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2735	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		symggrp.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	symgcl 19312	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
8	3, 4, 5	symgcl 19312	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 4, 5	symgov 19311	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
10	8, 9	symggrplem 18807	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
12	3	idresperm 19313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
13	3, 4, 5	symgov 19311	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
14	12, 13	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
15	3, 4	elsymgbas 19301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
16	15	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
17		f1of 6772	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
18		fcoi2 6707	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
20	14, 19	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
21		f1ocnv 6784	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
23	3, 4	elsymgbas 19301	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
24	22, 15, 23	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → ◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
25	24	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26	3, 4, 5	symgov 19311	. . . 4 ⊢ ((◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
27	25, 26	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
28		f1ococnv1 6801	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
29	16, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
30	27, 29	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
31	1, 2, 7, 11, 12, 20, 25, 30	isgrpd 18886	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   I cid 5516  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Grpcgrp 18861  SymGrpcsymg 19296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-tset 17194  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-symg 19297

This theorem is referenced by:  symginv  19329  symgsubmefmndALT  19330  galactghm  19331  symgga  19334  pgrpsubgsymgbi  19335  pgrpsubgsymg  19336  idressubgsymg  19337  gsumccatsymgsn  19353  symgsssg  19394  symgfisg  19395  symggen  19397  symgtrinv  19399  psgnunilem5  19421  psgnunilem2  19422  psgnuni  19426  psgneldm2  19431  psgnfitr  19444  psgnghm  21533  zrhpsgninv  21538  evpmodpmf1o  21549  mdetleib2  22530  mdetdiag  22541  mdetralt  22550  mdetunilem7  22560  symgtgp  24048  symgfcoeu  33113  symgsubg  33118  cyc3co2  33171  cyc3genpmlem  33182  cyc3genpm  33183  cycpmconjs  33187  cyc3conja  33188  mplvrpmga  33659  madjusmdetlem3  33935  madjusmdetlem4  33936  pgrple2abl  48553