MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggrp 18017
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symggrp (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2807 . 2 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 eqidd 2807 . 2 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
3 symggrp.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 eqid 2806 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 eqid 2806 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
63, 4, 5symgcl 18008 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
763adant1 1153 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
8 coass 5868 . . . 4 ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧))
9 simpr1 1241 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
10 simpr2 1243 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
113, 4, 5symgov 18007 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥𝑦))
129, 10, 11syl2anc 575 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥𝑦))
1312coeq1d 5485 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
14 simpr3 1245 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
153, 4, 5symgov 18007 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
1610, 14, 15syl2anc 575 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦𝑧))
1716coeq2d 5486 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
188, 13, 173eqtr4a 2866 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
199, 10, 6syl2anc 575 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
203, 4, 5symgov 18007 . . . 4 (((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
2119, 14, 20syl2anc 575 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
223, 4, 5symgcl 18008 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
2310, 14, 22syl2anc 575 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
243, 4, 5symgov 18007 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
259, 23, 24syl2anc 575 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2618, 21, 253eqtr4d 2850 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
27 f1oi 6386 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
283, 4elsymgbas 17999 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴))
2927, 28mpbiri 249 . 2 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
303, 4, 5symgov 18007 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
3129, 30sylan 571 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
323, 4elsymgbas 17999 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
3332biimpa 464 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
34 f1of 6349 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
35 fcoi2 6290 . . . 4 (𝑥:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
3633, 34, 353syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
3731, 36eqtrd 2840 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
38 f1ocnv 6361 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
3938a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
403, 4elsymgbas 17999 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
4139, 32, 403imtr4d 285 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
4241imp 395 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
433, 4, 5symgov 18007 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
4442, 43sylancom 578 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
45 f1ococnv1 6377 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
4633, 45syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
4744, 46eqtrd 2840 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
481, 2, 7, 26, 29, 37, 42, 47isgrpd 17645 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156   I cid 5218  ccnv 5310  cres 5313  ccom 5315  wf 6093  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17623  SymGrpcsymg 17994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-symg 17995
This theorem is referenced by:  symgid  18018  symginv  18019  galactghm  18020  symgga  18023  pgrpsubgsymgbi  18024  pgrpsubgsymg  18025  idressubgsymg  18027  gsumccatsymgsn  18043  symgsssg  18084  symgfisg  18085  symggen  18087  symgtrinv  18089  psgnunilem5  18111  psgnunilem2  18112  psgnuni  18116  psgneldm2  18121  psgnfitr  18134  psgnghm  20129  zrhpsgninv  20134  evpmodpmf1o  20146  mdetleib2  20602  mdetdiag  20613  mdetralt  20622  mdetunilem7  20632  symgtgp  22115  symgfcoeu  30169  madjusmdetlem3  30219  madjusmdetlem4  30220  pgrple2abl  42711
  Copyright terms: Public domain W3C validator