Theorem symggrp 18027

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symggrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		symggrp.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	symgcl 18018	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
7	6	3adant1 1124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
8		coass 5798	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧))
9		simpr1 1233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
10		simpr2 1235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
11	3, 4, 5	symgov 18017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
12	9, 10, 11	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
13	12	coeq1d 5422	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
14		simpr3 1237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
15	3, 4, 5	symgov 18017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
16	10, 14, 15	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
17	16	coeq2d 5423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
18	8, 13, 17	3eqtr4a 2831	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
19	9, 10, 6	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
20	3, 4, 5	symgov 18017	. . . 4 ⊢ (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
21	19, 14, 20	syl2anc 573	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘ 𝑧))
22	3, 4, 5	symgcl 18018	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
23	10, 14, 22	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
24	3, 4, 5	symgov 18017	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
25	9, 23, 24	syl2anc 573	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	18, 21, 25	3eqtr4d 2815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
27		f1oi 6315	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
28	3, 4	elsymgbas 18009	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴))
29	27, 28	mpbiri 248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
30	3, 4, 5	symgov 18017	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
31	29, 30	sylan 569	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
32	3, 4	elsymgbas 18009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
33	32	biimpa 462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
34		f1of 6278	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
35		fcoi2 6219	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
36	33, 34, 35	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
37	31, 36	eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
38		f1ocnv 6290	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
40	3, 4	elsymgbas 18009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
41	39, 32, 40	3imtr4d 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → ◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
42	41	imp 393	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
43	3, 4, 5	symgov 18017	. . . 4 ⊢ ((◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
44	42, 43	sylancom 576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
45		f1ococnv1 6306	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
46	33, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
47	44, 46	eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
48	1, 2, 7, 26, 29, 37, 42, 47	isgrpd 17652	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   I cid 5156  ^◡ccnv 5248   ↾ cres 5251   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  Grpcgrp 17630  SymGrpcsymg 18004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-symg 18005

This theorem is referenced by:  symgid  18028  symginv  18029  galactghm  18030  symgga  18033  pgrpsubgsymgbi  18034  pgrpsubgsymg  18035  idressubgsymg  18037  gsumccatsymgsn  18053  symgsssg  18094  symgfisg  18095  symggen  18097  symgtrinv  18099  psgnunilem5  18121  psgnunilem2  18122  psgnuni  18126  psgneldm2  18131  psgnfitr  18144  psgnghm  20141  zrhpsgninv  20146  evpmodpmf1o  20158  mdetleib2  20612  mdetdiag  20623  mdetralt  20632  mdetunilem7  20642  symgtgp  22125  symgfcoeu  30185  madjusmdetlem3  30235  madjusmdetlem4  30236  pgrple2abl  42674