MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symggrp 19183
Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
symggrp (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 eqidd 2738 . 2 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
3 symggrp.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
63, 4, 5symgcl 19167 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
763adant1 1131 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
83, 4, 5symgcl 19167 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) ∈ (Base‘𝐺))
93, 4, 5symgov 19166 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
108, 9symggrplem 18695 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
1110adantl 483 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
123idresperm 19168 . 2 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
133, 4, 5symgov 19166 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
1412, 13sylan 581 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
153, 4elsymgbas 19156 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
1615biimpa 478 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
17 f1of 6785 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
18 fcoi2 6718 . . . 4 (𝑥:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
1916, 17, 183syl 18 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
2014, 19eqtrd 2777 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
21 f1ocnv 6797 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
233, 4elsymgbas 19156 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
2422, 15, 233imtr4d 294 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
2524imp 408 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
263, 4, 5symgov 19166 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
2725, 26sylancom 589 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = (𝑥𝑥))
28 f1ococnv1 6814 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
2916, 28syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
3027, 29eqtrd 2777 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
311, 2, 7, 11, 12, 20, 25, 30isgrpd 18773 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   I cid 5531  ccnv 5633  cres 5636  ccom 5638  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Grpcgrp 18749  SymGrpcsymg 19149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-efmnd 18680  df-grp 18752  df-symg 19150
This theorem is referenced by:  symginv  19185  symgsubmefmndALT  19186  galactghm  19187  symgga  19190  pgrpsubgsymgbi  19191  pgrpsubgsymg  19192  idressubgsymg  19193  gsumccatsymgsn  19209  symgsssg  19250  symgfisg  19251  symggen  19253  symgtrinv  19255  psgnunilem5  19277  psgnunilem2  19278  psgnuni  19282  psgneldm2  19287  psgnfitr  19300  psgnghm  20987  zrhpsgninv  20992  evpmodpmf1o  21003  mdetleib2  21940  mdetdiag  21951  mdetralt  21960  mdetunilem7  21970  symgtgp  23460  symgfcoeu  31936  symgsubg  31941  cyc3co2  31992  cyc3genpmlem  32003  cyc3genpm  32004  cycpmconjs  32008  cyc3conja  32009  madjusmdetlem3  32413  madjusmdetlem4  32414  pgrple2abl  46448
  Copyright terms: Public domain W3C validator