Theorem symggrp 19614

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symggrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem symggrp

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		symggrp.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	3, 4, 5	symgcl 19599	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
7	6	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
8	3, 4, 5	symgcl 19599	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 4, 5	symgov 19598	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
10	8, 9	symggrplem 19080	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
11	10	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
12	3	idresperm 19600	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
13	3, 4, 5	symgov 19598	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
14	12, 13	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥))
15	3, 4	elsymgbas 19588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
17		f1of 6824	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
18		fcoi2 6757	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑥) = 𝑥)
20	14, 19	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
21		f1ocnv 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
23	3, 4	elsymgbas 19588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↔ ◡𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴))
24	22, 15, 23	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) → ◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
25	24	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26	3, 4, 5	symgov 19598	. . . 4 ⊢ ((◡𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
27	25, 26	sylancom 600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
28		f1ococnv1 6854	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
29	16, 28	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
30	27, 29	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (◡𝑥(+g‘𝐺)𝑥) = ( I ↾ 𝐴))
31	1, 2, 7, 11, 12, 20, 25, 30	isgrpd 19169	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   I cid 5545  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Grpcgrp 19144  SymGrpcsymg 19583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-symg 19584

This theorem is used by:  symginv  19616  symgsubmefmndALT  19617  galactghm  19618  symgga  19621  pgrpsubgsymgbi  19622  pgrpsubgsymg  19623  idressubgsymg  19624  gsumccatsymgsn  19640  symgsssg  19681  symgfisg  19682  symggen  19684  symgtrinv  19686  psgnunilem5  19708  psgnunilem2  19709  psgnuni  19713  psgneldm2  19718  psgnfitr  19731  psgnghm  21886  zrhpsgninv  21891  evpmodpmf1o  21902  mdetleib2  22903  mdetdiag  22914  mdetralt  22923  mdetunilem7  22933  symgtgp  24425  symgfcoeu  33643  symgsubg  33648  cyc3co2  33701  cyc3genpmlem  33712  cyc3genpm  33713  cycpmconjs  33717  cyc3conja  33718  mplvrpmga  34177  madjusmdetlem3  34461  madjusmdetlem4  34462  pgrple2abl  49476