Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn8 40123
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
cdlemn8.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
cdlemn8.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑇,β„Ž   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   β„Ž,π‘Š   𝑅,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐡(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   ≀ (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑔,𝑠)
Proof of Theorem cdlemn8
StepHypRef Expression
1 coass 6265 . . 3 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝑔) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝑔))
2 simp1 1137 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 cdlemn8.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdlemn8.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 cdlemn8.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemn8.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 38938 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
9 simp2l 1200 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
10 cdlemn8.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemn8.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 39498 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
132, 8, 9, 12syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 cdlemn8.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1514, 5, 10ltrn1o 39043 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
162, 13, 15syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
17 f1ococnv1 6863 . . . . . 6 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
1918coeq1d 5862 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝑔) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑔))
20 simp32 1211 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
2114, 5, 10ltrn1o 39043 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔:𝐡–1-1-onto→𝐡)
222, 20, 21syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔:𝐡–1-1-onto→𝐡)
23 f1of 6834 . . . . 5 (𝑔:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑔:𝐡⟢𝐡)
24 fcoi2 6767 . . . . 5 (𝑔:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑔) = 𝑔)
2522, 23, 243syl 18 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑔) = 𝑔)
2619, 25eqtr2d 2774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝑔))
27 cdlemn8.o . . . . . . 7 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
28 cdlemn8.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
29 cdlemn8.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
30 cdlemn8.s . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
31 cdlemn8.g . . . . . . 7 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3214, 3, 4, 5, 6, 27, 10, 28, 29, 30, 11, 31cdlemn7 40122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐺 = ((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑠))
3332simpld 496 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐺 = ((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔))
3432simprd 497 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑠)
3534fveq1d 6894 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΉ) = (π‘ β€˜πΉ))
36 fvresi 7171 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΉ) = 𝐹)
3713, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΉ) = 𝐹)
3835, 37eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘ β€˜πΉ) = 𝐹)
3938coeq1d 5862 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑔))
4033, 39eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐺 = (𝐹 ∘ 𝑔))
4140coeq2d 5863 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝑔)))
421, 26, 413eqtr4a 2799 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (◑𝐹 ∘ 𝐺))
435, 10ltrncnv 39065 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
442, 13, 43syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
45 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
463, 4, 5, 10, 31ltrniotacl 39498 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
472, 8, 45, 46syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
485, 10ltrncom 39657 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
492, 44, 47, 48syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
5042, 49eqtrd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  lecple 17204  occoc 17205  Atomscatm 38181  HLchlt 38268  LHypclh 38903  LTrncltrn 39020  TEndoctendo 39671  DVecHcdvh 39997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37871
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38094  df-ol 38096  df-oml 38097  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269  df-llines 38417  df-lplanes 38418  df-lvols 38419  df-lines 38420  df-psubsp 38422  df-pmap 38423  df-padd 38715  df-lhyp 38907  df-laut 38908  df-ldil 39023  df-ltrn 39024  df-trl 39078  df-tendo 39674  df-edring 39676  df-dvech 39998
This theorem is referenced by:  cdlemn9  40124
  Copyright terms: Public domain W3C validator