Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn8 37279
 Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l = (le‘𝐾)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s + = (+g𝑈)
cdlemn8.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn8.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔 = (𝐺𝐹))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑇,   𝑃,   𝑄,   ,𝑊   𝑅,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐹(𝑔,,𝑠)   𝐺(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem cdlemn8
StepHypRef Expression
1 coass 5895 . . 3 ((𝐹𝐹) ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝐹𝑔))
2 simp1 1172 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 cdlemn8.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
4 cdlemn8.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn8.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn8.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 36094 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
873ad2ant1 1169 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
9 simp2l 1262 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10 cdlemn8.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemn8.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 36654 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
132, 8, 9, 12syl3anc 1496 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐹𝑇)
14 cdlemn8.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1514, 5, 10ltrn1o 36199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
162, 13, 15syl2anc 581 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
17 f1ococnv1 6406 . . . . . 6 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
1918coeq1d 5516 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝑔) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑔))
20 simp32 1273 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔𝑇)
2114, 5, 10ltrn1o 36199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔:𝐵1-1-onto𝐵)
222, 20, 21syl2anc 581 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔:𝐵1-1-onto𝐵)
23 f1of 6378 . . . . 5 (𝑔:𝐵1-1-onto𝐵𝑔:𝐵𝐵)
24 fcoi2 6316 . . . . 5 (𝑔:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑔) = 𝑔)
2522, 23, 243syl 18 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑔) = 𝑔)
2619, 25eqtr2d 2862 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔 = ((𝐹𝐹) ∘ 𝑔))
27 cdlemn8.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
28 cdlemn8.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29 cdlemn8.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
30 cdlemn8.s . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
31 cdlemn8.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
3214, 3, 4, 5, 6, 27, 10, 28, 29, 30, 11, 31cdlemn7 37278 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐺 = ((𝑠𝐹) ∘ 𝑔) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑠))
3332simpld 490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐺 = ((𝑠𝐹) ∘ 𝑔))
3432simprd 491 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑠)
3534fveq1d 6435 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (( I ↾ 𝑇)‘𝐹) = (𝑠𝐹))
36 fvresi 6691 . . . . . . . 8 (𝐹𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝐹) = 𝐹)
3713, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (( I ↾ 𝑇)‘𝐹) = 𝐹)
3835, 37eqtr3d 2863 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑠𝐹) = 𝐹)
3938coeq1d 5516 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ((𝑠𝐹) ∘ 𝑔) = (𝐹𝑔))
4033, 39eqtrd 2861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐺 = (𝐹𝑔))
4140coeq2d 5517 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐹𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝑔)))
421, 26, 413eqtr4a 2887 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔 = (𝐹𝐺))
435, 10ltrncnv 36221 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
442, 13, 43syl2anc 581 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐹𝑇)
45 simp2r 1263 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
463, 4, 5, 10, 31ltrniotacl 36654 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐺𝑇)
472, 8, 45, 46syl3anc 1496 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝐺𝑇)
485, 10ltrncom 36813 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
492, 44, 47, 48syl3anc 1496 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
5042, 49eqtrd 2861 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔 = (𝐺𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ⟨cop 4403   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952   I cid 5249  ◡ccnv 5341   ↾ cres 5344   ∘ ccom 5346  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  ℩crio 6865  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  lecple 16312  occoc 16313  Atomscatm 35338  HLchlt 35425  LHypclh 36059  LTrncltrn 36176  TEndoctendo 36827  DVecHcdvh 37153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dvech 37154 This theorem is referenced by:  cdlemn9  37280
 Copyright terms: Public domain W3C validator