Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | coass 6179 |
. . 3
β’ ((β‘πΉ β πΉ) β π) = (β‘πΉ β (πΉ β π)) |
2 | | simp1 1136 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | cdlemn8.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | cdlemn8.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdlemn8.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdlemn8.p |
. . . . . . . . . 10
β’ π = ((ocβπΎ)βπ) |
7 | 3, 4, 5, 6 | lhpocnel2 38072 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | 7 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | simp2l 1199 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
10 | | cdlemn8.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | | cdlemn8.f |
. . . . . . . . 9
β’ πΉ = (β©β β π (ββπ) = π) |
12 | 3, 4, 5, 10, 11 | ltrniotacl 38632 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
13 | 2, 8, 9, 12 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β πΉ β π) |
14 | | cdlemn8.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
15 | 14, 5, 10 | ltrn1o 38177 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
16 | 2, 13, 15 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
17 | | f1ococnv1 6771 |
. . . . . 6
β’ (πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
19 | 18 | coeq1d 5779 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β ((β‘πΉ β πΉ) β π) = (( I βΎ π΅) β π)) |
20 | | simp32 1210 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β π β π) |
21 | 14, 5, 10 | ltrn1o 38177 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
22 | 2, 20, 21 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
23 | | f1of 6742 |
. . . . 5
β’ (π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β π:π΅βΆπ΅) |
24 | | fcoi2 6675 |
. . . . 5
β’ (π:π΅βΆπ΅ β (( I βΎ π΅) β π) = π) |
25 | 22, 23, 24 | 3syl 18 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (( I βΎ π΅) β π) = π) |
26 | 19, 25 | eqtr2d 2777 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β π = ((β‘πΉ β πΉ) β π)) |
27 | | cdlemn8.o |
. . . . . . 7
β’ π = (β β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
28 | | cdlemn8.e |
. . . . . . 7
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
29 | | cdlemn8.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
30 | | cdlemn8.s |
. . . . . . 7
β’ + =
(+gβπ) |
31 | | cdlemn8.g |
. . . . . . 7
β’ πΊ = (β©β β π (ββπ) = π
) |
32 | 14, 3, 4, 5, 6, 27,
10, 28, 29, 30, 11, 31 | cdlemn7 39256 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (πΊ = ((π βπΉ) β π) β§ ( I βΎ π) = π )) |
33 | 32 | simpld 496 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β πΊ = ((π βπΉ) β π)) |
34 | 32 | simprd 497 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β ( I βΎ π) = π ) |
35 | 34 | fveq1d 6802 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (( I βΎ π)βπΉ) = (π βπΉ)) |
36 | | fvresi 7073 |
. . . . . . . 8
β’ (πΉ β π β (( I βΎ π)βπΉ) = πΉ) |
37 | 13, 36 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (( I βΎ π)βπΉ) = πΉ) |
38 | 35, 37 | eqtr3d 2778 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (π βπΉ) = πΉ) |
39 | 38 | coeq1d 5779 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β ((π βπΉ) β π) = (πΉ β π)) |
40 | 33, 39 | eqtrd 2776 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β πΊ = (πΉ β π)) |
41 | 40 | coeq2d 5780 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (β‘πΉ β πΊ) = (β‘πΉ β (πΉ β π))) |
42 | 1, 26, 41 | 3eqtr4a 2802 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β π = (β‘πΉ β πΊ)) |
43 | 5, 10 | ltrncnv 38199 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
44 | 2, 13, 43 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β β‘πΉ β π) |
45 | | simp2r 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
46 | 3, 4, 5, 10, 31 | ltrniotacl 38632 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β πΊ β π) |
47 | 2, 8, 45, 46 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β πΊ β π) |
48 | 5, 10 | ltrncom 38791 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β‘πΉ β π β§ πΊ β π) β (β‘πΉ β πΊ) = (πΊ β β‘πΉ)) |
49 | 2, 44, 47, 48 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β (β‘πΉ β πΊ) = (πΊ β β‘πΉ)) |
50 | 42, 49 | eqtrd 2776 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β πΈ β§ π β π β§ β¨πΊ, ( I βΎ π)β© = (β¨(π βπΉ), π β© + β¨π, πβ©))) β π = (πΊ β β‘πΉ)) |