Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn8 40378
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
cdlemn8.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
cdlemn8.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑇,β„Ž   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   β„Ž,π‘Š   𝑅,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐡(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   ≀ (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑔,𝑠)
Proof of Theorem cdlemn8
StepHypRef Expression
1 coass 6264 . . 3 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝑔) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝑔))
2 simp1 1136 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 cdlemn8.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdlemn8.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 cdlemn8.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemn8.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 39193 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
873ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
9 simp2l 1199 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
10 cdlemn8.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemn8.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 39753 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
132, 8, 9, 12syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 cdlemn8.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1514, 5, 10ltrn1o 39298 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
162, 13, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
17 f1ococnv1 6862 . . . . . 6 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
1918coeq1d 5861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝑔) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑔))
20 simp32 1210 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
2114, 5, 10ltrn1o 39298 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔:𝐡–1-1-onto→𝐡)
222, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔:𝐡–1-1-onto→𝐡)
23 f1of 6833 . . . . 5 (𝑔:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑔:𝐡⟢𝐡)
24 fcoi2 6766 . . . . 5 (𝑔:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑔) = 𝑔)
2522, 23, 243syl 18 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝑔) = 𝑔)
2619, 25eqtr2d 2773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝑔))
27 cdlemn8.o . . . . . . 7 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
28 cdlemn8.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
29 cdlemn8.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
30 cdlemn8.s . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
31 cdlemn8.g . . . . . . 7 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3214, 3, 4, 5, 6, 27, 10, 28, 29, 30, 11, 31cdlemn7 40377 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐺 = ((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑠))
3332simpld 495 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐺 = ((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔))
3432simprd 496 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑠)
3534fveq1d 6893 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΉ) = (π‘ β€˜πΉ))
36 fvresi 7173 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΉ) = 𝐹)
3713, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΉ) = 𝐹)
3835, 37eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘ β€˜πΉ) = 𝐹)
3938coeq1d 5861 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑔))
4033, 39eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐺 = (𝐹 ∘ 𝑔))
4140coeq2d 5862 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝑔)))
421, 26, 413eqtr4a 2798 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (◑𝐹 ∘ 𝐺))
435, 10ltrncnv 39320 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
442, 13, 43syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
45 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
463, 4, 5, 10, 31ltrniotacl 39753 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
472, 8, 45, 46syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
485, 10ltrncom 39912 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
492, 44, 47, 48syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
5042, 49eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  lecple 17208  occoc 17209  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  TEndoctendo 39926  DVecHcdvh 40252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dvech 40253
This theorem is referenced by:  cdlemn9  40379
  Copyright terms: Public domain W3C validator