Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpgrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpgrplem 40277
Description: Lemma for tgrpgrp 40278. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o + = (+g𝐺)
tgrp.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tgrpset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpset.g . . . 4 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpbase 40274 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
65eqcomd 2731 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7 tgrp.o . . 3 + = (+g𝐺)
87a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (+g𝐺))
91, 2, 3, 7tgrpov 40276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
1093expa 1115 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
11103impb 1112 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
121, 2ltrnco 40247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑇)
1311, 12eqeltrd 2825 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14 coass 6264 . . 3 ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧))
15 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑊𝐻)
17 simpr1 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑥𝑇)
18 simpr2 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑦𝑇)
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
2019oveq1d 7430 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) + 𝑧))
21 simpl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2221, 17, 18, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑇)
23 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑧𝑇)
241, 2, 3, 7tgrpov 40276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ((𝑥𝑦) ∈ 𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
2620, 25eqtrd 2765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
271, 2, 3, 7tgrpov 40276 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦𝑧))
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦𝑧))
2928oveq2d 7431 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦𝑧)))
301, 2ltrnco 40247 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑦𝑇𝑧𝑇) → (𝑦𝑧) ∈ 𝑇)
3121, 18, 23, 30syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑦𝑧) ∈ 𝑇)
321, 2, 3, 7tgrpov 40276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑦𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + (𝑦𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
3429, 33eqtrd 2765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
3514, 26, 343eqtr4a 2791 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36 tgrp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3736, 1, 2idltrn 39678 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38 simpll 765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39 simplr 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑊𝐻)
4037adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41 simpr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
421, 2, 3, 7tgrpov 40276 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑥𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
4436, 1, 2ltrn1o 39652 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥:𝐵1-1-onto𝐵)
45 f1of 6833 . . . 4 (𝑥:𝐵1-1-onto𝐵𝑥:𝐵𝐵)
46 fcoi2 6766 . . . 4 (𝑥:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
4744, 45, 463syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
4843, 47eqtrd 2765 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
491, 2ltrncnv 39674 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
501, 2, 3, 7tgrpov 40276 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥𝑇𝑥𝑇)) → (𝑥 + 𝑥) = (𝑥𝑥))
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥 + 𝑥) = (𝑥𝑥))
52 f1ococnv1 6862 . . . 4 (𝑥:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
5344, 52syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
5451, 53eqtrd 2765 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 18917 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   I cid 5569  ccnv 5671  cres 5674  ccom 5676  wf 6538  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Grpcgrp 18892  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  TGrpctgrp 40270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tgrp 40271
This theorem is referenced by:  tgrpgrp  40278
  Copyright terms: Public domain W3C validator