Theorem tgrpgrplem 38690

Description: Lemma for tgrpgrp 38691. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o	⊢ + = (+g‘𝐺)
tgrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tgrpgrplem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tgrpset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpset.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpbase 38687	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2744	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7		tgrp.o	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝐺))
9	1, 2, 3, 7	tgrpov 38689	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
10	9	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
11	10	3impb 1113	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
12	1, 2	ltrnco 38660	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
13	11, 12	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14		coass 6158	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧))
15		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
17		simpr1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
18		simpr2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
19	15, 16, 17, 18, 9	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
20	19	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧))
21		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	21, 17, 18, 12	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
23		simpr3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3, 7	tgrpov 38689	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
25	15, 16, 22, 23, 24	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
26	20, 25	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
27	1, 2, 3, 7	tgrpov 38689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
28	15, 16, 18, 23, 27	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
29	28	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)))
30	1, 2	ltrnco 38660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
31	21, 18, 23, 30	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
32	1, 2, 3, 7	tgrpov 38689	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
33	15, 16, 17, 31, 32	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
34	29, 33	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
35	14, 26, 34	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36		tgrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
37	36, 1, 2	idltrn 38091	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
40	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
42	1, 2, 3, 7	tgrpov 38689	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
44	36, 1, 2	ltrn1o 38065	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵)
45		f1of 6700	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑥:𝐵⟶𝐵)
46		fcoi2 6633	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
47	44, 45, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
48	43, 47	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
49	1, 2	ltrncnv 38087	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ◡𝑥 ∈ 𝑇)
50	1, 2, 3, 7	tgrpov 38689	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (◡𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
51	38, 39, 49, 41, 50	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
52		f1ococnv1 6728	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
53	44, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
54	51, 53	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
55	6, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54	isgrpd 18516	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Grpcgrp 18492  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  TGrpctgrp 38683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684

This theorem is referenced by:  tgrpgrp  38691