Theorem tgrpgrplem 38975

Description: Lemma for tgrpgrp 38976. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o	⊢ + = (+g‘𝐺)
tgrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tgrpgrplem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tgrpset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpset.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpbase 38972	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2743	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7		tgrp.o	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝐺))
9	1, 2, 3, 7	tgrpov 38974	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
10	9	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
11	10	3impb 1114	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
12	1, 2	ltrnco 38945	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
13	11, 12	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14		coass 6188	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧))
15		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
17		simpr1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
18		simpr2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
19	15, 16, 17, 18, 9	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
20	19	oveq1d 7328	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧))
21		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	21, 17, 18, 12	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
23		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3, 7	tgrpov 38974	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
25	15, 16, 22, 23, 24	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
26	20, 25	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
27	1, 2, 3, 7	tgrpov 38974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
28	15, 16, 18, 23, 27	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
29	28	oveq2d 7329	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)))
30	1, 2	ltrnco 38945	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
31	21, 18, 23, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
32	1, 2, 3, 7	tgrpov 38974	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
33	15, 16, 17, 31, 32	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
34	29, 33	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
35	14, 26, 34	3eqtr4a 2803	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36		tgrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
37	36, 1, 2	idltrn 38376	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
40	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
42	1, 2, 3, 7	tgrpov 38974	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
44	36, 1, 2	ltrn1o 38350	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵)
45		f1of 6751	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑥:𝐵⟶𝐵)
46		fcoi2 6684	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
47	44, 45, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
48	43, 47	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
49	1, 2	ltrncnv 38372	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ◡𝑥 ∈ 𝑇)
50	1, 2, 3, 7	tgrpov 38974	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (◡𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
51	38, 39, 49, 41, 50	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
52		f1ococnv1 6780	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
53	44, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
54	51, 53	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
55	6, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54	isgrpd 18668	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   I cid 5504  ^◡ccnv 5604   ↾ cres 5607   ∘ ccom 5609  ⟶wf 6459  –1-1-onto→wf1o 6462  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  +_gcplusg 17029  Grpcgrp 18644  HLchlt 37576  LHypclh 38210  LTrncltrn 38327  TGrpctgrp 38968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-riotaBAD 37179

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-undef 8134  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-struct 16915  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-0g 17219  df-proset 18080  df-poset 18098  df-plt 18115  df-lub 18131  df-glb 18132  df-join 18133  df-meet 18134  df-p0 18210  df-p1 18211  df-lat 18217  df-clat 18284  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-oposet 37402  df-ol 37404  df-oml 37405  df-covers 37492  df-ats 37493  df-atl 37524  df-cvlat 37548  df-hlat 37577  df-llines 37724  df-lplanes 37725  df-lvols 37726  df-lines 37727  df-psubsp 37729  df-pmap 37730  df-padd 38022  df-lhyp 38214  df-laut 38215  df-ldil 38330  df-ltrn 38331  df-trl 38385  df-tgrp 38969

This theorem is referenced by:  tgrpgrp  38976