Theorem tgrpgrplem 40133

Description: Lemma for tgrpgrp 40134. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o	⊢ + = (+g‘𝐺)
tgrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tgrpgrplem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tgrpset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpset.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpbase 40130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2732	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7		tgrp.o	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝐺))
9	1, 2, 3, 7	tgrpov 40132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
10	9	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
11	10	3impb 1112	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
12	1, 2	ltrnco 40103	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
13	11, 12	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14		coass 6258	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧))
15		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
17		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
18		simpr2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
19	15, 16, 17, 18, 9	syl112anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
20	19	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧))
21		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	21, 17, 18, 12	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
23		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3, 7	tgrpov 40132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
25	15, 16, 22, 23, 24	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
26	20, 25	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
27	1, 2, 3, 7	tgrpov 40132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
28	15, 16, 18, 23, 27	syl112anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
29	28	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)))
30	1, 2	ltrnco 40103	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
31	21, 18, 23, 30	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
32	1, 2, 3, 7	tgrpov 40132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
33	15, 16, 17, 31, 32	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
34	29, 33	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
35	14, 26, 34	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36		tgrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
37	36, 1, 2	idltrn 39534	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
40	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
42	1, 2, 3, 7	tgrpov 40132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
44	36, 1, 2	ltrn1o 39508	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵)
45		f1of 6827	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑥:𝐵⟶𝐵)
46		fcoi2 6760	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
47	44, 45, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
48	43, 47	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
49	1, 2	ltrncnv 39530	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ◡𝑥 ∈ 𝑇)
50	1, 2, 3, 7	tgrpov 40132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (◡𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
51	38, 39, 49, 41, 50	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
52		f1ococnv1 6856	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
53	44, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
54	51, 53	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
55	6, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54	isgrpd 18888	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   I cid 5566  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  Grpcgrp 18863  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TGrpctgrp 40126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127

This theorem is referenced by:  tgrpgrp  40134