Theorem tgrpgrplem 41413

Description: Lemma for tgrpgrp 41414. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o	⊢ + = (+g‘𝐺)
tgrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tgrpgrplem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tgrpset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpset.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpbase 41410	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2775	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7		tgrp.o	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝐺))
9	1, 2, 3, 7	tgrpov 41412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
10	9	3expa 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
11	10	3impb 1130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
12	1, 2	ltrnco 41383	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
13	11, 12	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14		coass 6268	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧))
15		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
17		simpr1 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
18		simpr2 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
19	15, 16, 17, 18, 9	syl112anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
20	19	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧))
21		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	21, 17, 18, 12	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
23		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3, 7	tgrpov 41412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
25	15, 16, 22, 23, 24	syl112anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
26	20, 25	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
27	1, 2, 3, 7	tgrpov 41412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
28	15, 16, 18, 23, 27	syl112anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
29	28	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)))
30	1, 2	ltrnco 41383	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
31	21, 18, 23, 30	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
32	1, 2, 3, 7	tgrpov 41412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
33	15, 16, 17, 31, 32	syl112anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
34	29, 33	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
35	14, 26, 34	3eqtr4a 2830	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36		tgrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
37	36, 1, 2	idltrn 40814	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
40	37	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
42	1, 2, 3, 7	tgrpov 41412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl112anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
44	36, 1, 2	ltrn1o 40788	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵)
45		f1of 6821	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑥:𝐵⟶𝐵)
46		fcoi2 6754	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
47	44, 45, 46	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
48	43, 47	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
49	1, 2	ltrncnv 40810	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ◡𝑥 ∈ 𝑇)
50	1, 2, 3, 7	tgrpov 41412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (◡𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
51	38, 39, 49, 41, 50	syl112anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
52		f1ococnv1 6851	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
53	44, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
54	51, 53	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
55	6, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54	isgrpd 19025	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   I cid 5556  ^◡ccnv 5661   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Grpcgrp 19000  HLchlt 40014  LHypclh 40648  LTrncltrn 40765  TGrpctgrp 41406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39617

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164  df-lines 40165  df-psubsp 40167  df-pmap 40168  df-padd 40460  df-lhyp 40652  df-laut 40653  df-ldil 40768  df-ltrn 40769  df-trl 40823  df-tgrp 41407

This theorem is referenced by:  tgrpgrp  41414