Theorem fineqvhfbregs 35906

Description: All sets are finite iff all sets are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.) Use HF. (Revised by BTernaryTau, 24-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvhfbregs	⊢ (Fin = V ↔ HF = V)

Proof of Theorem fineqvhfbregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 9932	. . . 4 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
2		fineqvomon 35886	. . . . . 6 ⊢ (Fin = V → ω = On)
3	2	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → (𝑅1 “ ω) = (𝑅1 “ On))
4	3	unieqd 4883	. . . 4 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (Fin = V → HF = ∪ (𝑅1 “ On))
6		unir1regs 35903	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
7	5, 6	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (Fin = V → HF = V)
8		hffi 9936	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ HF → 𝑥 ∈ Fin)
9	8	ssriv 3917	. . . 4 ⊢ HF ⊆ Fin
10		sseq1 3938	. . . 4 ⊢ ( HF = V → ( HF ⊆ Fin ↔ V ⊆ Fin))
11	9, 10	mpbii 236	. . 3 ⊢ ( HF = V → V ⊆ Fin)
12		vss 4361	. . 3 ⊢ (V ⊆ Fin ↔ Fin = V)
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ ( HF = V → Fin = V)
14	7, 13	impbii 212	1 ⊢ (Fin = V ↔ HF = V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   “ cima 5658  Oncon0 6380  ωcom 7901  Fincfn 9001  𝑅₁cr1 9793   HF chf 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-regs 35894

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-r1 9795  df-hf 9932

This theorem is used by: (None)