MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnn0fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnn0fi 13890
Description: A subset of the nonnegative integers is finite if and only if there is a nonnegative integer so that all integers greater than this integer are not contained in the subset. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
ssnn0fi (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
Distinct variable group:   𝑆,𝑠,𝑥

Proof of Theorem ssnn0fi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12428 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → 0 ∈ ℕ0)
3 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → (𝑠 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
43imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 → ((𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ (0 < 𝑥𝑥𝑆)))
54ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝑠 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (0 < 𝑥𝑥𝑆)))
65adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 = ∅ ∧ 𝑠 = 0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (0 < 𝑥𝑥𝑆)))
7 nnel 3058 . . . . . . . . 9 𝑥𝑆𝑥𝑆)
8 n0i 4293 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
97, 8sylbi 216 . . . . . . . 8 𝑥𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
109con4i 114 . . . . . . 7 (𝑆 = ∅ → 𝑥𝑆)
1110a1d 25 . . . . . 6 (𝑆 = ∅ → (0 < 𝑥𝑥𝑆))
1211ralrimivw 3147 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (0 < 𝑥𝑥𝑆))
132, 6, 12rspcedvd 3583 . . . 4 (𝑆 = ∅ → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
14132a1d 26 . . 3 (𝑆 = ∅ → (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))))
15 ltso 11235 . . . . . . 7 < Or ℝ
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℕ0𝑆 ⊆ ℕ0)
17 nn0ssre 12417 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ
1816, 17sstrdi 3956 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ ℕ0𝑆 ⊆ ℝ)
19183anim3i 1154 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → (𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ))
20 fisup2g 9404 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ)) → ∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
2115, 19, 20sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → ∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)))
22 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℕ0)
23 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑦𝑠 < 𝑥))
2423notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑠 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑠 < 𝑥))
2524rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦) → ¬ 𝑠 < 𝑥)
26252a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ¬ 𝑠 < 𝑥)))
2726expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 → (𝑥𝑆 → (𝑥 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ¬ 𝑠 < 𝑥))))
2827com24 95 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥𝑆 → ¬ 𝑠 < 𝑥))))
2928imp31 418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑆 → ¬ 𝑠 < 𝑥))
307, 29biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑆 → ¬ 𝑠 < 𝑥))
3130con4d 115 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
3231ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
3332ex 413 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) ∧ 𝑠𝑆) → ((∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3635reximdva 3165 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → (∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑠𝑆𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
37 ssrexv 4011 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (∃𝑠𝑆𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3822, 36, 37sylsyld 61 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → (∃𝑠𝑆 (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑠 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑠 → ∃𝑧𝑆 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
3921, 38mpd 15 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝑆 ⊆ ℕ0) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))
40393exp 1119 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ ℕ0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))))
4140com3l 89 . . 3 (𝑆 ≠ ∅ → (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆))))
4214, 41pm2.61ine 3028 . 2 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
43 fzfi 13877 . . . 4 (0...𝑠) ∈ Fin
44 elfz2nn0 13532 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑦𝑠))
4544notbii 319 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ (0...𝑠) ↔ ¬ (𝑦 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑦𝑠))
46 3ianor 1107 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑦 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑦𝑠) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠))
47 3orass 1090 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)))
4845, 46, 473bitri 296 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (0...𝑠) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)))
49 ssel 3937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0))
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0))
5251con3rr3 155 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
53 notnotb 314 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ ¬ ¬ 𝑦 ∈ ℕ0)
54 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑦𝑆))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑦𝑆))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑦𝑆))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
5857a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
59 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝑦))
60 neleq1 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆))
6159, 60imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) ↔ (𝑠 < 𝑦𝑦𝑆)))
6261rspcva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑠 < 𝑦𝑦𝑆))
63 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℝ)
64 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
65 ltnle 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑠 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑠))
6663, 64, 65syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑠))
67 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑆 ↔ ¬ 𝑦𝑆)
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↔ ¬ 𝑦𝑆))
6966, 68imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) ↔ (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7069biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7170ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑦𝑦𝑆) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7562, 74mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7675ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7776com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆))))
7877imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑦𝑠 → ¬ 𝑦𝑆)))
7978com13 88 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑠 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
8058, 79jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
8153, 80biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠) → (¬ ¬ 𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆)))
8281impcom 408 . . . . . . . . 9 ((¬ ¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)) → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
8352, 82jaoi3 1059 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝑠 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑦𝑠)) → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
8448, 83sylbi 216 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0...𝑠) → (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → ¬ 𝑦𝑆))
8584com12 32 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (¬ 𝑦 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝑦𝑆))
8685con4d 115 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (0...𝑠)))
8786ssrdv 3950 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → 𝑆 ⊆ (0...𝑠))
88 ssfi 9117 . . . 4 (((0...𝑠) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (0...𝑠)) → 𝑆 ∈ Fin)
8943, 87, 88sylancr 587 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)) → 𝑆 ∈ Fin)
9089rexlimdva2 3154 . 2 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆) → 𝑆 ∈ Fin))
9142, 90impbid 211 1 (𝑆 ⊆ ℕ0 → (𝑆 ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   Or wor 5544  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  rabssnn0fi  13891
  Copyright terms: Public domain W3C validator