Theorem suprfinzcl 12728

Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suprfinzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12615	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11307	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5591	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9		fisup2g 9436	. . . 4 ⊢ (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
12	11, 1	sstrdi 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ssrexv 4008	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16		ssel2 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
17	16	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
24	23	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ 𝑎 ≤ 𝑟))
25	24	ralbidva 3188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
26	25	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
27	26	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
28	27	reximdva 3180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
29	15, 28	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
30	10, 29	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟)
31		suprzcl 12694	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
32	30, 31	syld3an3 1436	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   Or wor 5570  Fincfn 8949  supcsup 9407  ℝcr 11116   < clt 11260   ≤ cle 11261  ℤcz 12608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609

This theorem is used by:  uzfissfz  46102  ssuzfz  46125  sge0isum  47201