MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprfinzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprfinzcl 11739
Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
suprfinzcl ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 11631 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 10372 . . . . . 6 < Or ℝ
3 soss 5216 . . . . . 6 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or ℤ
54a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6 simp3 1168 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7 simp2 1167 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8 simp1 1166 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9 fisup2g 8581 . . . 4 (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)))
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1491 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
1211, 1syl6ss 3773 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13123ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 ssrexv 3827 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏))))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16 ssel2 3756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
1716zred 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
1817ex 401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
19183ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2019adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2120imp 395 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22 simplr 785 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10437 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
2423bicomd 214 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎𝑎𝑟))
2524ralbidva 3132 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2625biimpd 220 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2726adantrd 485 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2827reximdva 3163 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2915, 28syld 47 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
3010, 29mpd 15 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟)
31 suprzcl 11704 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3230, 31syld3an3 1528 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809   Or wor 5197  Fincfn 8160  supcsup 8553  cr 10188   < clt 10328  cle 10329  cz 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by:  uzfissfz  40112  ssuzfz  40135  sge0isum  41213
  Copyright terms: Public domain W3C validator