Theorem suprfinzcl 12728

Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suprfinzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12616	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11308	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5594	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9		fisup2g 9439	. . . 4 ⊢ (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
12	11, 1	sstrdi 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ssrexv 4010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16		ssel2 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
17	16	zred 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
24	23	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ 𝑎 ≤ 𝑟))
25	24	ralbidva 3189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
26	25	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
27	26	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
28	27	reximdva 3181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
29	15, 28	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
30	10, 29	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟)
31		suprzcl 12694	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
32	30, 31	syld3an3 1436	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   class class class wbr 5114   Or wor 5573  Fincfn 8952  supcsup 9410  ℝcr 11117   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℤcz 12609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610

This theorem is used by:  uzfissfz  46082  ssuzfz  46105  sge0isum  47181