Theorem suprfinzcl 12590

Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suprfinzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12478	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11196	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5547	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9		fisup2g 9359	. . . 4 ⊢ (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
12	11, 1	sstrdi 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ssrexv 4005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16		ssel2 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
17	16	zred 12580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
24	23	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ 𝑎 ≤ 𝑟))
25	24	ralbidva 3150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
26	25	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
27	26	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
28	27	reximdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
29	15, 28	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
30	10, 29	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟)
31		suprzcl 12556	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
32	30, 31	syld3an3 1411	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   Or wor 5526  Fincfn 8872  supcsup 9330  ℝcr 11008   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472

This theorem is referenced by:  uzfissfz  45310  ssuzfz  45333  sge0isum  46412