Theorem suprfinzcl 12365

Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suprfinzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12256	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 10986	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5514	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9		fisup2g 9157	. . . 4 ⊢ (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
12	11, 1	sstrdi 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ssrexv 3984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16		ssel2 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
17	16	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
19	18	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
24	23	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ 𝑎 ≤ 𝑟))
25	24	ralbidva 3119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
26	25	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
27	26	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
28	27	reximdva 3202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
29	15, 28	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
30	10, 29	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟)
31		suprzcl 12330	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
32	30, 31	syld3an3 1407	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   Or wor 5493  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  uzfissfz  42755  ssuzfz  42778  sge0isum  43855