MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprfinzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprfinzcl 12551
Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
suprfinzcl ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 12440 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 11169 . . . . . 6 < Or ℝ
3 soss 5563 . . . . . 6 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or ℤ
54a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9 fisup2g 9338 . . . 4 (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)))
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1373 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
1211, 1sstrdi 3955 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 ssrexv 4010 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏))))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16 ssel2 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
1716zred 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
1817ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
19183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2120imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 11235 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
2423bicomd 222 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎𝑎𝑟))
2524ralbidva 3171 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2625biimpd 228 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2726adantrd 493 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2827reximdva 3164 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2915, 28syld 47 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
3010, 29mpd 15 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟)
31 suprzcl 12517 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3230, 31syld3an3 1410 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  wss 3909  c0 4281   class class class wbr 5104   Or wor 5542  Fincfn 8817  supcsup 9310  cr 10984   < clt 11123  cle 11124  cz 12433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434
This theorem is referenced by:  uzfissfz  43355  ssuzfz  43378  sge0isum  44459
  Copyright terms: Public domain W3C validator