Theorem suprfinzcl 12678

Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suprfinzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12567	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 11296	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3		soss 5608	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or ℤ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9		fisup2g 9465	. . . 4 ⊢ (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
12	11, 1	sstrdi 3994	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ssrexv 4051	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16		ssel2 3977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
17	16	zred 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
18	17	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ℝ))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
24	23	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ 𝑎 ≤ 𝑟))
25	24	ralbidva 3175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
26	25	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
27	26	adantrd 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
28	27	reximdva 3168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
29	15, 28	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (∀𝑎 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟))
30	10, 29	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟)
31		suprzcl 12644	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 ≤ 𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
32	30, 31	syld3an3 1409	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148   Or wor 5587  Fincfn 8941  supcsup 9437  ℝcr 11111   < clt 11250   ≤ cle 11251  ℤcz 12560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561

This theorem is referenced by:  uzfissfz  44115  ssuzfz  44138  sge0isum  45222