MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprfinzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprfinzcl 12732
Description: The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
suprfinzcl ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem suprfinzcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 12620 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 11341 . . . . . 6 < Or ℝ
3 soss 5612 . . . . . 6 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . . . 5 < Or ℤ
54a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → < Or ℤ)
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
8 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℤ)
9 fisup2g 9508 . . . 4 (( < Or ℤ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ)) → ∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)))
105, 6, 7, 8, 9syl13anc 1374 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)))
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℤ)
1211, 1sstrdi 3996 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13123ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 ssrexv 4053 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏))))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏))))
16 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℤ)
1716zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
1817ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
19183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
2120imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
22 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑟 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 11407 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < 𝑎))
2423bicomd 223 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝐴) → (¬ 𝑟 < 𝑎𝑎𝑟))
2524ralbidva 3176 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ↔ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2625biimpd 229 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 → ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2726adantrd 491 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2827reximdva 3168 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟 ∈ ℝ (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
2915, 28syld 47 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑟𝐴 (∀𝑎𝐴 ¬ 𝑟 < 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ ℤ (𝑎 < 𝑟 → ∃𝑏𝐴 𝑎 < 𝑏)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟))
3010, 29mpd 15 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟)
31 suprzcl 12698 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑎𝐴 𝑎𝑟) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3230, 31syld3an3 1411 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Or wor 5591  Fincfn 8985  supcsup 9480  cr 11154   < clt 11295  cle 11296  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  uzfissfz  45337  ssuzfz  45360  sge0isum  46442
  Copyright terms: Public domain W3C validator