HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjordi 29963
Description: The definition of projector ordering in [Halmos] p. 42 is equivalent to the definition of projector ordering in [Beran] p. 110. (We will usually express projector ordering with the even simpler equivalent 𝐺𝐻; see pjssposi 29962). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjordi (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((proj𝐺) “ ℋ) ⊆ ((proj𝐻) “ ℋ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjordi
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . 3 𝐺C
2 pjco.2 . . 3 𝐻C
31, 2pjssposi 29962 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺𝐻)
41pjfoi 29493 . . . 4 (proj𝐺): ℋ–onto𝐺
5 foima 6586 . . . 4 ((proj𝐺): ℋ–onto𝐺 → ((proj𝐺) “ ℋ) = 𝐺)
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((proj𝐺) “ ℋ) = 𝐺
72pjfoi 29493 . . . 4 (proj𝐻): ℋ–onto𝐻
8 foima 6586 . . . 4 ((proj𝐻): ℋ–onto𝐻 → ((proj𝐻) “ ℋ) = 𝐻)
97, 8ax-mp 5 . . 3 ((proj𝐻) “ ℋ) = 𝐻
106, 9sseq12i 3983 . 2 (((proj𝐺) “ ℋ) ⊆ ((proj𝐻) “ ℋ) ↔ 𝐺𝐻)
113, 10bitr4i 281 1 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((proj𝐺) “ ℋ) ⊆ ((proj𝐻) “ ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wss 3919   class class class wbr 5052  cima 5545  ontowfo 6341  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  cle 10674  chba 28709   ·ih csp 28712   C cch 28719  projcpjh 28727  op chod 28730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28789  ax-hfvadd 28790  ax-hvcom 28791  ax-hvass 28792  ax-hv0cl 28793  ax-hvaddid 28794  ax-hfvmul 28795  ax-hvmulid 28796  ax-hvmulass 28797  ax-hvdistr1 28798  ax-hvdistr2 28799  ax-hvmul0 28800  ax-hfi 28869  ax-his1 28872  ax-his2 28873  ax-his3 28874  ax-his4 28875  ax-hcompl 28992
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-lm 21841  df-haus 21927  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-cfil 23866  df-cau 23867  df-cmet 23868  df-grpo 28283  df-gid 28284  df-ginv 28285  df-gdiv 28286  df-ablo 28335  df-vc 28349  df-nv 28382  df-va 28385  df-ba 28386  df-sm 28387  df-0v 28388  df-vs 28389  df-nmcv 28390  df-ims 28391  df-dip 28491  df-ssp 28512  df-ph 28603  df-cbn 28653  df-hnorm 28758  df-hba 28759  df-hvsub 28761  df-hlim 28762  df-hcau 28763  df-sh 28997  df-ch 29011  df-oc 29042  df-ch0 29043  df-shs 29098  df-pjh 29185  df-hodif 29522
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator