Theorem ghmsub 19290

Description: Linearity of subtraction through a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmsub.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
ghmsub.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmsub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19284	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ Grp)
3		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
4		ghmsub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
6	4, 5	grpinvcl 19050	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
10	4, 8, 9	ghmlin 19287	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
11	7, 10	syld3an3 1434	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑇) = (invg‘𝑇)
13	4, 5, 12	ghminv 19289	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
14	13	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
15	14	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
16	11, 15	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
17		ghmsub.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
18	4, 8, 5, 17	grpsubval 19048	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) = (𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉)))
19	18	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
20	19	3adant1 1146	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
21		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
22	4, 21	ghmf 19286	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
24		ffvelcdm 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
25	23, 24	anim12dan 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
26	22, 25	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
27	26	3impb 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
28		ghmsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)
29	21, 9, 12, 28	grpsubval 19048	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
30	27, 29	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Grpcgrp 18996  inv_gcminusg 18997  -_gcsg 18998   GrpHom cghm 19279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-ghm 19280

This theorem is referenced by:  ghmnsgima  19306  ghmnsgpreima  19307  ghmeqker  19309  ghmf1  19312  fermltlchr  21644  evl1subd  22467  ghmcnp  24237  nmods  24866  znfermltl  33620  qqhucn  34323  aks5lem2  42839