Theorem ghmsub 19431

Description: Linearity of subtraction through a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmsub.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
ghmsub.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmsub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19425	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ Grp)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
4		ghmsub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
6	4, 5	grpinvcl 19191	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
10	4, 8, 9	ghmlin 19428	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
11	7, 10	syld3an3 1436	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑇) = (invg‘𝑇)
13	4, 5, 12	ghminv 19430	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
14	13	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
15	14	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
16	11, 15	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
17		ghmsub.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
18	4, 8, 5, 17	grpsubval 19189	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) = (𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉)))
19	18	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
20	19	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
22	4, 21	ghmf 19427	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
24		ffvelcdm 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
25	23, 24	anim12dan 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
26	22, 25	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
27	26	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
28		ghmsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)
29	21, 9, 12, 28	grpsubval 19189	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
30	27, 29	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Grpcgrp 19137  inv_gcminusg 19138  -_gcsg 19139   GrpHom cghm 19420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-ghm 19421

This theorem is used by:  ghmnsgima  19447  ghmnsgpreima  19448  ghmeqker  19450  ghmf1  19453  rhmsub  20712  fermltlchr  21828  evl1subd  22653  ghmcnp  24427  nmods  25056  znfermltl  33915  qqhucn  34617  aks5lem2  43217