Theorem ghmsub 19199

Description: Linearity of subtraction through a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmsub.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
ghmsub.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmsub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19193	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ Grp)
3		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
4		ghmsub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
6	4, 5	grpinvcl 18963	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
10	4, 8, 9	ghmlin 19196	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
11	7, 10	syld3an3 1412	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑇) = (invg‘𝑇)
13	4, 5, 12	ghminv 19198	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
14	13	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
15	14	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
16	11, 15	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
17		ghmsub.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
18	4, 8, 5, 17	grpsubval 18961	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) = (𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉)))
19	18	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
20	19	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
22	4, 21	ghmf 19195	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
24		ffvelcdm 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
25	23, 24	anim12dan 620	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
26	22, 25	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
27	26	3impb 1115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
28		ghmsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)
29	21, 9, 12, 28	grpsubval 18961	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
30	27, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  -_gcsg 18911   GrpHom cghm 19187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-map 8775  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-ghm 19188

This theorem is referenced by:  ghmnsgima  19215  ghmnsgpreima  19216  ghmeqker  19218  ghmf1  19221  fermltlchr  21509  evl1subd  22307  ghmcnp  24080  nmods  24709  znfermltl  33426  qqhucn  34136  aks5lem2  42626