Theorem ghmsub 19137

Description: Linearity of subtraction through a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmsub.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
ghmsub.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmsub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19131	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ Grp)
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
4		ghmsub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
6	4, 5	grpinvcl 18900	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
10	4, 8, 9	ghmlin 19134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
11	7, 10	syld3an3 1411	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑇) = (invg‘𝑇)
13	4, 5, 12	ghminv 19136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
14	13	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
15	14	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
16	11, 15	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
17		ghmsub.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
18	4, 8, 5, 17	grpsubval 18898	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) = (𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉)))
19	18	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
20	19	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
22	4, 21	ghmf 19133	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
24		ffvelcdm 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
25	23, 24	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
26	22, 25	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
27	26	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
28		ghmsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)
29	21, 9, 12, 28	grpsubval 18898	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
30	27, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  -_gcsg 18848   GrpHom cghm 19125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-ghm 19126

This theorem is referenced by:  ghmnsgima  19153  ghmnsgpreima  19154  ghmeqker  19156  ghmf1  19159  fermltlchr  21467  evl1subd  22258  ghmcnp  24031  nmods  24660  znfermltl  33329  qqhucn  34003  aks5lem2  42226