Theorem ghmsub 19156

Description: Linearity of subtraction through a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmsub.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
ghmsub.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmsub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19150	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ Grp)
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
4		ghmsub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
6	4, 5	grpinvcl 18919	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
10	4, 8, 9	ghmlin 19153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑆)‘𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
11	7, 10	syld3an3 1411	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))))
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑇) = (invg‘𝑇)
13	4, 5, 12	ghminv 19155	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
14	13	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉)) = ((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉)))
15	14	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)(𝐹‘((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
16	11, 15	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
17		ghmsub.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
18	4, 8, 5, 17	grpsubval 18917	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) = (𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉)))
19	18	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
20	19	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (𝐹‘(𝑈(+g‘𝑆)((invg‘𝑆)‘𝑉))))
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
22	4, 21	ghmf 19152	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
23		ffvelcdm 7053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
24		ffvelcdm 7053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
25	23, 24	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
26	22, 25	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
27	26	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)))
28		ghmsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝑇)
29	21, 9, 12, 28	grpsubval 18917	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
30	27, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(+g‘𝑇)((invg‘𝑇)‘(𝐹‘𝑉))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)𝑁(𝐹‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  -_gcsg 18867   GrpHom cghm 19144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-ghm 19145

This theorem is referenced by:  ghmnsgima  19172  ghmnsgpreima  19173  ghmeqker  19175  ghmf1  19178  fermltlchr  21439  evl1subd  22229  ghmcnp  24002  nmods  24632  znfermltl  33337  qqhucn  33982  aks5lem2  42175