Theorem ghmlin 19279

Description: A homomorphism of groups is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmlin.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmlin.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
ghmlin.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmlin

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmlin.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		ghmlin.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		ghmlin.b	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19274	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))))
6	5	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
7	6	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
8		fvoveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)))
9		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑈))
10	9	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
11	8, 10	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
12		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑈 + 𝑏) = (𝑈 + 𝑉))
13	12	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)))
14		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑉))
15	14	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
16	13, 15	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
17	11, 16	rspc2v 3595	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
18	7, 17	mpan9 515	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
19	18	3impb 1130	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18988   GrpHom cghm 19271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-ghm 19272

This theorem is referenced by:  ghmid  19280  ghminv  19281  ghmsub  19282  ghmmhm  19284  ghmrn  19287  resghm  19290  ghmpreima  19296  ghmnsgima  19298  ghmnsgpreima  19299  ghmf1o  19306  ghmqusnsglem1  19338  ghmqusnsg  19340  ghmquskerlem1  19341  ghmquskerlem3  19344  lactghmga  19463  invghm  19891  ghmplusg  19904  rhmopp  20580  srngadd  20920  islmhm2  21125  rhmpreimaidl  21375  cygznlem3  21676  psgnco  21690  evpmodpmf1o  21703  ipdir  21746  evlslem1  22190  evladdval  22211  mpfind  22223  evlsaddval  22237  evl1addd  22458  mdetralt  22722  cpmatacl  22830  mat2pmatghm  22844  ghmcnp  24229  ply1rem  26280  dchrptlem2  27383  abliso  33263  rhmimaidl  33651  r1pquslmic  33812  dimkerim  33929  zrhcntr  34281  qqhghm  34290  qqhrhm  34291  fldhmf1  42714  aks6d1c1p3  42734  aks6d1c5lem1  42760  aks6d1c5lem2  42762  aks5lem3a  42813  gicabl  43683