Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmlin 18358
 Description: A homomorphism of groups is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmlin.x 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmlin.a + = (+g𝑆)
ghmlin.b = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
ghmlin ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))

Proof of Theorem ghmlin
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmlin.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑆)
2 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3 ghmlin.a . . . . . 6 + = (+g𝑆)
4 ghmlin.b . . . . . 6 = (+g𝑇)
51, 2, 3, 4isghm 18353 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)))))
65simprbi 500 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏))))
76simprd 499 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)))
8 fvoveq1 7162 . . . . 5 (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)))
9 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑈 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑈))
109oveq1d 7154 . . . . 5 (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏)))
118, 10eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏))))
12 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑉 → (𝑈 + 𝑏) = (𝑈 + 𝑉))
1312fveq2d 6653 . . . . 5 (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)))
14 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑉 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑉))
1514oveq2d 7155 . . . . 5 (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))
1613, 15eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉))))
1711, 16rspc2v 3584 . . 3 ((𝑈𝑋𝑉𝑋) → (∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉))))
187, 17mpan9 510 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈𝑋𝑉𝑋)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))
19183impb 1112 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Grpcgrp 18098   GrpHom cghm 18350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-ghm 18351 This theorem is referenced by:  ghmid  18359  ghminv  18360  ghmsub  18361  ghmmhm  18363  ghmrn  18366  resghm  18369  ghmpreima  18375  ghmnsgima  18377  ghmnsgpreima  18378  ghmf1o  18383  lactghmga  18528  invghm  18950  ghmplusg  18962  srngadd  19624  islmhm2  19806  cygznlem3  20264  psgnco  20275  evpmodpmf1o  20288  ipdir  20331  evlslem1  20757  mpfind  20782  evl1addd  20968  mdetralt  21216  cpmatacl  21324  mat2pmatghm  21338  ghmcnp  22723  ply1rem  24767  dchrptlem2  25852  abliso  30733  rhmopp  30946  rhmpreimaidl  31014  dimkerim  31111  qqhghm  31337  qqhrhm  31338  gicabl  40030
 Copyright terms: Public domain W3C validator