Theorem ghmlin 18581

Description: A homomorphism of groups is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmlin.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmlin.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
ghmlin.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmlin

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmlin.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		ghmlin.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		ghmlin.b	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 18576	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))))
6	5	simprbi 500	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
7	6	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
8		fvoveq1 7214	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)))
9		fveq2 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑈))
10	9	oveq1d 7206	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
11	8, 10	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
12		oveq2 7199	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑈 + 𝑏) = (𝑈 + 𝑉))
13	12	fveq2d 6699	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)))
14		fveq2 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑉))
15	14	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
16	13, 15	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
17	11, 16	rspc2v 3537	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
18	7, 17	mpan9 510	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
19	18	3impb 1117	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  Grpcgrp 18319   GrpHom cghm 18573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-ghm 18574

This theorem is referenced by:  ghmid  18582  ghminv  18583  ghmsub  18584  ghmmhm  18586  ghmrn  18589  resghm  18592  ghmpreima  18598  ghmnsgima  18600  ghmnsgpreima  18601  ghmf1o  18606  lactghmga  18751  invghm  19173  ghmplusg  19185  srngadd  19847  islmhm2  20029  cygznlem3  20488  psgnco  20499  evpmodpmf1o  20512  ipdir  20555  evlslem1  20996  mpfind  21021  evl1addd  21211  mdetralt  21459  cpmatacl  21567  mat2pmatghm  21581  ghmcnp  22966  ply1rem  25015  dchrptlem2  26100  abliso  30978  rhmopp  31191  rhmpreimaidl  31271  rhmimaidl  31277  dimkerim  31376  qqhghm  31604  qqhrhm  31605  evlsaddval  39928  gicabl  40568