MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmlin 18104
Description: A homomorphism of groups is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmlin.x 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmlin.a + = (+g𝑆)
ghmlin.b = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
ghmlin ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))

Proof of Theorem ghmlin
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmlin.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑆)
2 eqid 2795 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3 ghmlin.a . . . . . 6 + = (+g𝑆)
4 ghmlin.b . . . . . 6 = (+g𝑇)
51, 2, 3, 4isghm 18099 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)))))
65simprbi 497 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏))))
76simprd 496 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)))
8 fvoveq1 7039 . . . . 5 (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)))
9 fveq2 6538 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑈 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑈))
109oveq1d 7031 . . . . 5 (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏)))
118, 10eqeq12d 2810 . . . 4 (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏))))
12 oveq2 7024 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑉 → (𝑈 + 𝑏) = (𝑈 + 𝑉))
1312fveq2d 6542 . . . . 5 (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)))
14 fveq2 6538 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑉 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑉))
1514oveq2d 7032 . . . . 5 (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))
1613, 15eqeq12d 2810 . . . 4 (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉))))
1711, 16rspc2v 3572 . . 3 ((𝑈𝑋𝑉𝑋) → (∀𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉))))
187, 17mpan9 507 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈𝑋𝑉𝑋)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))
19183impb 1108 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹𝑈) (𝐹𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  Grpcgrp 17861   GrpHom cghm 18096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-ghm 18097
This theorem is referenced by:  ghmid  18105  ghminv  18106  ghmsub  18107  ghmmhm  18109  ghmrn  18112  resghm  18115  ghmpreima  18121  ghmnsgima  18123  ghmnsgpreima  18124  ghmf1o  18129  lactghmga  18263  invghm  18679  ghmplusg  18689  srngadd  19318  islmhm2  19500  evlslem1  19982  mpfind  20003  evl1addd  20186  cygznlem3  20398  psgnco  20409  evpmodpmf1o  20422  ipdir  20465  mdetralt  20901  cpmatacl  21008  mat2pmatghm  21022  ghmcnp  22406  ply1rem  24440  dchrptlem2  25523  abliso  30357  rhmopp  30546  dimkerim  30627  qqhghm  30846  qqhrhm  30847  gicabl  39184
  Copyright terms: Public domain W3C validator