Theorem ghmlin 19428

Description: A homomorphism of groups is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmlin.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmlin.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
ghmlin.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmlin

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmlin.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		ghmlin.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		ghmlin.b	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19423	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))))
6	5	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
7	6	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
8		fvoveq1 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)))
9		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑈))
10	9	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
11	8, 10	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
12		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑈 + 𝑏) = (𝑈 + 𝑉))
13	12	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)))
14		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑉))
15	14	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
16	13, 15	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
17	11, 16	rspc2v 3587	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
18	7, 17	mpan9 516	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
19	18	3impb 1132	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Grpcgrp 19137   GrpHom cghm 19420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842  df-ghm 19421

This theorem is used by:  ghmid  19429  ghminv  19430  ghmsub  19431  ghmmhm  19433  ghmrn  19436  resghm  19439  ghmpreima  19445  ghmnsgima  19447  ghmnsgpreima  19448  ghmf1o  19455  ghmqusnsglem1  19487  ghmqusnsg  19489  ghmquskerlem1  19490  ghmquskerlem3  19493  lactghmga  19612  invghm  20040  ghmplusg  20053  rhmopp  20752  srngadd  21101  islmhm2  21306  rhmpreimaidl  21564  cygznlem3  21868  psgnco  21882  evpmodpmf1o  21895  ipdir  21938  evlslem1  22384  evladdval  22405  mpfind  22417  evlsaddval  22431  evl1addd  22652  mdetralt  22916  cpmatacl  23027  mat2pmatghm  23041  ghmcnp  24427  ply1rem  26477  dchrptlem2  27585  abliso  33589  rhmimaidl  33975  r1pquslmic  34135  dimkerim  34252  zrhcntr  34604  qqhghm  34613  qqhrhm  34614  fldhmf1  43120  aks6d1c1p3  43140  aks6d1c5lem1  43166  aks6d1c5lem2  43168  aks5lem3a  43219  gicabl  44085