Theorem evl1subd 22335

Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s	⊢ − = (-g‘𝑃)
evl1subd.d	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22325	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmghm 20461	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10		ghmgrp1 19191	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
12		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
13	12	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
15	14	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
16		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
17		evl1subd.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	16, 17	grpsubcl 18994	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
19	11, 13, 15, 18	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
20		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))
21	16, 17, 20	ghmsub 19197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
22	9, 13, 15, 21	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
23		crngring 20224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		ringgrp 20217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
25	1, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
26	5	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
28		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
29	16, 28	rhmf 20462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	7, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31	30, 13	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32	30, 15	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		evl1subd.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)
34	4, 28, 33, 20	pwssub 19028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))) → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
35	25, 27, 31, 32, 34	syl22anc 844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
36	22, 35	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
37	36	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌))
38	4, 5, 28, 1, 27, 31	pwselbas 17450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
39	38	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
40	4, 5, 28, 1, 27, 32	pwselbas 17450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
41	40	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
42		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
43		fnfvof 7644	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
44	39, 41, 27, 42, 43	syl22anc 844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
45	12	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
46	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
47	45, 46	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
48	37, 44, 47	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
49	19, 48	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  Basecbs 17177   ↑_s cpws 17407  Grpcgrp 18907  -_gcsg 18909   GrpHom cghm 19185  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213   RingHom crh 20447  Poly₁cpl1 22169  eval₁ce1 22307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-evls 22057  df-evl 22058  df-psr1 22172  df-ply1 22174  df-evl1 22309

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26155  idomrootle  26163  lgsqrlem1  27334  evls1subd  33662  aks6d1c2lem4  42619  aks6d1c6lem2  42663  lineval  48892