Theorem evl1subd 22483

Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s	⊢ − = (-g‘𝑃)
evl1subd.d	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22473	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmghm 20566	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10		ghmgrp1 19289	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
12		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
13	12	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
15	14	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
16		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
17		evl1subd.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	16, 17	grpsubcl 19087	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
19	11, 13, 15, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))
21	16, 17, 20	ghmsub 19295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
22	9, 13, 15, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
23		crngring 20328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		ringgrp 20321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
25	1, 23, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
26	5	fvexi 6897	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
28		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
29	16, 28	rhmf 20567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	7, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31	30, 13	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32	30, 15	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		evl1subd.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)
34	4, 28, 33, 20	pwssub 19121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))) → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
35	25, 27, 31, 32, 34	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
36	22, 35	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
37	36	fveq1d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌))
38	4, 5, 28, 1, 27, 31	pwselbas 17543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
39	38	ffnd 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
40	4, 5, 28, 1, 27, 32	pwselbas 17543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
41	40	ffnd 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
42		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
43		fnfvof 7693	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
44	39, 41, 27, 42, 43	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
45	12	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
46	14	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
47	45, 46	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
48	37, 44, 47	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
49	19, 48	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  Basecbs 17270   ↑_s cpws 17500  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003   GrpHom cghm 19284  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317   RingHom crh 20552  Poly₁cpl1 22318  eval₁ce1 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-assa 21984  df-asp 21985  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-evls 22206  df-evl 22207  df-psr1 22321  df-ply1 22323  df-evl1 22457

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26303  idomrootle  26311  lgsqrlem1  27488  evls1subd  33840  aks6d1c2lem4  42872  aks6d1c6lem2  42916  lineval  49151