Theorem evl1subd 22539

Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s	⊢ − = (-g‘𝑃)
evl1subd.d	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22529	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmghm 20599	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10		ghmgrp1 19319	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
12		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
13	12	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
15	14	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
16		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
17		evl1subd.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	16, 17	grpsubcl 19117	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
19	11, 13, 15, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
20		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))
21	16, 17, 20	ghmsub 19325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
22	9, 13, 15, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
23		crngring 20358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		ringgrp 20351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
25	1, 23, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
26	5	fvexi 6902	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
28		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
29	16, 28	rhmf 20600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	7, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31	30, 13	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32	30, 15	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		evl1subd.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)
34	4, 28, 33, 20	pwssub 19151	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))) → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
35	25, 27, 31, 32, 34	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
36	22, 35	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
37	36	fveq1d 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌))
38	4, 5, 28, 1, 27, 31	pwselbas 17567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
39	38	ffnd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
40	4, 5, 28, 1, 27, 32	pwselbas 17567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
41	40	ffnd 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
42		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
43		fnfvof 7704	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
44	39, 41, 27, 42, 43	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
45	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
46	14	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
47	45, 46	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
48	37, 44, 47	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
49	19, 48	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685  Basecbs 17294   ↑_s cpws 17524  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033   GrpHom cghm 19314  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347   RingHom crh 20584  Poly₁cpl1 22374  eval₁ce1 22511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-cring 20349  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-assa 22040  df-asp 22041  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-evls 22262  df-evl 22263  df-psr1 22377  df-ply1 22379  df-evl1 22513

This theorem is used by:  ply1remlem  26359  idomrootle  26367  lgsqrlem1  27547  evls1subd  33893  aks6d1c2lem4  42935  aks6d1c6lem2  42979  lineval  49215