Theorem evl1subd 20505

Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s	⊢ − = (-g‘𝑃)
evl1subd.d	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 20495	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmghm 19477	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10		ghmgrp1 18360	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
12		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
13	12	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
15	14	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
16		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
17		evl1subd.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	16, 17	grpsubcl 18179	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
19	11, 13, 15, 18	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
20		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))
21	16, 17, 20	ghmsub 18366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
22	9, 13, 15, 21	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
23		crngring 19308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		ringgrp 19302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
25	1, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
26	5	fvexi 6684	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
28		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
29	16, 28	rhmf 19478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	7, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31	30, 13	ffvelrnd 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32	30, 15	ffvelrnd 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		evl1subd.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)
34	4, 28, 33, 20	pwssub 18213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))) → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
35	25, 27, 31, 32, 34	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
36	22, 35	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
37	36	fveq1d 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌))
38	4, 5, 28, 1, 27, 31	pwselbas 16762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
39	38	ffnd 6515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
40	4, 5, 28, 1, 27, 32	pwselbas 16762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
41	40	ffnd 6515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
42		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
43		fnfvof 7423	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
44	39, 41, 27, 42, 43	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
45	12	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
46	14	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
47	45, 46	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
48	37, 44, 47	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
49	19, 48	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  Basecbs 16483   ↑_s cpws 16720  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105   GrpHom cghm 18355  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298   RingHom crh 19464  Poly₁cpl1 20345  eval₁ce1 20477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-assa 20085  df-asp 20086  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-evls 20286  df-evl 20287  df-psr1 20348  df-ply1 20350  df-evl1 20479

This theorem is referenced by:  ply1remlem  24756  lgsqrlem1  25922  idomrootle  39844  lineval  44497