Theorem evl1subd 22463

Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s	⊢ − = (-g‘𝑃)
evl1subd.d	⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1subd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1addd.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		evl1addd.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
5		evl1addd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 22453	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		rhmghm 20556	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10		ghmgrp1 19279	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
12		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
13	12	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14		evl1addd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
15	14	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
16		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
17		evl1subd.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	16, 17	grpsubcl 19077	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
19	11, 13, 15, 18	syl3anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈)
20		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))
21	16, 17, 20	ghmsub 19285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑁 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
22	9, 13, 15, 21	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)))
23		crngring 20318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24		ringgrp 20311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
25	1, 23, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
26	5	fvexi 6885	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
28		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
29	16, 28	rhmf 20557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	7, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
31	30, 13	ffvelcdmd 7070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32	30, 15	ffvelcdmd 7070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		evl1subd.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (-g‘𝑅)
34	4, 28, 33, 20	pwssub 19111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) ∧ (𝑂‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))) → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
35	25, 27, 31, 32, 34	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)(-g‘(𝑅 ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
36	22, 35	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 − 𝑁)) = ((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁)))
37	36	fveq1d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌))
38	4, 5, 28, 1, 27, 31	pwselbas 17532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
39	38	ffnd 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) Fn 𝐵)
40	4, 5, 28, 1, 27, 32	pwselbas 17532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁):𝐵⟶𝐵)
41	40	ffnd 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵)
42		evl1addd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
43		fnfvof 7681	. . . 4 ⊢ ((((𝑂‘𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
44	39, 41, 27, 42, 43	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀) ∘f 𝐷(𝑂‘𝑁))‘𝑌) = (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)))
45	12	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
46	14	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
47	45, 46	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂‘𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
48	37, 44, 47	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
49	19, 48	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 − 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  Basecbs 17259   ↑_s cpws 17489  Grpcgrp 18990  -_gcsg 18992   GrpHom cghm 19274  Ringcrg 20306  CRingccrg 20307   RingHom crh 20542  Poly₁cpl1 22297  eval₁ce1 22435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-srg 20260  df-ring 20308  df-cring 20309  df-rhm 20545  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-assa 21963  df-asp 21964  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-evls 22185  df-evl 22186  df-psr1 22300  df-ply1 22302  df-evl1 22437

This theorem is referenced by:  ply1remlem  26283  idomrootle  26291  lgsqrlem1  27468  evls1subd  33779  aks6d1c2lem4  42756  aks6d1c6lem2  42800  lineval  49025