MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1subd 22266
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s = (-g𝑃)
evl1subd.d 𝐷 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1subd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 22256 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 20428 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 19177 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 493 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 493 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1subd.s . . . 4 = (-g𝑃)
1816, 17grpsubcl 18981 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2727 . . . . . . 7 (-g‘(𝑅s 𝐵)) = (-g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmsub 19183 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 crngring 20190 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 ringgrp 20183 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
251, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
265fvexi 6914 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
28 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
2916, 28rhmf 20429 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
307, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
3130, 13ffvelcdmd 7098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
3230, 15ffvelcdmd 7098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
33 evl1subd.d . . . . . . 7 𝐷 = (-g𝑅)
344, 28, 33, 20pwssub 19015 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)) ∧ (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))) → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁)))
3525, 27, 31, 32, 34syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁)))
3622, 35eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁)))
3736fveq1d 6902 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌))
384, 5, 28, 1, 27, 31pwselbas 17476 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3938ffnd 6726 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
404, 5, 28, 1, 27, 32pwselbas 17476 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
4140ffnd 6726 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
42 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
43 fnfvof 7706 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4439, 41, 27, 42, 43syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4512simprd 494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4614simprd 494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4745, 46oveq12d 7442 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
4837, 44, 473eqtrd 2771 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
4919, 48jca 510 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3471   Fn wfn 6546  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  f cof 7687  Basecbs 17185  s cpws 17433  Grpcgrp 18895  -gcsg 18897   GrpHom cghm 19172  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179   RingHom crh 20413  Poly1cpl1 22101  eval1ce1 22238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-evls 22023  df-evl 22024  df-psr1 22104  df-ply1 22106  df-evl1 22240
This theorem is referenced by:  ply1remlem  26117  idomrootle  26125  lgsqrlem1  27297  evls1subd  33261  aks6d1c2lem4  41602  aks6d1c6lem2  41647  lineval  47513
  Copyright terms: Public domain W3C validator