MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1subd 20497
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s = (-g𝑃)
evl1subd.d 𝐷 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1subd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2819 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 20487 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 19469 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 18352 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 497 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 497 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1subd.s . . . 4 = (-g𝑃)
1816, 17grpsubcl 18171 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2819 . . . . . . 7 (-g‘(𝑅s 𝐵)) = (-g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmsub 18358 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 crngring 19300 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 ringgrp 19294 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
251, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
265fvexi 6677 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
28 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
2916, 28rhmf 19470 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
307, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
3130, 13ffvelrnd 6845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
3230, 15ffvelrnd 6845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
33 evl1subd.d . . . . . . 7 𝐷 = (-g𝑅)
344, 28, 33, 20pwssub 18205 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)) ∧ (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))) → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁)))
3525, 27, 31, 32, 34syl22anc 836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁)))
3622, 35eqtrd 2854 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁)))
3736fveq1d 6665 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌))
384, 5, 28, 1, 27, 31pwselbas 16754 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3938ffnd 6508 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
404, 5, 28, 1, 27, 32pwselbas 16754 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
4140ffnd 6508 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
42 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
43 fnfvof 7415 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4439, 41, 27, 42, 43syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘f 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4512simprd 498 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4614simprd 498 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4745, 46oveq12d 7166 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
4837, 44, 473eqtrd 2858 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
4919, 48jca 514 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3493   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  f cof 7399  Basecbs 16475  s cpws 16712  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097   GrpHom cghm 18347  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290   RingHom crh 19456  Poly1cpl1 20337  eval1ce1 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-srg 19248  df-ring 19291  df-cring 19292  df-rnghom 19459  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-assa 20077  df-asp 20078  df-ascl 20079  df-psr 20128  df-mvr 20129  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-evls 20278  df-evl 20279  df-psr1 20340  df-ply1 20342  df-evl1 20471
This theorem is referenced by:  ply1remlem  24748  lgsqrlem1  25914  idomrootle  39780  lineval  44433
  Copyright terms: Public domain W3C validator