MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1subd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1subd 20024
Description: Polynomial evaluation builder for subtraction of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1subd.s = (-g𝑃)
evl1subd.d 𝐷 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1subd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))

Proof of Theorem evl1subd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 20014 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 19039 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 17971 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 489 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 489 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1subd.s . . . 4 = (-g𝑃)
1816, 17grpsubcl 17807 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1491 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2797 . . . . . . 7 (-g‘(𝑅s 𝐵)) = (-g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmsub 17977 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1491 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 crngring 18870 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 ringgrp 18864 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
251, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
265fvexi 6423 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
28 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
2916, 28rhmf 19040 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
307, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
3130, 13ffvelrnd 6584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
3230, 15ffvelrnd 6584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
33 evl1subd.d . . . . . . 7 𝐷 = (-g𝑅)
344, 28, 33, 20pwssub 17841 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ((𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)) ∧ (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))) → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁)))
3525, 27, 31, 32, 34syl22anc 868 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(-g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁)))
3622, 35eqtrd 2831 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁)))
3736fveq1d 6411 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌))
384, 5, 28, 1, 27, 31pwselbas 16460 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3938ffnd 6255 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
404, 5, 28, 1, 27, 32pwselbas 16460 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
4140ffnd 6255 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
42 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
43 fnfvof 7143 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4439, 41, 27, 42, 43syl22anc 868 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘𝑓 𝐷(𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4512simprd 490 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4614simprd 490 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4745, 46oveq12d 6894 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌)𝐷((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉𝐷𝑊))
4837, 44, 473eqtrd 2835 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊))
4919, 48jca 508 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉𝐷𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383   Fn wfn 6094  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑓 cof 7127  Basecbs 16180  s cpws 16418  Grpcgrp 17734  -gcsg 17736   GrpHom cghm 17966  Ringcrg 18859  CRingccrg 18860   RingHom crh 19026  Poly1cpl1 19865  eval1ce1 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-struct 16182  df-ndx 16183  df-slot 16184  df-base 16186  df-sets 16187  df-ress 16188  df-plusg 16276  df-mulr 16277  df-sca 16279  df-vsca 16280  df-ip 16281  df-tset 16282  df-ple 16283  df-ds 16285  df-hom 16287  df-cco 16288  df-0g 16413  df-gsum 16414  df-prds 16419  df-pws 16421  df-mre 16557  df-mrc 16558  df-acs 16560  df-mgm 17553  df-sgrp 17595  df-mnd 17606  df-mhm 17646  df-submnd 17647  df-grp 17737  df-minusg 17738  df-sbg 17739  df-mulg 17853  df-subg 17900  df-ghm 17967  df-cntz 18058  df-cmn 18506  df-abl 18507  df-mgp 18802  df-ur 18814  df-srg 18818  df-ring 18861  df-cring 18862  df-rnghom 19029  df-subrg 19092  df-lmod 19179  df-lss 19247  df-lsp 19289  df-assa 19631  df-asp 19632  df-ascl 19633  df-psr 19675  df-mvr 19676  df-mpl 19677  df-opsr 19679  df-evls 19824  df-evl 19825  df-psr1 19868  df-ply1 19870  df-evl1 19999
This theorem is referenced by:  ply1remlem  24259  lgsqrlem1  25419  idomrootle  38545  lineval  42968
  Copyright terms: Public domain W3C validator