Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ttac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttac 41760
Description: Tarski's theorem about choice: infxpidm 10553 is equivalent to ax-ac 10450. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttac (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))

Proof of Theorem ttac
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 10128 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 vex 3478 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
3 eleq2 2822 . . . . . 6 (dom card = V β†’ (𝑐 ∈ dom card ↔ 𝑐 ∈ V))
42, 3mpbiri 257 . . . . 5 (dom card = V β†’ 𝑐 ∈ dom card)
5 infxpidm2 10008 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ dom card ∧ Ο‰ β‰Ό 𝑐) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐)
65ex 413 . . . . 5 (𝑐 ∈ dom card β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
74, 6syl 17 . . . 4 (dom card = V β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
87alrimiv 1930 . . 3 (dom card = V β†’ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
9 finnum 9939 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ Fin β†’ π‘Ž ∈ dom card)
109adantl 482 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
11 harcl 9550 . . . . . . . . 9 (harβ€˜π‘Ž) ∈ On
12 onenon 9940 . . . . . . . . 9 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ On β†’ (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card
14 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) ∈ V
15 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
1614, 15unex 7729 . . . . . . . . . . . . 13 ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V
17 harinf 41758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ V ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
1815, 17mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
19 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
2018, 19sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
21 ssdomg 8992 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ (Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2216, 20, 21mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
23 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 ↔ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
24 xpeq12 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2524anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
26 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
2725, 26breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐 ↔ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2823, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ↔ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))))
2916, 28spcv 3595 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3022, 29syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3130imp 407 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
32 harndom 9553 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
33 ssdomg 8992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3416, 19, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13 (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
35 domtr 8999 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3634, 35mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3732, 36mto 196 . . . . . . . . . . 11 Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
38 unxpwdom2 9579 . . . . . . . . . . 11 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž))
39 orel2 889 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž)))
4037, 38, 39mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
4131, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
42 wdomnumr 10055 . . . . . . . . . 10 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)))
4313, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
4441, 43sylib 217 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
45 numdom 10029 . . . . . . . 8 (((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
4613, 44, 45sylancr 587 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
47 ssun2 4172 . . . . . . 7 π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
48 ssnum 10030 . . . . . . 7 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card ∧ π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5010, 49pm2.61dan 811 . . . . 5 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5150alrimiv 1930 . . . 4 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
52 eqv 3483 . . . 4 (dom card = V ↔ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
5351, 52sylibr 233 . . 3 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ dom card = V)
548, 53impbii 208 . 2 (dom card = V ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
551, 54bitri 274 1 (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  Oncon0 6361  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933  Fincfn 8935  harchar 9547   β‰Ό* cwdom 9555  cardccrd 9926  CHOICEwac 10106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-har 9548  df-wdom 9556  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator