Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ttac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttac 41403
Description: Tarski's theorem about choice: infxpidm 10503 is equivalent to ax-ac 10400. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttac (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))

Proof of Theorem ttac
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 10078 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 vex 3448 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
3 eleq2 2823 . . . . . 6 (dom card = V β†’ (𝑐 ∈ dom card ↔ 𝑐 ∈ V))
42, 3mpbiri 258 . . . . 5 (dom card = V β†’ 𝑐 ∈ dom card)
5 infxpidm2 9958 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ dom card ∧ Ο‰ β‰Ό 𝑐) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐)
65ex 414 . . . . 5 (𝑐 ∈ dom card β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
74, 6syl 17 . . . 4 (dom card = V β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
87alrimiv 1931 . . 3 (dom card = V β†’ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
9 finnum 9889 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ Fin β†’ π‘Ž ∈ dom card)
109adantl 483 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
11 harcl 9500 . . . . . . . . 9 (harβ€˜π‘Ž) ∈ On
12 onenon 9890 . . . . . . . . 9 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ On β†’ (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card
14 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) ∈ V
15 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
1614, 15unex 7681 . . . . . . . . . . . . 13 ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V
17 harinf 41401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ V ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
1815, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
19 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
2018, 19sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
21 ssdomg 8943 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ (Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2216, 20, 21mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
23 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 ↔ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
24 xpeq12 5659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2524anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
26 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
2725, 26breq12d 5119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐 ↔ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2823, 27imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ↔ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))))
2916, 28spcv 3563 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3022, 29syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3130imp 408 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
32 harndom 9503 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
33 ssdomg 8943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3416, 19, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13 (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
35 domtr 8950 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3634, 35mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3732, 36mto 196 . . . . . . . . . . 11 Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
38 unxpwdom2 9529 . . . . . . . . . . 11 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž))
39 orel2 890 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž)))
4037, 38, 39mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
4131, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
42 wdomnumr 10005 . . . . . . . . . 10 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)))
4313, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
4441, 43sylib 217 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
45 numdom 9979 . . . . . . . 8 (((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
4613, 44, 45sylancr 588 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
47 ssun2 4134 . . . . . . 7 π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
48 ssnum 9980 . . . . . . 7 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card ∧ π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
4946, 47, 48sylancl 587 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5010, 49pm2.61dan 812 . . . . 5 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5150alrimiv 1931 . . . 4 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
52 eqv 3453 . . . 4 (dom card = V ↔ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
5351, 52sylibr 233 . . 3 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ dom card = V)
548, 53impbii 208 . 2 (dom card = V ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
551, 54bitri 275 1 (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  Oncon0 6318  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8883   β‰Ό cdom 8884  Fincfn 8886  harchar 9497   β‰Ό* cwdom 9505  cardccrd 9876  CHOICEwac 10056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-har 9498  df-wdom 9506  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator