Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ttac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttac 42451
Description: Tarski's theorem about choice: infxpidm 10579 is equivalent to ax-ac 10476. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttac (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))

Proof of Theorem ttac
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 10154 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 vex 3474 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
3 eleq2 2818 . . . . . 6 (dom card = V β†’ (𝑐 ∈ dom card ↔ 𝑐 ∈ V))
42, 3mpbiri 258 . . . . 5 (dom card = V β†’ 𝑐 ∈ dom card)
5 infxpidm2 10034 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ dom card ∧ Ο‰ β‰Ό 𝑐) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐)
65ex 412 . . . . 5 (𝑐 ∈ dom card β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
74, 6syl 17 . . . 4 (dom card = V β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
87alrimiv 1923 . . 3 (dom card = V β†’ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
9 finnum 9965 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ Fin β†’ π‘Ž ∈ dom card)
109adantl 481 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
11 harcl 9576 . . . . . . . . 9 (harβ€˜π‘Ž) ∈ On
12 onenon 9966 . . . . . . . . 9 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ On β†’ (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card
14 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) ∈ V
15 vex 3474 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
1614, 15unex 7742 . . . . . . . . . . . . 13 ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V
17 harinf 42449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ V ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
1815, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
19 ssun1 4168 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
2018, 19sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
21 ssdomg 9014 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ (Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2216, 20, 21mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
23 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 ↔ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
24 xpeq12 5697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2524anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
26 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
2725, 26breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐 ↔ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2823, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ↔ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))))
2916, 28spcv 3591 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3022, 29syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3130imp 406 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
32 harndom 9579 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
33 ssdomg 9014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3416, 19, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13 (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
35 domtr 9021 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3634, 35mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3732, 36mto 196 . . . . . . . . . . 11 Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
38 unxpwdom2 9605 . . . . . . . . . . 11 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž))
39 orel2 889 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž)))
4037, 38, 39mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
4131, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
42 wdomnumr 10081 . . . . . . . . . 10 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)))
4313, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
4441, 43sylib 217 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
45 numdom 10055 . . . . . . . 8 (((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
4613, 44, 45sylancr 586 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
47 ssun2 4169 . . . . . . 7 π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
48 ssnum 10056 . . . . . . 7 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card ∧ π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
4946, 47, 48sylancl 585 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5010, 49pm2.61dan 812 . . . . 5 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5150alrimiv 1923 . . . 4 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
52 eqv 3479 . . . 4 (dom card = V ↔ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
5351, 52sylibr 233 . . 3 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ dom card = V)
548, 53impbii 208 . 2 (dom card = V ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
551, 54bitri 275 1 (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846  βˆ€wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   βˆͺ cun 3943   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  Oncon0 6363  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7864   β‰ˆ cen 8954   β‰Ό cdom 8955  Fincfn 8957  harchar 9573   β‰Ό* cwdom 9581  cardccrd 9952  CHOICEwac 10132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9527  df-har 9574  df-wdom 9582  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator