Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ttac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttac 42325
Description: Tarski's theorem about choice: infxpidm 10554 is equivalent to ax-ac 10451. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttac (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))

Proof of Theorem ttac
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 10129 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 vex 3470 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
3 eleq2 2814 . . . . . 6 (dom card = V β†’ (𝑐 ∈ dom card ↔ 𝑐 ∈ V))
42, 3mpbiri 258 . . . . 5 (dom card = V β†’ 𝑐 ∈ dom card)
5 infxpidm2 10009 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ dom card ∧ Ο‰ β‰Ό 𝑐) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐)
65ex 412 . . . . 5 (𝑐 ∈ dom card β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
74, 6syl 17 . . . 4 (dom card = V β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
87alrimiv 1922 . . 3 (dom card = V β†’ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
9 finnum 9940 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ Fin β†’ π‘Ž ∈ dom card)
109adantl 481 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
11 harcl 9551 . . . . . . . . 9 (harβ€˜π‘Ž) ∈ On
12 onenon 9941 . . . . . . . . 9 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ On β†’ (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card
14 fvex 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) ∈ V
15 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
1614, 15unex 7727 . . . . . . . . . . . . 13 ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V
17 harinf 42323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ V ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
1815, 17mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† (harβ€˜π‘Ž))
19 ssun1 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 (harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
2018, 19sstrdi 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
21 ssdomg 8993 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ (Ο‰ βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2216, 20, 21mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
23 breq2 5143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (Ο‰ β‰Ό 𝑐 ↔ Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
24 xpeq12 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2524anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) = (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
26 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ 𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
2725, 26breq12d 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐 ↔ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
2823, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ↔ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))))
2916, 28spcv 3587 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Ο‰ β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3022, 29syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ (Β¬ π‘Ž ∈ Fin β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3130imp 406 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž))
32 harndom 9554 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
33 ssdomg 8993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ V β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)))
3416, 19, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13 (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
35 domtr 9000 . . . . . . . . . . . . 13 (((harβ€˜π‘Ž) β‰Ό ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3634, 35mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ (harβ€˜π‘Ž) β‰Ό π‘Ž)
3732, 36mto 196 . . . . . . . . . . 11 Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž
38 unxpwdom2 9580 . . . . . . . . . . 11 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž))
39 orel2 887 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž β†’ ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ∨ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž)))
4037, 38, 39mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) Γ— ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β‰ˆ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
4131, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž))
42 wdomnumr 10056 . . . . . . . . . 10 ((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card β†’ (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)))
4313, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό* (harβ€˜π‘Ž) ↔ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
4441, 43sylib 217 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž))
45 numdom 10030 . . . . . . . 8 (((harβ€˜π‘Ž) ∈ dom card ∧ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) β‰Ό (harβ€˜π‘Ž)) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
4613, 44, 45sylancr 586 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card)
47 ssun2 4166 . . . . . . 7 π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)
48 ssnum 10031 . . . . . . 7 ((((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž) ∈ dom card ∧ π‘Ž βŠ† ((harβ€˜π‘Ž) βˆͺ π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
4946, 47, 48sylancl 585 . . . . . 6 ((βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) ∧ Β¬ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5010, 49pm2.61dan 810 . . . . 5 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
5150alrimiv 1922 . . . 4 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
52 eqv 3475 . . . 4 (dom card = V ↔ βˆ€π‘Ž π‘Ž ∈ dom card)
5351, 52sylibr 233 . . 3 (βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐) β†’ dom card = V)
548, 53impbii 208 . 2 (dom card = V ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
551, 54bitri 275 1 (CHOICE ↔ βˆ€π‘(Ο‰ β‰Ό 𝑐 β†’ (𝑐 Γ— 𝑐) β‰ˆ 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667  Oncon0 6355  β€˜cfv 6534  Ο‰com 7849   β‰ˆ cen 8933   β‰Ό cdom 8934  Fincfn 8936  harchar 9548   β‰Ό* cwdom 9556  cardccrd 9927  CHOICEwac 10107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-har 9549  df-wdom 9557  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator