HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2b 32291
Description: Lemma for cdj3i 32295. The first-component function ๐‘† is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘†,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3lem2.2 . . 3 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
31, 2cdj3lem1 32288 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹)
41, 2shseli 31170 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
54biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
6 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
76oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
8 fvoveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
98oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
107, 9breq12d 5156 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
1211oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
13 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
1413fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
1514oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
1612, 15breq12d 5156 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
1710, 16rspc2v 3612 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
18 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
191, 2, 18cdj3lem2 32289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
20193expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
2120fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
2221ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
232sheli 31068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„‹)
24 normge0 30980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
271sheli 31068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
28 normcl 30979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
30 normcl 30979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
32 addge01 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3329, 31, 32syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3426, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3629ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
37 readdcl 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3829, 31, 37syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
40 hvaddcl 30866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง โ„Ž โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
4127, 23, 40syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
42 normcl 30979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
44 remulcl 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4543, 44sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4645ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
47 letr 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4836, 39, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4935, 48mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5049imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5150an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5251adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5322, 52eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
54 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
5655oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5754, 56breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5853, 57syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
5958exp31 418 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6017, 59syld 47 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6160com14 96 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6261com4t 93 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6362rexlimdvv 3201 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
645, 63syl5com 31 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6564com3l 89 . . . . 5 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6665ralrimdv 3142 . . . 4 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6766anim2d 610 . . 3 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6867reximdva 3158 . 2 ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
693, 68mpcom 38 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   โˆฉ cin 3938   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  โ„ฉcrio 7371  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โ„‹chba 30773   +โ„Ž cva 30774  normโ„Žcno 30777   Sโ„‹ csh 30782   +โ„‹ cph 30785  0โ„‹c0h 30789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr1 30862  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his3 30938  ax-his4 30939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-grpo 30347  df-ablo 30399  df-hnorm 30822  df-hvsub 30825  df-sh 31061  df-ch0 31107  df-shs 31162
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  32294  cdj3i  32295
  Copyright terms: Public domain W3C validator