HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2b 31690
Description: Lemma for cdj3i 31694. The first-component function ๐‘† is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘†,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3lem2.2 . . 3 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
31, 2cdj3lem1 31687 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹)
41, 2shseli 30569 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
54biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
6 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
76oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
8 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
98oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
107, 9breq12d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
1211oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
13 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
1413fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
1514oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
1612, 15breq12d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
1710, 16rspc2v 3623 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
18 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
191, 2, 18cdj3lem2 31688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
20193expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
2120fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
2221ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
232sheli 30467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„‹)
24 normge0 30379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
271sheli 30467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
28 normcl 30378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
30 normcl 30378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
32 addge01 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3329, 31, 32syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3426, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3629ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
37 readdcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3829, 31, 37syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
40 hvaddcl 30265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง โ„Ž โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
4127, 23, 40syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
42 normcl 30378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
44 remulcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4543, 44sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4645ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
47 letr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4836, 39, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4935, 48mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5049imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5150an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5251adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5322, 52eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
54 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
5655oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5754, 56breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5853, 57syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
5958exp31 421 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6017, 59syld 47 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6160com14 96 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6261com4t 93 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6362rexlimdvv 3211 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
645, 63syl5com 31 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6564com3l 89 . . . . 5 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6665ralrimdv 3153 . . . 4 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6766anim2d 613 . . 3 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6867reximdva 3169 . 2 ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
693, 68mpcom 38 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   โˆฉ cin 3948   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  โ„ฉcrio 7364  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173  normโ„Žcno 30176   Sโ„‹ csh 30181   +โ„‹ cph 30184  0โ„‹c0h 30188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-ablo 29798  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224  df-sh 30460  df-ch0 30506  df-shs 30561
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  31693  cdj3i  31694
  Copyright terms: Public domain W3C validator