HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2b 32199
Description: Lemma for cdj3i 32203. The first-component function ๐‘† is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘†,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3lem2.2 . . 3 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
31, 2cdj3lem1 32196 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹)
41, 2shseli 31078 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
54biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
6 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
76oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
8 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
98oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
107, 9breq12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
11 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
1211oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
13 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
1413fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
1514oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
1612, 15breq12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
1710, 16rspc2v 3617 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
18 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
191, 2, 18cdj3lem2 32197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
20193expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
2120fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
2221ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
232sheli 30976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„‹)
24 normge0 30888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
271sheli 30976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
28 normcl 30887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
30 normcl 30887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
32 addge01 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3329, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3426, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3629ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
37 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3829, 31, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
40 hvaddcl 30774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง โ„Ž โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
4127, 23, 40syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
42 normcl 30887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
44 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4543, 44sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4645ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
47 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4836, 39, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4935, 48mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5049imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5150an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5251adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5322, 52eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
54 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
55 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
5655oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5754, 56breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5853, 57syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
5958exp31 419 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6017, 59syld 47 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6160com14 96 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6261com4t 93 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6362rexlimdvv 3204 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
645, 63syl5com 31 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6564com3l 89 . . . . 5 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6665ralrimdv 3146 . . . 4 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6766anim2d 611 . . 3 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6867reximdva 3162 . 2 ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
693, 68mpcom 38 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โˆฉ cin 3942   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  โ„ฉcrio 7360  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682  normโ„Žcno 30685   Sโ„‹ csh 30690   +โ„‹ cph 30693  0โ„‹c0h 30697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his3 30846  ax-his4 30847
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30255  df-ablo 30307  df-hnorm 30730  df-hvsub 30733  df-sh 30969  df-ch0 31015  df-shs 31070
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  32202  cdj3i  32203
  Copyright terms: Public domain W3C validator