HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem2b 31957
Description: Lemma for cdj3i 31961. The first-component function ๐‘† is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘†,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3lem2.2 . . 3 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
31, 2cdj3lem1 31954 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹)
41, 2shseli 30836 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
54biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
6 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
76oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
8 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
98oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
107, 9breq12d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
11 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
1211oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
13 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
1413fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
1514oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
1612, 15breq12d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
1710, 16rspc2v 3621 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
18 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
191, 2, 18cdj3lem2 31955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
20193expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
2120fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
2221ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
232sheli 30734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„‹)
24 normge0 30646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
271sheli 30734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
28 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ก โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
30 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
32 addge01 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3329, 31, 32syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž))))
3426, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
3629ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
37 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3829, 31, 37syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„)
40 hvaddcl 30532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง โ„Ž โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
4127, 23, 40syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
42 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
44 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4543, 44sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
4645ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
47 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4836, 39, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4935, 48mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5049imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5150an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5251adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5322, 52eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
54 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
55 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
5655oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5754, 56breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5853, 57syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โˆง ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
5958exp31 418 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6017, 59syld 47 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6160com14 96 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6261com4t 93 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))))
6362rexlimdvv 3208 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆƒโ„Ž โˆˆ ๐ต ๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
645, 63syl5com 31 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6564com3l 89 . . . . 5 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6665ralrimdv 3150 . . . 4 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6766anim2d 610 . . 3 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
6867reximdva 3166 . 2 ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
693, 68mpcom 38 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   โˆฉ cin 3946   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  โ„ฉcrio 7366  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440  normโ„Žcno 30443   Sโ„‹ csh 30448   +โ„‹ cph 30451  0โ„‹c0h 30455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-ablo 30065  df-hnorm 30488  df-hvsub 30491  df-sh 30727  df-ch0 30773  df-shs 30828
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  31960  cdj3i  31961
  Copyright terms: Public domain W3C validator