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Theorem cdj3lem2b 30518
Description: Lemma for cdj3i 30522. The first-component function 𝑆 is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 𝐴S
cdj3lem2.2 𝐵S
cdj3lem2.3 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem2b (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝑆,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem2b
Dummy variables 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.1 . . 3 𝐴S
2 cdj3lem2.2 . . 3 𝐵S
31, 2cdj3lem1 30515 . 2 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → (𝐴𝐵) = 0)
41, 2shseli 29397 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑡𝐴𝐵 𝑢 = (𝑡 + ))
54biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵) → ∃𝑡𝐴𝐵 𝑢 = (𝑡 + ))
6 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (norm𝑥) = (norm𝑡))
76oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑡 → ((norm𝑥) + (norm𝑦)) = ((norm𝑡) + (norm𝑦)))
8 fvoveq1 7236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑡 + 𝑦)))
98oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑡 → (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) = (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦))))
107, 9breq12d 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑡 → (((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) ↔ ((norm𝑡) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦)))))
11 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = → (norm𝑦) = (norm))
1211oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = → ((norm𝑡) + (norm𝑦)) = ((norm𝑡) + (norm)))
13 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = → (𝑡 + 𝑦) = (𝑡 + ))
1413fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = → (norm‘(𝑡 + 𝑦)) = (norm‘(𝑡 + )))
1514oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = → (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦))) = (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
1612, 15breq12d 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = → (((norm𝑡) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦))) ↔ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
1710, 16rspc2v 3547 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
18 cdj3lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
191, 2, 18cdj3lem2 30516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝑡 + )) = 𝑡)
20193expa 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝑡 + )) = 𝑡)
2120fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) = (norm𝑡))
2221ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑡𝐴𝐵) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) ∧ ((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ)) → (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) = (norm𝑡))
232sheli 29295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℋ)
24 normge0 29207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ∈ ℋ → 0 ≤ (norm))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 → 0 ≤ (norm))
2625adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡𝐴𝐵) → 0 ≤ (norm))
271sheli 29295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡𝐴𝑡 ∈ ℋ)
28 normcl 29206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℋ → (norm𝑡) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡𝐴 → (norm𝑡) ∈ ℝ)
30 normcl 29206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ∈ ℋ → (norm) ∈ ℝ)
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 → (norm) ∈ ℝ)
32 addge01 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((norm𝑡) ∈ ℝ ∧ (norm) ∈ ℝ) → (0 ≤ (norm) ↔ (norm𝑡) ≤ ((norm𝑡) + (norm))))
3329, 31, 32syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡𝐴𝐵) → (0 ≤ (norm) ↔ (norm𝑡) ≤ ((norm𝑡) + (norm))))
3426, 33mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡𝐴𝐵) → (norm𝑡) ≤ ((norm𝑡) + (norm)))
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (norm𝑡) ≤ ((norm𝑡) + (norm)))
3629ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (norm𝑡) ∈ ℝ)
37 readdcl 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((norm𝑡) ∈ ℝ ∧ (norm) ∈ ℝ) → ((norm𝑡) + (norm)) ∈ ℝ)
3829, 31, 37syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡𝐴𝐵) → ((norm𝑡) + (norm)) ∈ ℝ)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((norm𝑡) + (norm)) ∈ ℝ)
40 hvaddcl 29093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ ℋ ∧ ∈ ℋ) → (𝑡 + ) ∈ ℋ)
4127, 23, 40syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡𝐴𝐵) → (𝑡 + ) ∈ ℋ)
42 normcl 29206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 + ) ∈ ℋ → (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡𝐴𝐵) → (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ)
44 remulcl 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ) → (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
4543, 44sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
4645ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
47 letr 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((norm𝑡) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ∈ ℝ ∧ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ) → (((norm𝑡) ≤ ((norm𝑡) + (norm)) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) → (norm𝑡) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
4836, 39, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((norm𝑡) ≤ ((norm𝑡) + (norm)) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) → (norm𝑡) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
4935, 48mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) → (norm𝑡) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
5049imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑡𝐴𝐵) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) → (norm𝑡) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
5150an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑡𝐴𝐵) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (norm𝑡) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
5251adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑡𝐴𝐵) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) ∧ ((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ)) → (norm𝑡) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
5322, 52eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑡𝐴𝐵) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) ∧ ((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ)) → (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
54 2fveq3 6722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm‘(𝑆𝑢)) = (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))))
55 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm𝑢) = (norm‘(𝑡 + )))
5655oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑡 + ) → (𝑣 · (norm𝑢)) = (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
5754, 56breq12d 5066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑡 + ) → ((norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)) ↔ (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
5853, 57syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑡𝐴𝐵) ∧ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))) ∧ ((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ)) → (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
5958exp31 423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡𝐴𝐵) → (((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) → (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))))
6017, 59syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))))
6160com14 96 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑡 + ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴𝐵) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))))
6261com4t 93 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑡𝐴𝐵) → (𝑢 = (𝑡 + ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))))
6362rexlimdvv 3212 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑡𝐴𝐵 𝑢 = (𝑡 + ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)))))
645, 63syl5com 31 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)))))
6564com3l 89 . . . . 5 (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → (𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)))))
6665ralrimdv 3109 . . . 4 (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) → ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
6766anim2d 615 . . 3 (((𝐴𝐵) = 0𝑣 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)))))
6867reximdva 3193 . 2 ((𝐴𝐵) = 0 → (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)))))
693, 68mpcom 38 1 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  cin 3865   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cfv 6380  crio 7169  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  chba 29000   + cva 29001  normcno 29004   S csh 29009   + cph 29012  0c0h 29016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his3 29165  ax-his4 29166
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-grpo 28574  df-ablo 28626  df-hnorm 29049  df-hvsub 29052  df-sh 29288  df-ch0 29334  df-shs 29389
This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  30521  cdj3i  30522
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