Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpyc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpyc 28935
 Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpyc ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (norm𝐴) ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵))))

Proof of Theorem normpyc
StepHypRef Expression
1 normcl 28914 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
21resqcld 13616 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴)↑2) ∈ ℝ)
32recnd 10667 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴)↑2) ∈ ℂ)
43addid1d 10838 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (((norm𝐴)↑2) + 0) = ((norm𝐴)↑2))
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm𝐴)↑2) + 0) = ((norm𝐴)↑2))
6 normcl 28914 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) ∈ ℝ)
76sqge0d 13617 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ ((norm𝐵)↑2))
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((norm𝐵)↑2))
96resqcld 13616 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℋ → ((norm𝐵)↑2) ∈ ℝ)
10 0re 10641 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
11 leadd2 11107 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ ((norm𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm𝐵)↑2) ↔ (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
1210, 11mp3an1 1445 . . . . . . . 8 ((((norm𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm𝐵)↑2) ↔ (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
139, 2, 12syl2anr 599 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((norm𝐵)↑2) ↔ (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
148, 13mpbid 235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm𝐴)↑2) + 0) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
155, 14eqbrtrrd 5076 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((norm𝐴)↑2) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
1615adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((norm𝐴)↑2) ≤ (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
17 normpyth 28934 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2))))
1817imp 410 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
1916, 18breqtrrd 5080 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((norm𝐴)↑2) ≤ ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
2019ex 416 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm𝐴)↑2) ≤ ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
211adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
22 hvaddcl 28801 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
23 normcl 28914 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
25 normge0 28915 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝐴))
2625adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (norm𝐴))
27 normge0 28915 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵)))
2822, 27syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵)))
2921, 24, 26, 28le2sqd 13625 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((norm𝐴) ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ↔ ((norm𝐴)↑2) ≤ ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
3020, 29sylibrd 262 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (norm𝐴) ≤ (norm‘(𝐴 + 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535   + caddc 10538   ≤ cle 10674  2c2 11689  ↑cexp 13434   ℋchba 28708   +ℎ cva 28709   ·ih csp 28711  normℎcno 28712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-hfvadd 28789  ax-hv0cl 28792  ax-hvmul0 28799  ax-hfi 28868  ax-his1 28871  ax-his2 28872  ax-his3 28873  ax-his4 28874 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-hnorm 28757 This theorem is referenced by:  pjnormi  29510
 Copyright terms: Public domain W3C validator