Theorem normpyc 31730

Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpyc	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (normℎ‘𝐴) ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))

Proof of Theorem normpyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
4	3	addridd 11491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
6		normcl 31709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ)
7	6	sqge0d 14260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2))
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2))
9	6	resqcld 14248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
10		0re 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		leadd2 11766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2) ↔ (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
12	10, 11	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2) ↔ (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
13	9, 2, 12	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2) ↔ (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
14	8, 13	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
15	5, 14	eqbrtrrd 5129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
17		normpyth 31729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
18	17	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
19	16, 18	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2))
20	19	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)))
21	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
22		hvaddcl 31596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
23		normcl 31709	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
25		normge0 31710	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
27		normge0 31710	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
28	22, 27	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
29	21, 24, 26, 28	le2sqd 14381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴) ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)))
30	20, 29	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (normℎ‘𝐴) ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   ≤ cle 11325  2c2 12378  ↑cexp 14184   ℋchba 31503   +_ℎ cva 31504   ·_ih csp 31506  norm_ℎcno 31507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-hfvadd 31584  ax-hv0cl 31587  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-hnorm 31552

This theorem is used by:  pjnormi  32305