Theorem normpyc 31635

Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpyc	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (normℎ‘𝐴) ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))

Proof of Theorem normpyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
4	3	addridd 11438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) = ((normℎ‘𝐴)↑2))
6		normcl 31614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) ∈ ℝ)
7	6	sqge0d 14205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2))
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2))
9	6	resqcld 14193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
10		0re 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		leadd2 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2) ↔ (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
12	10, 11	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((normℎ‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2) ↔ (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
13	9, 2, 12	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 ≤ ((normℎ‘𝐵)↑2) ↔ (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
14	8, 13	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + 0) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
15	5, 14	eqbrtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
17		normpyth 31634	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
18	17	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
19	16, 18	breqtrrd 5137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0) → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2))
20	19	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)))
21	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
22		hvaddcl 31501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
23		normcl 31614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
25		normge0 31615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
27		normge0 31615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
28	22, 27	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
29	21, 24, 26, 28	le2sqd 14325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝐴) ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) ↔ ((normℎ‘𝐴)↑2) ≤ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2)))
30	20, 29	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (normℎ‘𝐴) ≤ (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   + caddc 11131   ≤ cle 11272  2c2 12323  ↑cexp 14129   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409   ·_ih csp 31411  norm_ℎcno 31412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-hfvadd 31489  ax-hv0cl 31492  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-hnorm 31457

This theorem is used by:  pjnormi  32210