Theorem hvaddsub4 31680

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 31614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3		hvaddcl 31614	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31614	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	5	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	6	ad2ant2lr 761	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		hvsubcan2 31677	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
10		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11	10	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
12	11	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13		hvsub4 31639	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
14	12, 13	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
15		hvsubid 31628	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
16	15	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
17	16	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ))
18		hvsubcl 31619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 31606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
21	20	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
22	14, 17, 21	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
23	22	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
24		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
25	24	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26		hvsub4 31639	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
27	25, 26	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
28		hvsubid 31628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
30	29	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
31		hvsubcl 31619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
32		hvaddlid 31625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
34	33	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
36	35	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
37	36	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
38	23, 37	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
39	9, 38	bitr3d 284	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522  0_ℎc0v 31526   −_ℎ cmv 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-hvsub 31573

This theorem is used by:  shuni  31902  cdjreui  33034