HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddsub4 30020
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 29954 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
21adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
3 hvaddcl 29954 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
43adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 29954 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
65ancoms 459 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
76ad2ant2lr 746 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
8 hvsubcan2 30017 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
92, 4, 7, 8syl3anc 1371 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
10 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
1110anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
1211ancoms 459 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13 hvsub4 29979 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
1412, 13syldan 591 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
15 hvsubid 29968 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
1615ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐵) = 0)
1716oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + 0))
18 hvsubcl 29959 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℋ)
19 ax-hvaddid 29946 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2120adantlr 713 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2214, 17, 213eqtrd 2780 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
2322adantrr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
24 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
2524anim1i 615 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26 hvsub4 29979 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
2725, 26syldan 591 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
28 hvsubid 29968 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 𝐶) = 0)
2928ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐶) = 0)
3029oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)) = (0 + (𝐷 𝐵)))
31 hvsubcl 29959 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 𝐵) ∈ ℋ)
32 hvaddid2 29965 . . . . . . . 8 ((𝐷 𝐵) ∈ ℋ → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3433adantll 712 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3527, 30, 343eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3635ancoms 459 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3736adantll 712 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3823, 37eqeq12d 2752 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
399, 38bitr3d 280 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  chba 29861   + cva 29862  0c0v 29866   cmv 29867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-hvsub 29913
This theorem is referenced by:  shuni  30242  cdjreui  31374
  Copyright terms: Public domain W3C validator