Theorem hvaddsub4 31506

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 31440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3		hvaddcl 31440	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31440	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	5	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	6	ad2ant2lr 761	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		hvsubcan2 31503	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
10		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11	10	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
12	11	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13		hvsub4 31465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
14	12, 13	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
15		hvsubid 31454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
16	15	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
17	16	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ))
18		hvsubcl 31445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 31432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
21	20	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
22	14, 17, 21	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
23	22	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
24		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
25	24	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26		hvsub4 31465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
27	25, 26	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
28		hvsubid 31454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
30	29	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
31		hvsubcl 31445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
32		hvaddlid 31451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
34	33	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
36	35	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
37	36	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
38	23, 37	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
39	9, 38	bitr3d 284	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7420   ℋchba 31347   +_ℎ cva 31348  0_ℎc0v 31352   −_ℎ cmv 31353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-hfvadd 31428  ax-hvcom 31429  ax-hvass 31430  ax-hv0cl 31431  ax-hvaddid 31432  ax-hfvmul 31433  ax-hvmulid 31434  ax-hvmulass 31435  ax-hvdistr1 31436  ax-hvdistr2 31437  ax-hvmul0 31438

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-hvsub 31399

This theorem is used by:  shuni  31728  cdjreui  32860