Theorem hvaddsub4 31014

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 30948	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3		hvaddcl 30948	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 30948	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	6	ad2ant2lr 748	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		hvsubcan2 31011	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11	10	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
12	11	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13		hvsub4 30973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
14	12, 13	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
15		hvsubid 30962	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
16	15	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
17	16	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ))
18		hvsubcl 30953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 30940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
21	20	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
22	14, 17, 21	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
23	22	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
24		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
25	24	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26		hvsub4 30973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
28		hvsubid 30962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
30	29	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
31		hvsubcl 30953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
32		hvaddlid 30959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
34	33	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
36	35	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
37	36	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
38	23, 37	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
39	9, 38	bitr3d 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856  0_ℎc0v 30860   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  shuni  31236  cdjreui  32368