Theorem hvaddsub4 31167

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 31101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3		hvaddcl 31101	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31101	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	5	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	6	ad2ant2lr 754	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		hvsubcan2 31164	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
10		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11	10	anim2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
12	11	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13		hvsub4 31126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
14	12, 13	syldan 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
15		hvsubid 31115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
16	15	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
17	16	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ))
18		hvsubcl 31106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 31093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
21	20	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
22	14, 17, 21	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
23	22	adantrr 723	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
24		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
25	24	anim1i 621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26		hvsub4 31126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
27	25, 26	syldan 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
28		hvsubid 31115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29	28	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
30	29	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
31		hvsubcl 31106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
32		hvaddlid 31112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
34	33	adantll 720	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
36	35	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
37	36	adantll 720	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
38	23, 37	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
39	9, 38	bitr3d 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009  0_ℎc0v 31013   −_ℎ cmv 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-hvsub 31060

This theorem is referenced by:  shuni  31389  cdjreui  32521