Theorem hvaddsub4 29468

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvaddsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 29402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
3		hvaddcl 29402	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 29402	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	6	ad2ant2lr 744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		hvsubcan2 29465	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷)))
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
11	10	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
12	11	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13		hvsub4 29427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
14	12, 13	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)))
15		hvsubid 29416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
16	15	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
17	16	oveq2d 7311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ))
18		hvsubcl 29407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
19		ax-hvaddid 29394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
21	20	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ 0ℎ) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
22	14, 17, 21	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
23	22	adantrr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐴 −ℎ 𝐶))
24		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
25	24	anim1i 614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26		hvsub4 29427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
27	25, 26	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
28		hvsubid 29416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
30	29	oveq1d 7310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)))
31		hvsubcl 29407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
32		hvaddid2 29413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
34	33	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝐷 −ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
36	35	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
37	36	adantll 710	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = (𝐷 −ℎ 𝐵))
38	23, 37	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) = ((𝐶 +ℎ 𝐷) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐵)) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))
39	9, 38	bitr3d 280	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ 𝐷) ↔ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐷 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  (class class class)co 7295   ℋchba 29309   +_ℎ cva 29310  0_ℎc0v 29314   −_ℎ cmv 29315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-hfvadd 29390  ax-hvcom 29391  ax-hvass 29392  ax-hv0cl 29393  ax-hvaddid 29394  ax-hfvmul 29395  ax-hvmulid 29396  ax-hvmulass 29397  ax-hvdistr1 29398  ax-hvdistr2 29399  ax-hvmul0 29400

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-hvsub 29361

This theorem is referenced by:  shuni  29690  cdjreui  30822