HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddsub4 31011
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 30945 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
21adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
3 hvaddcl 30945 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
43adantl 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 30945 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
65ancoms 457 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
76ad2ant2lr 746 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
8 hvsubcan2 31008 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
92, 4, 7, 8syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
10 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
1110anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
1211ancoms 457 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13 hvsub4 30970 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
1412, 13syldan 589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
15 hvsubid 30959 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
1615ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐵) = 0)
1716oveq2d 7440 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + 0))
18 hvsubcl 30950 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℋ)
19 ax-hvaddid 30937 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2120adantlr 713 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2214, 17, 213eqtrd 2770 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
2322adantrr 715 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
24 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
2524anim1i 613 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26 hvsub4 30970 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
2725, 26syldan 589 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
28 hvsubid 30959 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 𝐶) = 0)
2928ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐶) = 0)
3029oveq1d 7439 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)) = (0 + (𝐷 𝐵)))
31 hvsubcl 30950 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 𝐵) ∈ ℋ)
32 hvaddlid 30956 . . . . . . . 8 ((𝐷 𝐵) ∈ ℋ → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3433adantll 712 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3527, 30, 343eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3635ancoms 457 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3736adantll 712 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3823, 37eqeq12d 2742 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
399, 38bitr3d 280 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7424  chba 30852   + cva 30853  0c0v 30857   cmv 30858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvmulass 30940  ax-hvdistr1 30941  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-hvsub 30904
This theorem is referenced by:  shuni  31233  cdjreui  32365
  Copyright terms: Public domain W3C validator