HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddsub4 28479
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))

Proof of Theorem hvaddsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 28413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
21adantr 474 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
3 hvaddcl 28413 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
43adantl 475 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 28413 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
65ancoms 452 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
76ad2ant2lr 754 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ)
8 hvsubcan2 28476 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
92, 4, 7, 8syl3anc 1494 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
10 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
1110anim2i 610 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
1211ancoms 452 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
13 hvsub4 28438 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
1412, 13syldan 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)))
15 hvsubid 28427 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
1615ad2antlr 718 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐵) = 0)
1716oveq2d 6921 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐵)) = ((𝐴 𝐶) + 0))
18 hvsubcl 28418 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℋ)
19 ax-hvaddid 28405 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∈ ℋ → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2120adantlr 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) + 0) = (𝐴 𝐶))
2214, 17, 213eqtrd 2865 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
2322adantrr 708 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐴 𝐶))
24 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
2524anim1i 608 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
26 hvsub4 28438 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
2725, 26syldan 585 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)))
28 hvsubid 28427 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 𝐶) = 0)
2928ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 𝐶) = 0)
3029oveq1d 6920 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 𝐶) + (𝐷 𝐵)) = (0 + (𝐷 𝐵)))
31 hvsubcl 28418 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐷 𝐵) ∈ ℋ)
32 hvaddid2 28424 . . . . . . . 8 ((𝐷 𝐵) ∈ ℋ → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3433adantll 705 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (0 + (𝐷 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3527, 30, 343eqtrd 2865 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3635ancoms 452 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3736adantll 705 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) = (𝐷 𝐵))
3823, 37eqeq12d 2840 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
399, 38bitr3d 273 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  (class class class)co 6905  chba 28320   + cva 28321  0c0v 28325   cmv 28326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-hfvadd 28401  ax-hvcom 28402  ax-hvass 28403  ax-hv0cl 28404  ax-hvaddid 28405  ax-hfvmul 28406  ax-hvmulid 28407  ax-hvmulass 28408  ax-hvdistr1 28409  ax-hvdistr2 28410  ax-hvmul0 28411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-hvsub 28372
This theorem is referenced by:  shuni  28703  cdjreui  29835
  Copyright terms: Public domain W3C validator