Theorem mvrladdd 11646

Description: Move the left term in a sum on the RHS to the LHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrraddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvrraddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mvrraddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mvrladdd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem mvrladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrraddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		mvrraddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mvrraddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
4	2, 1, 3	comraddd 11443	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐵))
5	1, 2, 4	mvrraddd 11645	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11117   + caddc 11122   − cmin 11460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-ltxr 11267  df-sub 11462

This theorem is used by:  2txmxeqx  12399  cvgcmpce  15897  mertens  15967  sin01bnd  16267  cos01bnd  16268  eirrlem  16286  bitsmod  16520  dveflem  26193  mtest  26622  tangtx  26725  efiarg  26827  quart1lem  27075  efiatan2  27137  log2tlbnd  27165  jensenlem2  27207  fsumharmonic  27231  chtublem  27430  bcctr  27494  pcbcctr  27495  bcp1ctr  27498  bposlem9  27511  lgsquadlem1  27599  selberg2lem  27769  logdivbnd  27775  pntrsumo1  27784  pntrsumbnd2  27786  pntrlog2bndlem6  27802  pntpbnd1a  27804  constrrtll  34189  constrrtlc1  34190  constrimcl  34228  cos9thpiminplylem1  34240  cos9thpiminplylem2  34241  hgt750lemd  35104  bcprod  36271  dnizphlfeqhlf  37126  sumcubes  43151  flt4lem5elem  43460  jm3.1lem1  43821  sqrtcval  44444  fzisoeu  46096  supxrgelem  46130  sigarcol  47655  dignn0flhalflem1  49471  1subrec1sub  49561  i2linesd  50633