Theorem mvrladdd 11318

Description: Move the left term in a sum on the RHS to the LHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrraddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvrraddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mvrraddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mvrladdd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem mvrladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrraddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		mvrraddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mvrraddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
4	2, 1, 3	comraddd 11119	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐵))
5	1, 2, 4	mvrraddd 11317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  2txmxeqx  12043  cvgcmpce  15458  mertens  15526  sin01bnd  15822  cos01bnd  15823  eirrlem  15841  bitsmod  16071  dveflem  25048  mtest  25468  tangtx  25567  efiarg  25667  quart1lem  25910  efiatan2  25972  log2tlbnd  26000  jensenlem2  26042  fsumharmonic  26066  chtublem  26264  bcctr  26328  pcbcctr  26329  bcp1ctr  26332  bposlem9  26345  lgsquadlem1  26433  selberg2lem  26603  logdivbnd  26609  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd2  26620  pntrlog2bndlem6  26636  pntpbnd1a  26638  hgt750lemd  32528  bcprod  33610  dnizphlfeqhlf  34583  flt4lem5elem  40404  jm3.1lem1  40755  sqrtcval  41138  fzisoeu  42729  supxrgelem  42766  sigarcol  44267  dignn0flhalflem1  45849  1subrec1sub  45939  i2linesd  46369