Theorem mvrladdd 11673

Description: Move the left term in a sum on the RHS to the LHS, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrraddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvrraddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mvrraddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mvrladdd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem mvrladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvrraddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		mvrraddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mvrraddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
4	2, 1, 3	comraddd 11472	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐵))
5	1, 2, 4	mvrraddd 11672	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   + caddc 11155   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  2txmxeqx  12403  cvgcmpce  15850  mertens  15918  sin01bnd  16217  cos01bnd  16218  eirrlem  16236  bitsmod  16469  dveflem  26031  mtest  26461  tangtx  26561  efiarg  26663  quart1lem  26912  efiatan2  26974  log2tlbnd  27002  jensenlem2  27045  fsumharmonic  27069  chtublem  27269  bcctr  27333  pcbcctr  27334  bcp1ctr  27337  bposlem9  27350  lgsquadlem1  27438  selberg2lem  27608  logdivbnd  27614  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd2  27625  pntrlog2bndlem6  27641  pntpbnd1a  27643  constrrtll  33736  constrrtlc1  33737  hgt750lemd  34641  bcprod  35717  dnizphlfeqhlf  36458  sumcubes  42325  flt4lem5elem  42637  jm3.1lem1  43005  sqrtcval  43630  fzisoeu  45250  supxrgelem  45286  sigarcol  46819  dignn0flhalflem1  48464  1subrec1sub  48554  i2linesd  49009