Theorem ralrn 7090

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6907	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6953	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3095	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5409	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  7096  ralrnmpt  7098  cbvfo  7287  isoselem  7338  indexfi  9360  ordtypelem9  9521  ordtypelem10  9522  wemapwe  9692  numacn  10044  acndom  10046  rpnnen1lem3  12963  fsequb2  13941  limsuple  15422  limsupval2  15424  climsup  15616  ruclem11  16183  ruclem12  16184  prmreclem6  16854  imasaddfnlem  17474  imasvscafn  17483  cycsubgcl  19083  ghmrn  19105  ghmnsgima  19116  pgpssslw  19482  gexex  19721  dprdfcntz  19885  znf1o  21107  frlmlbs  21352  lindfrn  21376  ptcnplem  23125  kqt0lem  23240  isr0  23241  regr1lem2  23244  uzrest  23401  tmdgsum2  23600  imasf1oxmet  23881  imasf1omet  23882  bndth  24474  evth  24475  ovolficcss  24986  ovollb2lem  25005  ovolunlem1  25014  ovoliunlem1  25019  ovoliunlem2  25020  ovoliun2  25023  ovolscalem1  25030  ovolicc1  25033  voliunlem2  25068  voliunlem3  25069  ioombl1lem4  25078  uniioovol  25096  uniioombllem2  25100  uniioombllem3  25102  uniioombllem6  25105  volsup2  25122  vitalilem3  25127  mbfsup  25181  mbfinf  25182  mbflimsup  25183  itg1ge0  25203  itg1mulc  25222  itg1climres  25232  mbfi1fseqlem4  25236  itg2seq  25260  itg2monolem1  25268  itg2mono  25271  itg2i1fseq2  25274  itg2gt0  25278  itg2cnlem1  25279  itg2cn  25281  limciun  25411  plycpn  25802  hmopidmchi  31404  hmopidmpji  31405  rge0scvg  32929  mclsax  34560  mblfinlem2  36526  ismtyhmeolem  36672  nacsfix  41450  fnwe2lem2  41793  gneispace  42885  climinf  44322  liminfval2  44484