Theorem ralrn 7040

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6855	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6900	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5352	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  7046  ralrnmpt  7048  cbvfo  7244  isoselem  7296  indexfi  9270  ordtypelem9  9441  ordtypelem10  9442  wemapwe  9618  numacn  9971  acndom  9973  rpnnen1lem3  12929  fsequb2  13938  limsuple  15440  limsupval2  15442  climsup  15632  ruclem11  16207  ruclem12  16208  prmreclem6  16892  imasaddfnlem  17492  imasvscafn  17501  cycsubgcl  19181  ghmrn  19204  ghmnsgima  19215  pgpssslw  19589  gexex  19828  dprdfcntz  19992  znf1o  21531  frlmlbs  21777  lindfrn  21801  ptcnplem  23586  kqt0lem  23701  isr0  23702  regr1lem2  23705  uzrest  23862  tmdgsum2  24061  imasf1oxmet  24340  imasf1omet  24341  bndth  24925  evth  24926  ovolficcss  25436  ovollb2lem  25455  ovolunlem1  25464  ovoliunlem1  25469  ovoliunlem2  25470  ovoliun2  25473  ovolscalem1  25480  ovolicc1  25483  voliunlem2  25518  voliunlem3  25519  ioombl1lem4  25528  uniioovol  25546  uniioombllem2  25550  uniioombllem3  25552  uniioombllem6  25555  volsup2  25572  vitalilem3  25577  mbfsup  25631  mbfinf  25632  mbflimsup  25633  itg1ge0  25653  itg1mulc  25671  itg1climres  25681  mbfi1fseqlem4  25685  itg2seq  25709  itg2monolem1  25717  itg2mono  25720  itg2i1fseq2  25723  itg2gt0  25727  itg2cnlem1  25728  itg2cn  25730  limciun  25861  plycpn  26255  hmopidmchi  32222  hmopidmpji  32223  rge0scvg  34093  mclsax  35751  mblfinlem2  37979  ismtyhmeolem  38125  nacsfix  43144  fnwe2lem2  43479  gneispace  44561  climinf  46036  liminfval2  46196