MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ralrn 6552
Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexrn.1 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ralrn (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn
StepHypRef Expression
1 fvexd 6390 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ V)
2 fvelrnb 6432 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐹𝑦) = 𝑥))
3 eqcom 2772 . . . 4 ((𝐹𝑦) = 𝑥𝑥 = (𝐹𝑦))
43rexbii 3188 . . 3 (∃𝑦𝐴 (𝐹𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝐹𝑦))
52, 4syl6bb 278 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝐹𝑦)))
6 rexrn.1 . . 3 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝜑𝜓))
76adantl 473 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥 = (𝐹𝑦)) → (𝜑𝜓))
81, 5, 7ralxfr2d 5045 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  ran crn 5278   Fn wfn 6063  cfv 6068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-fv 6076
This theorem is referenced by:  ralrnmpt  6558  cbvfo  6736  isoselem  6783  indexfi  8481  ordtypelem9  8638  ordtypelem10  8639  wemapwe  8809  numacn  9123  acndom  9125  rpnnen1lem3  12017  fsequb2  12983  limsuple  14496  limsupval2  14498  climsup  14687  ruclem11  15253  ruclem12  15254  prmreclem6  15906  imasaddfnlem  16456  imasvscafn  16465  cycsubgcl  17886  ghmrn  17939  ghmnsgima  17950  pgpssslw  18295  gexex  18522  dprdfcntz  18681  znf1o  20172  frlmlbs  20412  lindfrn  20436  ptcnplem  21704  kqt0lem  21819  isr0  21820  regr1lem2  21823  uzrest  21980  tmdgsum2  22179  imasf1oxmet  22459  imasf1omet  22460  bndth  23036  evth  23037  ovolficcss  23527  ovollb2lem  23546  ovolunlem1  23555  ovoliunlem1  23560  ovoliunlem2  23561  ovoliun2  23564  ovolscalem1  23571  ovolicc1  23574  voliunlem2  23609  voliunlem3  23610  ioombl1lem4  23619  uniioovol  23637  uniioombllem2  23641  uniioombllem3  23643  uniioombllem6  23646  volsup2  23663  vitalilem3  23668  mbfsup  23722  mbfinf  23723  mbflimsup  23724  itg1ge0  23744  itg1mulc  23762  itg1climres  23772  mbfi1fseqlem4  23776  itg2seq  23800  itg2monolem1  23808  itg2mono  23811  itg2i1fseq2  23814  itg2gt0  23818  itg2cnlem1  23819  itg2cn  23821  limciun  23949  plycpn  24335  hmopidmchi  29401  hmopidmpji  29402  rge0scvg  30377  mclsax  31846  mblfinlem2  33803  ismtyhmeolem  33957  nacsfix  37885  fnwe2lem2  38230  gneispace  39038  climinf  40408  liminfval2  40570
  Copyright terms: Public domain W3C validator