Theorem ralrn 7086

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6903	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6949	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5407	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474  ran crn 5676   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  7092  ralrnmpt  7094  cbvfo  7283  isoselem  7334  indexfi  9356  ordtypelem9  9517  ordtypelem10  9518  wemapwe  9688  numacn  10040  acndom  10042  rpnnen1lem3  12959  fsequb2  13937  limsuple  15418  limsupval2  15420  climsup  15612  ruclem11  16179  ruclem12  16180  prmreclem6  16850  imasaddfnlem  17470  imasvscafn  17479  cycsubgcl  19077  ghmrn  19099  ghmnsgima  19110  pgpssslw  19476  gexex  19715  dprdfcntz  19879  znf1o  21098  frlmlbs  21343  lindfrn  21367  ptcnplem  23116  kqt0lem  23231  isr0  23232  regr1lem2  23235  uzrest  23392  tmdgsum2  23591  imasf1oxmet  23872  imasf1omet  23873  bndth  24465  evth  24466  ovolficcss  24977  ovollb2lem  24996  ovolunlem1  25005  ovoliunlem1  25010  ovoliunlem2  25011  ovoliun2  25014  ovolscalem1  25021  ovolicc1  25024  voliunlem2  25059  voliunlem3  25060  ioombl1lem4  25069  uniioovol  25087  uniioombllem2  25091  uniioombllem3  25093  uniioombllem6  25096  volsup2  25113  vitalilem3  25118  mbfsup  25172  mbfinf  25173  mbflimsup  25174  itg1ge0  25194  itg1mulc  25213  itg1climres  25223  mbfi1fseqlem4  25227  itg2seq  25251  itg2monolem1  25259  itg2mono  25262  itg2i1fseq2  25265  itg2gt0  25269  itg2cnlem1  25270  itg2cn  25272  limciun  25402  plycpn  25793  hmopidmchi  31391  hmopidmpji  31392  rge0scvg  32917  mclsax  34548  mblfinlem2  36514  ismtyhmeolem  36660  nacsfix  41435  fnwe2lem2  41778  gneispace  42870  climinf  44308  liminfval2  44470