Theorem ralrn 7083

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6896	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6941	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3112	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5381	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544

This theorem is used by:  ralrnmptw  7089  ralrnmpt  7091  cbvfo  7287  isoselem  7339  indexfi  9313  ordtypelem9  9484  ordtypelem10  9485  wemapwe  9662  numacn  10038  acndom  10040  rpnnen1lem3  13007  fsequb2  14017  limsuple  15534  limsupval2  15536  climsup  15726  ruclem11  16300  ruclem12  16301  prmreclem6  16985  imasaddfnlem  17586  imasvscafn  17595  cycsubgcl  19281  ghmrn  19303  ghmnsgima  19314  pgpssslw  19688  gexex  19927  dprdfcntz  20091  znf1o  21710  frlmlbs  21956  lindfrn  21980  ptcnplem  23787  kqt0lem  23902  isr0  23903  regr1lem2  23906  uzrest  24063  tmdgsum2  24262  imasf1oxmet  24541  imasf1omet  24542  bndth  25126  evth  25127  ovolficcss  25637  ovollb2lem  25656  ovolunlem1  25665  ovoliunlem1  25670  ovoliunlem2  25671  ovoliun2  25674  ovolscalem1  25681  ovolicc1  25684  voliunlem2  25719  voliunlem3  25720  ioombl1lem4  25729  uniioovol  25747  uniioombllem2  25751  uniioombllem3  25753  uniioombllem6  25756  volsup2  25773  vitalilem3  25778  mbfsup  25832  mbfinf  25833  mbflimsup  25834  itg1ge0  25854  itg1mulc  25872  itg1climres  25882  mbfi1fseqlem4  25886  itg2seq  25910  itg2monolem1  25918  itg2mono  25921  itg2i1fseq2  25924  itg2gt0  25928  itg2cnlem1  25929  itg2cn  25931  limciun  26062  plycpn  26459  hmopidmchi  32512  hmopidmpji  32513  rge0scvg  34348  mclsax  36069  mblfinlem2  38337  ismtyhmeolem  38483  nacsfix  43471  fnwe2lem2  43806  gneispace  44888  climinf  46350  liminfval2  46510