Theorem ralrn 7036

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6851	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6896	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5349	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  ran crn 5627   Fn wfn 6489  ‘cfv 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-fv 6502

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  7042  ralrnmpt  7044  cbvfo  7239  isoselem  7291  indexfi  9265  ordtypelem9  9436  ordtypelem10  9437  wemapwe  9613  numacn  9966  acndom  9968  rpnnen1lem3  12924  fsequb2  13933  limsuple  15435  limsupval2  15437  climsup  15627  ruclem11  16202  ruclem12  16203  prmreclem6  16887  imasaddfnlem  17487  imasvscafn  17496  cycsubgcl  19176  ghmrn  19199  ghmnsgima  19210  pgpssslw  19584  gexex  19823  dprdfcntz  19987  znf1o  21545  frlmlbs  21791  lindfrn  21815  ptcnplem  23600  kqt0lem  23715  isr0  23716  regr1lem2  23719  uzrest  23876  tmdgsum2  24075  imasf1oxmet  24354  imasf1omet  24355  bndth  24939  evth  24940  ovolficcss  25450  ovollb2lem  25469  ovolunlem1  25478  ovoliunlem1  25483  ovoliunlem2  25484  ovoliun2  25487  ovolscalem1  25494  ovolicc1  25497  voliunlem2  25532  voliunlem3  25533  ioombl1lem4  25542  uniioovol  25560  uniioombllem2  25564  uniioombllem3  25566  uniioombllem6  25569  volsup2  25586  vitalilem3  25591  mbfsup  25645  mbfinf  25646  mbflimsup  25647  itg1ge0  25667  itg1mulc  25685  itg1climres  25695  mbfi1fseqlem4  25699  itg2seq  25723  itg2monolem1  25731  itg2mono  25734  itg2i1fseq2  25737  itg2gt0  25741  itg2cnlem1  25742  itg2cn  25744  limciun  25875  plycpn  26270  hmopidmchi  32241  hmopidmpji  32242  rge0scvg  34113  mclsax  35771  mblfinlem2  37997  ismtyhmeolem  38143  nacsfix  43162  fnwe2lem2  43501  gneispace  44583  climinf  46058  liminfval2  46218