Theorem ralrn 7043

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6862	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6908	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3093	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5370	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3446  ran crn 5639   Fn wfn 6496  ‘cfv 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-fv 6509

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  7049  ralrnmpt  7051  cbvfo  7240  isoselem  7291  indexfi  9311  ordtypelem9  9471  ordtypelem10  9472  wemapwe  9642  numacn  9994  acndom  9996  rpnnen1lem3  12913  fsequb2  13891  limsuple  15372  limsupval2  15374  climsup  15566  ruclem11  16133  ruclem12  16134  prmreclem6  16804  imasaddfnlem  17424  imasvscafn  17433  cycsubgcl  19013  ghmrn  19035  ghmnsgima  19046  pgpssslw  19410  gexex  19645  dprdfcntz  19808  znf1o  20995  frlmlbs  21240  lindfrn  21264  ptcnplem  23009  kqt0lem  23124  isr0  23125  regr1lem2  23128  uzrest  23285  tmdgsum2  23484  imasf1oxmet  23765  imasf1omet  23766  bndth  24358  evth  24359  ovolficcss  24870  ovollb2lem  24889  ovolunlem1  24898  ovoliunlem1  24903  ovoliunlem2  24904  ovoliun2  24907  ovolscalem1  24914  ovolicc1  24917  voliunlem2  24952  voliunlem3  24953  ioombl1lem4  24962  uniioovol  24980  uniioombllem2  24984  uniioombllem3  24986  uniioombllem6  24989  volsup2  25006  vitalilem3  25011  mbfsup  25065  mbfinf  25066  mbflimsup  25067  itg1ge0  25087  itg1mulc  25106  itg1climres  25116  mbfi1fseqlem4  25120  itg2seq  25144  itg2monolem1  25152  itg2mono  25155  itg2i1fseq2  25158  itg2gt0  25162  itg2cnlem1  25163  itg2cn  25165  limciun  25295  plycpn  25686  hmopidmchi  31156  hmopidmpji  31157  rge0scvg  32619  mclsax  34250  mblfinlem2  36189  ismtyhmeolem  36336  nacsfix  41093  fnwe2lem2  41436  gneispace  42528  climinf  43967  liminfval2  44129