Theorem ralrn 6964

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6789	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6830	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2745	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5333	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  6970  ralrnmpt  6972  cbvfo  7161  isoselem  7212  indexfi  9127  ordtypelem9  9285  ordtypelem10  9286  wemapwe  9455  numacn  9805  acndom  9807  rpnnen1lem3  12719  fsequb2  13696  limsuple  15187  limsupval2  15189  climsup  15381  ruclem11  15949  ruclem12  15950  prmreclem6  16622  imasaddfnlem  17239  imasvscafn  17248  cycsubgcl  18825  ghmrn  18847  ghmnsgima  18858  pgpssslw  19219  gexex  19454  dprdfcntz  19618  znf1o  20759  frlmlbs  21004  lindfrn  21028  ptcnplem  22772  kqt0lem  22887  isr0  22888  regr1lem2  22891  uzrest  23048  tmdgsum2  23247  imasf1oxmet  23528  imasf1omet  23529  bndth  24121  evth  24122  ovolficcss  24633  ovollb2lem  24652  ovolunlem1  24661  ovoliunlem1  24666  ovoliunlem2  24667  ovoliun2  24670  ovolscalem1  24677  ovolicc1  24680  voliunlem2  24715  voliunlem3  24716  ioombl1lem4  24725  uniioovol  24743  uniioombllem2  24747  uniioombllem3  24749  uniioombllem6  24752  volsup2  24769  vitalilem3  24774  mbfsup  24828  mbfinf  24829  mbflimsup  24830  itg1ge0  24850  itg1mulc  24869  itg1climres  24879  mbfi1fseqlem4  24883  itg2seq  24907  itg2monolem1  24915  itg2mono  24918  itg2i1fseq2  24921  itg2gt0  24925  itg2cnlem1  24926  itg2cn  24928  limciun  25058  plycpn  25449  hmopidmchi  30513  hmopidmpji  30514  rge0scvg  31899  mclsax  33531  mblfinlem2  35815  ismtyhmeolem  35962  nacsfix  40534  fnwe2lem2  40876  gneispace  41744  climinf  43147  liminfval2  43309