Theorem ralrn 7107

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralrn	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6920	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ V)
2		fvelrnb 6968	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥))
3		eqcom 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
4	3	rexbii 3093	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
5	2, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
6		rexrn.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	1, 5, 7	ralxfr2d 5409	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479  ran crn 5685   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-fv 6568

This theorem is referenced by:  ralrnmptw  7113  ralrnmpt  7115  cbvfo  7310  isoselem  7362  indexfi  9401  ordtypelem9  9567  ordtypelem10  9568  wemapwe  9738  numacn  10090  acndom  10092  rpnnen1lem3  13022  fsequb2  14018  limsuple  15515  limsupval2  15517  climsup  15707  ruclem11  16277  ruclem12  16278  prmreclem6  16960  imasaddfnlem  17574  imasvscafn  17583  cycsubgcl  19225  ghmrn  19248  ghmnsgima  19259  pgpssslw  19633  gexex  19872  dprdfcntz  20036  znf1o  21571  frlmlbs  21818  lindfrn  21842  ptcnplem  23630  kqt0lem  23745  isr0  23746  regr1lem2  23749  uzrest  23906  tmdgsum2  24105  imasf1oxmet  24386  imasf1omet  24387  bndth  24991  evth  24992  ovolficcss  25505  ovollb2lem  25524  ovolunlem1  25533  ovoliunlem1  25538  ovoliunlem2  25539  ovoliun2  25542  ovolscalem1  25549  ovolicc1  25552  voliunlem2  25587  voliunlem3  25588  ioombl1lem4  25597  uniioovol  25615  uniioombllem2  25619  uniioombllem3  25621  uniioombllem6  25624  volsup2  25641  vitalilem3  25646  mbfsup  25700  mbfinf  25701  mbflimsup  25702  itg1ge0  25722  itg1mulc  25740  itg1climres  25750  mbfi1fseqlem4  25754  itg2seq  25778  itg2monolem1  25786  itg2mono  25789  itg2i1fseq2  25792  itg2gt0  25796  itg2cnlem1  25797  itg2cn  25799  limciun  25930  plycpn  26332  hmopidmchi  32171  hmopidmpji  32172  rge0scvg  33949  mclsax  35575  mblfinlem2  37666  ismtyhmeolem  37812  nacsfix  42728  fnwe2lem2  43068  gneispace  44152  climinf  45626  liminfval2  45788