MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasaddfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasaddfn 17486
Description: The image structure's group operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasaddf.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasaddf.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
imasaddf.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
imasaddf.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
imasaddf.p ยท = (+gโ€˜๐‘…)
imasaddf.a โˆ™ = (+gโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imasaddfn (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐ต   ๐‘…,๐‘,๐‘ž   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘‰   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž,๐‘)   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasaddfn
StepHypRef Expression
1 imasaddf.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
2 imasaddf.e . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
3 imasaddf.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐น โ€œs ๐‘…))
4 imasaddf.v . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘…))
5 imasaddf.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘)
6 imasaddf.p . . 3 ยท = (+gโ€˜๐‘…)
7 imasaddf.a . . 3 โˆ™ = (+gโ€˜๐‘ˆ)
83, 4, 1, 5, 6, 7imasplusg 17472 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
91, 2, 8imasaddfnlem 17483 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   ร— cxp 5667   Fn wfn 6532  โ€“ontoโ†’wfo 6535  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   โ€œs cimas 17459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-imas 17463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator