Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifcv 33592
Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifcv (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv
StepHypRef Expression
1 iocssicc 13446 . . . 4 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
21sseli 3968 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3 eqeq1 2729 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
54negeqd 11484 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
63, 5ifbieq2d 4550 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7 xrge0iifhmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8 pnfex 11297 . . . . 5 +∞ ∈ V
9 negex 11488 . . . . 5 -(log‘𝑋) ∈ V
108, 9ifex 4574 . . . 4 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 7000 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
122, 11syl 17 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13 0xr 11291 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 1re 11244 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
15 elioc2 13419 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1)))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1143 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
1817gt0ne0d 11808 . . . 4 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
1918neneqd 2935 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
2019iffalsed 4535 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
2112, 20eqtrd 2765 1 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  +∞cpnf 11275  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  -cneg 11475  (,]cioc 13357  [,]cicc 13359  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-neg 11477  df-ioc 13361  df-icc 13363
This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  33593  xrge0iifhom  33595
  Copyright terms: Public domain W3C validator