Theorem xrge0iifcv 33895

Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifcv	⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Distinct variable group:   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13474	. . . 4 ⊢ (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
2	1	sseli 3991	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3		eqeq1 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
5	4	negeqd 11500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
6	3, 5	ifbieq2d 4557	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7		xrge0iifhmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8		pnfex 11312	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
9		negex 11504	. . . . 5 ⊢ -(log‘𝑋) ∈ V
10	8, 9	ifex 4581	. . . 4 ⊢ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
12	2, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13		0xr 11306	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 11259	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		elioc2 13447	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1)))
16	13, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
18	17	gt0ne0d 11825	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
19	18	neneqd 2943	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
20	19	iffalsed 4542	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  -cneg 11491  (,]cioc 13385  [,]cicc 13387  logclog 26611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-ioc 13389  df-icc 13391

This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  33896  xrge0iifhom  33898