Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifcv 33212
Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifcv (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv
StepHypRef Expression
1 iocssicc 13418 . . . 4 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
21sseli 3977 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3 eqeq1 2734 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
54negeqd 11458 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
63, 5ifbieq2d 4553 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7 xrge0iifhmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8 pnfex 11271 . . . . 5 +∞ ∈ V
9 negex 11462 . . . . 5 -(log‘𝑋) ∈ V
108, 9ifex 4577 . . . 4 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6997 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
122, 11syl 17 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13 0xr 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 1re 11218 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
15 elioc2 13391 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1)))
1613, 14, 15mp2an 688 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1144 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
1817gt0ne0d 11782 . . . 4 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
1918neneqd 2943 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
2019iffalsed 4538 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
2112, 20eqtrd 2770 1 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6542  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  -cneg 11449  (,]cioc 13329  [,]cicc 13331  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-ioc 13333  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  33213  xrge0iifhom  33215
  Copyright terms: Public domain W3C validator