Theorem xrge0iifcv 31419

Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifcv	⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Distinct variable group:   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 12883	. . . 4 ⊢ (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
2	1	sseli 3891	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3		eqeq1 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4		fveq2 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
5	4	negeqd 10932	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
6	3, 5	ifbieq2d 4450	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7		xrge0iifhmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8		pnfex 10746	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
9		negex 10936	. . . . 5 ⊢ -(log‘𝑋) ∈ V
10	8, 9	ifex 4474	. . . 4 ⊢ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6765	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
12	2, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13		0xr 10740	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 10693	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		elioc2 12856	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1)))
16	13, 14, 15	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
18	17	gt0ne0d 11256	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
19	18	neneqd 2957	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
20	19	iffalsed 4435	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ifcif 4424   class class class wbr 5037   ↦ cmpt 5117  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590  +∞cpnf 10724  ℝ^*cxr 10726   < clt 10727   ≤ cle 10728  -cneg 10923  (,]cioc 12794  [,]cicc 12796  logclog 25260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-id 5435  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-neg 10925  df-ioc 12798  df-icc 12800

This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  31420  xrge0iifhom  31422