Theorem xrge0iifcv 34677

Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifcv	⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Distinct variable group:   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13608	. . . 4 ⊢ (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
2	1	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
5	4	negeqd 11590	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
6	3, 5	ifbieq2d 4512	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7		xrge0iifhmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8		pnfex 11401	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
9		negex 11594	. . . . 5 ⊢ -(log‘𝑋) ∈ V
10	8, 9	ifex 4536	. . . 4 ⊢ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 7024	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
12	2, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13		0xr 11395	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 11347	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		elioc2 13580	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1)))
16	13, 14, 15	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
18	17	gt0ne0d 11920	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
19	18	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
20	19	iffalsed 4496	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581  (,]cioc 13517  [,]cicc 13519  logclog 26939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-neg 11583  df-ioc 13521  df-icc 13523

This theorem is used by:  xrge0iifiso  34678  xrge0iifhom  34680