Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifcv 32809
Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifcv (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv
StepHypRef Expression
1 iocssicc 13398 . . . 4 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
21sseli 3975 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3 eqeq1 2736 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4 fveq2 6879 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
54negeqd 11438 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
63, 5ifbieq2d 4549 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7 xrge0iifhmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8 pnfex 11251 . . . . 5 +∞ ∈ V
9 negex 11442 . . . . 5 -(log‘𝑋) ∈ V
108, 9ifex 4573 . . . 4 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6985 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
122, 11syl 17 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13 0xr 11245 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 1re 11198 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
15 elioc2 13371 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1)))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1146 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
1817gt0ne0d 11762 . . . 4 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
1918neneqd 2945 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
2019iffalsed 4534 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
2112, 20eqtrd 2772 1 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4523   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6533  (class class class)co 7394  cr 11093  0cc0 11094  1c1 11095  +∞cpnf 11229  *cxr 11231   < clt 11232  cle 11233  -cneg 11429  (,]cioc 13309  [,]cicc 13311  logclog 25994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-neg 11431  df-ioc 13313  df-icc 13315
This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  32810  xrge0iifhom  32812
  Copyright terms: Public domain W3C validator