Theorem xrge0iifcv 33897

Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifcv	⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Distinct variable group:   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocssicc 13374	. . . 4 ⊢ (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
2	1	sseli 3939	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
5	4	negeqd 11391	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
6	3, 5	ifbieq2d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7		xrge0iifhmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8		pnfex 11203	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
9		negex 11395	. . . . 5 ⊢ -(log‘𝑋) ∈ V
10	8, 9	ifex 4535	. . . 4 ⊢ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
12	2, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13		0xr 11197	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		1re 11150	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		elioc2 13346	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1)))
16	13, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
18	17	gt0ne0d 11718	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
19	18	neneqd 2930	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
20	19	iffalsed 4495	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹‘𝑋) = -(log‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382  (,]cioc 13283  [,]cicc 13285  logclog 26439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-neg 11384  df-ioc 13287  df-icc 13289

This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  33898  xrge0iifhom  33900