Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem72 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem72 44409
Description: The derivative of 𝑂 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem72.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem72.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem72.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem72.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem72.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem72.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem72.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem72.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem72.ab (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem72.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem72.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem72.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem72.u (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem72.abss (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
fourierdlem72.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
fourierdlem72.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem72.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝑖,𝐹   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝜑,𝑖   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑠)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 fourierdlem72.o . . . 4 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
2 ovex 7390 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
4 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 elioore 13294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
115, 10ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
12 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 11583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
15 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615sseli 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1716ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0)
1918necon1bi 2972 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ≠ 0 → 𝑠 = 0)
2019eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ≠ 0 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2614, 9, 25redivcld 11983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
27 fourierdlem72.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2826, 27fmptd 7062 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2928ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
30 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
329rehalfcld 12400 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3332resincld 16025 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
35 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
369recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
3736halfcld 12398 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
3837sincld 16012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
39 2ne0 12257 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
41 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
43 fourierdlem44 44382 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4442, 25, 43syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4535, 38, 40, 44mulne0d 11807 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
469, 34, 45redivcld 11983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
47 fourierdlem72.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4846, 47fmptd 7062 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4948ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5028feqmptd 6910 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)))
5148feqmptd 6910 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)))
523, 29, 49, 50, 51offval2 7637 . . . 4 (𝜑 → (𝐻f · 𝐾) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
531, 52eqtr4id 2795 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝐻f · 𝐾))
5453oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝐻f · 𝐾)))
55 reelprrecn 11143 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5711recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
5812recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6057, 59subcld 11512 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
61 ioossre 13325 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6362sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6463recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6560, 64, 25divcld 11931 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℂ)
6665, 27fmptd 7062 . . 3 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6764halfcld 12398 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
6867sincld 16012 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6935, 68mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
7064, 69, 45divcld 11931 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
7170, 47fmptd 7062 . . 3 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
72 ax-resscn 11108 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ssid 3966 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 cncfss 24262 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7773, 75, 76syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
78 fourierdlem72.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
79 fourierdlem72.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8025nelrdva 3663 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
814, 73fssd 6686 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3966 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
84 ioossre 13325 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
86 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8786tgioo2 24166 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8886, 87dvres 25275 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
90 ioontr 43739 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))
9190reseq2i 5934 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9289, 91eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9695fourierdlem2 44340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9893, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
9998simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
103 elfzofz 13588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → 𝑈 ∈ (0...𝑀))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (0...𝑀))
105101, 104ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ)
106105rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ*)
107 fzofzp1 13669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
109101, 108ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
110109rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*)
111 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ)
113112renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
115113, 112, 6, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 44351 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∧ (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈))))
116115simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈)))
117115simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋))
118105, 6resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∈ ℝ)
119117, 118eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ∈ ℝ)
120113, 112, 6, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 44351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1)))))
121120simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋))
122109, 6resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
123121, 122eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝐵)
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 44348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝑈) ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1))))
127126simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ≤ 𝐴)
128119, 78, 6, 127leadd2dd 11770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + (𝑄𝑈)) ≤ (𝑋 + 𝐴))
129116, 128eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴))
130126simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1)))
13179, 123, 6, 130leadd2dd 11770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
132120simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
133131, 132breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))
134 ioossioo 13358 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑈) ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴) ∧ (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))) → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
136135resabs1d 5968 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
137136eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
138102ancli 549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
139 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
140139anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))))
141 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑈))
142 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 + 1) = (𝑈 + 1))
143142fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝑈 + 1)))
144141, 143oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑈 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
145144reseq2d 5937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))))
146144oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) = (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
147145, 146eleq12d 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
148140, 147imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑈 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)) ↔ ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))))
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
150148, 149vtoclg 3525 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
151102, 138, 150sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
152 rescncf 24260 . . . . . . . 8 (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)))
153135, 151, 152sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
154137, 153eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
15592, 154eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
1564, 6, 78, 79, 80, 155, 12, 27fourierdlem59 44396 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
15777, 156sseldd 3945 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
158 iooretop 24129 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
159158a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
16047, 41, 80, 159fourierdlem58 44395 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
16177, 160sseldd 3945 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 44156 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐻f · 𝐾)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16354, 162eqeltrd 2838 1 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  sincsin 15946  πcpi 15949  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44440  fourierdlem104  44441
  Copyright terms: Public domain W3C validator