Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem72 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem72 42988
 Description: The derivative of 𝑂 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem72.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem72.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem72.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem72.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem72.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem72.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem72.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem72.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem72.ab (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem72.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem72.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem72.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem72.u (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem72.abss (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
fourierdlem72.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
fourierdlem72.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem72.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝑖,𝐹   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝜑,𝑖   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑠)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 fourierdlem72.o . . . 4 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
2 ovex 7178 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
4 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 elioore 12776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10677 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
115, 10ffvelrnd 6839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
12 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 11075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
15 ioossicc 12831 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615sseli 3913 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0)
1918necon1bi 3015 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ≠ 0 → 𝑠 = 0)
2019eleq1d 2874 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ≠ 0 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2120adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2217, 21mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2614, 9, 25redivcld 11475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
27 fourierdlem72.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2826, 27fmptd 6865 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6838 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
30 2re 11717 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
329rehalfcld 11890 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3332resincld 15508 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10678 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
35 2cnd 11721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
369recnd 10676 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
3736halfcld 11888 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
3837sincld 15495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
39 2ne0 11747 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
41 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241sselda 3917 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
43 fourierdlem44 42961 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4442, 25, 43syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4535, 38, 40, 44mulne0d 11299 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
469, 34, 45redivcld 11475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
47 fourierdlem72.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4846, 47fmptd 6865 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4948ffvelrnda 6838 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5028feqmptd 6718 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)))
5148feqmptd 6718 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)))
523, 29, 49, 50, 51offval2 7419 . . . 4 (𝜑 → (𝐻f · 𝐾) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
531, 52eqtr4id 2852 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝐻f · 𝐾))
5453oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝐻f · 𝐾)))
55 reelprrecn 10636 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5711recnd 10676 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
5812recnd 10676 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5958adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6057, 59subcld 11004 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
61 ioossre 12806 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6362sselda 3917 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6463recnd 10676 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6560, 64, 25divcld 11423 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℂ)
6665, 27fmptd 6865 . . 3 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6764halfcld 11888 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
6867sincld 15495 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6935, 68mulcld 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
7064, 69, 45divcld 11423 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
7170, 47fmptd 6865 . . 3 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
72 ax-resscn 10601 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ssid 3939 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 cncfss 23545 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7773, 75, 76syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
78 fourierdlem72.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
79 fourierdlem72.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8025nelrdva 3646 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
814, 73fssd 6510 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3939 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
84 ioossre 12806 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
86 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8786tgioo2 23449 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8886, 87dvres 24555 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
90 ioontr 42316 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))
9190reseq2i 5819 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9289, 91eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9695fourierdlem2 42919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9893, 97mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
9998simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 elmapi 8429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
103 elfzofz 13068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → 𝑈 ∈ (0...𝑀))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (0...𝑀))
105101, 104ffvelrnd 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ)
106105rexrd 10698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ*)
107 fzofzp1 13149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
109101, 108ffvelrnd 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
110109rexrd 10698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*)
111 pire 25095 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ)
113112renegcld 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
115113, 112, 6, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 42930 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∧ (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈))))
116115simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈)))
117115simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋))
118105, 6resubcld 11075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∈ ℝ)
119117, 118eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ∈ ℝ)
120113, 112, 6, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 42930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1)))))
121120simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋))
122109, 6resubcld 11075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
123121, 122eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝐵)
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 42927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝑈) ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1))))
127126simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ≤ 𝐴)
128119, 78, 6, 127leadd2dd 11262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + (𝑄𝑈)) ≤ (𝑋 + 𝐴))
129116, 128eqbrtrd 5056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴))
130126simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1)))
13179, 123, 6, 130leadd2dd 11262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
132120simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
133131, 132breqtrrd 5062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))
134 ioossioo 12839 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑈) ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴) ∧ (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))) → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
136135resabs1d 5853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
137136eqcomd 2804 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
138102ancli 552 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
139 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
140139anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))))
141 fveq2 6655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑈))
142 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 + 1) = (𝑈 + 1))
143142fveq2d 6659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝑈 + 1)))
144141, 143oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑈 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
145144reseq2d 5822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))))
146144oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) = (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
147145, 146eleq12d 2884 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
148140, 147imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑈 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)) ↔ ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))))
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
150148, 149vtoclg 3516 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
151102, 138, 150sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
152 rescncf 23543 . . . . . . . 8 (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)))
153135, 151, 152sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
154137, 153eqeltrd 2890 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
15592, 154eqeltrd 2890 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
1564, 6, 78, 79, 80, 155, 12, 27fourierdlem59 42975 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
15777, 156sseldd 3918 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
158 iooretop 23412 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
159158a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
16047, 41, 80, 159fourierdlem58 42974 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
16177, 160sseldd 3918 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 42735 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐻f · 𝐾)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16354, 162eqeltrd 2890 1 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883  {cpr 4530   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∘f cof 7398   ↑m cmap 8407  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549  ℝ*cxr 10681   < clt 10682   ≤ cle 10683   − cmin 10877  -cneg 10878   / cdiv 11304  ℕcn 11643  2c2 11698  (,)cioo 12746  [,]cicc 12749  ...cfz 12905  ..^cfzo 13048  sincsin 15429  πcpi 15432  TopOpenctopn 16707  topGenctg 16723  ℂfldccnfld 20112  intcnt 21663  –cn→ccncf 23522   D cdv 24507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-shft 14438  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-ef 15433  df-sin 15435  df-cos 15436  df-pi 15438  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-t1 21960  df-haus 21961  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-limc 24510  df-dv 24511 This theorem is referenced by:  fourierdlem103  43019  fourierdlem104  43020
 Copyright terms: Public domain W3C validator