Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem72 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem72 44044
Description: The derivative of 𝑂 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem72.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem72.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem72.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem72.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem72.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem72.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem72.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem72.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem72.ab (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem72.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem72.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem72.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem72.u (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem72.abss (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
fourierdlem72.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
fourierdlem72.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem72.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝑖,𝐹   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝜑,𝑖   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑠)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 fourierdlem72.o . . . 4 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
2 ovex 7362 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
4 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 elioore 13202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11097 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
115, 10ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
12 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 11496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
15 ioossicc 13258 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615sseli 3927 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1716ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0)
1918necon1bi 2969 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ≠ 0 → 𝑠 = 0)
2019eleq1d 2821 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ≠ 0 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2614, 9, 25redivcld 11896 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
27 fourierdlem72.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2826, 27fmptd 7038 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2928ffvelcdmda 7011 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
30 2re 12140 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
329rehalfcld 12313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3332resincld 15943 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 11098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
35 2cnd 12144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
369recnd 11096 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
3736halfcld 12311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
3837sincld 15930 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
39 2ne0 12170 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
41 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4241sselda 3931 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
43 fourierdlem44 44017 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4442, 25, 43syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4535, 38, 40, 44mulne0d 11720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
469, 34, 45redivcld 11896 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
47 fourierdlem72.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4846, 47fmptd 7038 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4948ffvelcdmda 7011 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5028feqmptd 6887 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)))
5148feqmptd 6887 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)))
523, 29, 49, 50, 51offval2 7607 . . . 4 (𝜑 → (𝐻f · 𝐾) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
531, 52eqtr4id 2795 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝐻f · 𝐾))
5453oveq2d 7345 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝐻f · 𝐾)))
55 reelprrecn 11056 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5711recnd 11096 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
5812recnd 11096 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6057, 59subcld 11425 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
61 ioossre 13233 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6362sselda 3931 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6463recnd 11096 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6560, 64, 25divcld 11844 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℂ)
6665, 27fmptd 7038 . . 3 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6764halfcld 12311 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
6867sincld 15930 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6935, 68mulcld 11088 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
7064, 69, 45divcld 11844 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
7170, 47fmptd 7038 . . 3 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
72 ax-resscn 11021 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ssid 3953 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 cncfss 24160 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7773, 75, 76syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
78 fourierdlem72.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
79 fourierdlem72.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8025nelrdva 3650 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
814, 73fssd 6663 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3953 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
84 ioossre 13233 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
86 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8786tgioo2 24064 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8886, 87dvres 25173 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
90 ioontr 43374 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))
9190reseq2i 5914 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9289, 91eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9695fourierdlem2 43975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9893, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
9998simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 elmapi 8700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
103 elfzofz 13496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → 𝑈 ∈ (0...𝑀))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (0...𝑀))
105101, 104ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ)
106105rexrd 11118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ*)
107 fzofzp1 13577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
109101, 108ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
110109rexrd 11118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*)
111 pire 25713 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ)
113112renegcld 11495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
115113, 112, 6, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 43986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∧ (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈))))
116115simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈)))
117115simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋))
118105, 6resubcld 11496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∈ ℝ)
119117, 118eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ∈ ℝ)
120113, 112, 6, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 43986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1)))))
121120simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋))
122109, 6resubcld 11496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
123121, 122eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝐵)
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 43983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝑈) ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1))))
127126simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ≤ 𝐴)
128119, 78, 6, 127leadd2dd 11683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + (𝑄𝑈)) ≤ (𝑋 + 𝐴))
129116, 128eqbrtrd 5111 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴))
130126simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1)))
13179, 123, 6, 130leadd2dd 11683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
132120simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
133131, 132breqtrrd 5117 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))
134 ioossioo 13266 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑈) ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴) ∧ (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))) → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
136135resabs1d 5948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
137136eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
138102ancli 549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
139 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
140139anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))))
141 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑈))
142 oveq1 7336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 + 1) = (𝑈 + 1))
143142fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝑈 + 1)))
144141, 143oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑈 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
145144reseq2d 5917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))))
146144oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) = (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
147145, 146eleq12d 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
148140, 147imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑈 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)) ↔ ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))))
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
150148, 149vtoclg 3514 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
151102, 138, 150sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
152 rescncf 24158 . . . . . . . 8 (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)))
153135, 151, 152sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
154137, 153eqeltrd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
15592, 154eqeltrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
1564, 6, 78, 79, 80, 155, 12, 27fourierdlem59 44031 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
15777, 156sseldd 3932 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
158 iooretop 24027 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
159158a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
16047, 41, 80, 159fourierdlem58 44030 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
16177, 160sseldd 3932 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 43791 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐻f · 𝐾)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16354, 162eqeltrd 2837 1 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  {crab 3403  Vcvv 3441  wss 3897  {cpr 4574   class class class wbr 5089  cmpt 5172  ran crn 5615  cres 5616  wf 6469  cfv 6473  (class class class)co 7329  f cof 7585  m cmap 8678  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  *cxr 11101   < clt 11102  cle 11103  cmin 11298  -cneg 11299   / cdiv 11725  cn 12066  2c2 12121  (,)cioo 13172  [,]cicc 13175  ...cfz 13332  ..^cfzo 13475  sincsin 15864  πcpi 15867  TopOpenctopn 17221  topGenctg 17237  fldccnfld 20695  intcnt 22266  cnccncf 24137   D cdv 25125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-ef 15868  df-sin 15870  df-cos 15871  df-pi 15873  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-t1 22563  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44075  fourierdlem104  44076
  Copyright terms: Public domain W3C validator