Theorem ftc1cnnclem 37690

Description: Lemma for ftc1cnnc 37691; cf. ftc1lem4 25963. The stronger assumptions of ftc1cn 25967 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1cnnc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1cnnc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1cnnclem.c	⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1cnnclem.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑐)) / (𝑧 − 𝑐)))
ftc1cnnclem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
ftc1cnnclem.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅)
ftc1cnnclem.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.y2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1cnnclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑡   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑡   𝑦,𝐺,𝑧   𝑥,𝑐,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝑋,𝑧,𝑡   𝑦,𝐸,𝑡   𝑦,𝐻   𝑥,𝑌,𝑡   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑧,𝑐)   𝐹(𝑐)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑐)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝑋(𝑦,𝑐)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑐)

Proof of Theorem ftc1cnnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ V)
2		ftc1cnnc.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		ftc1cnnc.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		ftc1cnnclem.x1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		elicc1 13311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
9	8	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑋)
10	3, 5, 6, 9	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
11		ftc1cnnclem.y1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccleub 13323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌 ≤ 𝐵)
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
14		ioossioo 13363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15	3, 5, 10, 13, 14	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
16	15	sselda 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
17		ftc1cnnc.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
18		cncff 24803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
20	19	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
21	16, 20	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
22		ioombl 25483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
24		fvexd 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
25	19	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)))
26		ftc1cnnc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
27	25, 26	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
28	15, 23, 24, 27	iblss 25723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
29		ftc1cnnclem.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	19, 29	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
32		fconstmpt 5685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐))
33		mblvol 25448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
34	22, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
35		ioossicc 13355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
37		iccssre 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	2, 4, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	38, 6	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
40	38, 11	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		iccmbl 25484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
43		mblss 25449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
45		mblvol 25448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
47		iccvolcl 25485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
48	39, 40, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
49	46, 48	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
50		ovolsscl 25404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
51	36, 44, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
52	34, 51	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
53		iblconst 25736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈ 𝐿1)
54	23, 52, 30, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈ 𝐿1)
55	32, 54	eqeltrrid 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ 𝐿1)
56		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
57	56	subcn 24772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
59	19, 15	feqresmpt 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)))
60		rescncf 24807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
61	15, 17, 60	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
62	59, 61	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
63		ioossre 13329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
64		ax-resscn 11085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
65	63, 64	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ
66		ssid 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
67		cncfmptc 24822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
68	65, 66, 67	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
69	30, 68	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
70	56, 58, 62, 69	cncfmpt2f 24825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
71		cnmbf 25577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
72	22, 70, 71	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
73	21, 28, 31, 55, 72	iblsubnc 37680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ 𝐿1)
74	1, 73	itgcl 25702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
75	74	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
76	40, 39	resubcld 11567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
78	77	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
79	39, 40	posdifd 11726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋)))
80	79	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋))
81	80	gt0ne0d 11703	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ≠ 0)
82	75, 78, 81	divcld 11919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
83	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
84		ltle 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
85	39, 40, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
86	85	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
87		ftc1cnnc.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
88		ftc1cnnc.le	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
89		ssidd 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90		ioossre 13329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
92	87, 2, 4, 88, 89, 91, 26, 19, 6, 11	ftc1lem1 25959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
93	86, 92	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
94	21, 31	npcand 11498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) = (𝐹‘𝑡))
95	94	itgeq2dv 25700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
96	21, 31	subcld 11494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ ℂ)
97	94	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)))
98	97, 59	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)))
99		iblmbf 25685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
100	26, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
101		mbfres 25562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
102	100, 22, 101	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
103	98, 102	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
104	96, 73, 31, 55, 103	itgaddnc 37679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
105	95, 104	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
106	105	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
107		itgconst 25737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
108	23, 52, 30, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
110	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
111	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
112		ovolioo 25486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
113	110, 111, 86, 112	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
114	34, 113	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
115	114	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))
116	109, 115	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))
117	116	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))))
118	93, 106, 117	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))))
119	118	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)))
120	83, 78	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
121	75, 120, 78, 81	divdird 11957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
122	83, 78, 81	divcan4d 11925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (𝐹‘𝑐))
123	122	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)))
124	119, 121, 123	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)))
125	82, 83, 124	mvrraddd 11551	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))
126	125	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))))
127	75, 78, 81	absdivd 15384	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))))
128	76	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
129		0re 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
130		ltle 11223	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
131	129, 128, 130	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
132	80, 131	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))
133	128, 132	absidd 15349	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
134	133	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
135	126, 127, 134	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
136	75	abscld 15365	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ)
137	96	abscld 15365	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ)
138		cncfss 24809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
139	64, 66, 138	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
140		abscncf 24811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
141	139, 140	sselii 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
143	142, 70	cncfmpt1f 24824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
144		cnmbf 25577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
145	22, 143, 144	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
146	1, 73, 145	iblabsnc 37683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ 𝐿1)
147	137, 146	itgrecl 25716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
148	147	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
149		ftc1cnnclem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
150	149	rpred 12956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
151	76, 150	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
152	151	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
153	74	cjcld 15122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ)
154		cncfmptc 24822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
155	65, 66, 154	mp3an23 1455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
156	153, 155	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
157		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))
158		nfcsb1v 3877	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))
159		csbeq1a 3867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) = ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))
160	157, 158, 159	cbvmpt 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))
161	160, 70	eqeltrrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
162	156, 161	mulcncf 25363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
163		cnmbf 25577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
164	22, 162, 163	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
165	96, 73, 145, 164	itgabsnc 37688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)
166	165	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)
167		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
168	150	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
169		fconstmpt 5685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
170	149	rpcnd 12958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
171		iblconst 25736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
172	23, 52, 170, 171	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
173	169, 172	eqeltrrid 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
174		cncfmptc 24822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
175	65, 66, 174	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
176	170, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
177	56, 58, 176, 143	cncfmpt2f 24825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
178		cnmbf 25577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn)
179	22, 177, 178	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn)
180	168, 173, 137, 146, 179	iblsubnc 37680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ 𝐿1)
181	180	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ 𝐿1)
182		ftc1cnnclem.fc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
183	182	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
185	90, 29	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ ℝ)
186		ftc1cnnclem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
187	186	rpred 12956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
188	185, 187	resubcld 11567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ)
189	188	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ)
190	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
191		elioore 13297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
193		ftc1cnnclem.x2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅)
194	39, 185, 187	absdifltd 15362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅))))
195	193, 194	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))
196	195	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋)
197	196	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋)
198		eliooord 13327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
199	198	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
200	199	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
201	189, 190, 192, 197, 200	lttrd 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑡)
202	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
203	185, 187	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
204	203	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
205	199	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
206		ftc1cnnclem.y2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅)
207	40, 185, 187	absdifltd 15362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))))
208	206, 207	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))
209	208	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
210	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
211	192, 202, 204, 205, 210	lttrd 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))
212	185	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ)
213	187	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
214	192, 212, 213	absdifltd 15362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))))
215	201, 211, 214	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅)
216		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑡 − 𝑐)))
217	216	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅))
218	217	imbrov2fvoveq 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)))
219	218	rspcv 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)))
220	16, 184, 215, 219	syl3c 66	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)
221		difrp 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+))
222	137, 168, 221	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+))
223	220, 222	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+)
224	223	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+)
225	177	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
226	167, 181, 224, 225	itggt0cn 37689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡)
227	168, 173, 137, 146, 179	itgsubnc 37681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
228	227	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
229		itgconst 25737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
230	23, 52, 170, 229	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
231	230	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
232	114	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)))
233	170, 77	mulcomd 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
234	233	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
235	231, 232, 234	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
236	235	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
237	228, 236	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
238	226, 237	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
239	147, 151	posdifd 11726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)))
240	239	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
241	238, 240	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
242	136, 148, 152, 166, 241	lelttrd 11293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
243	150	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
244		ltdivmul 12019	. . . 4 ⊢ (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
245	136, 243, 128, 80, 244	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
246	242, 245	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸)
247	135, 246	eqbrtrd 5117	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438  ⦋csb 3853   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℝ⁺crp 12912  (,)cioo 13267  [,]cicc 13270  ∗ccj 15022  abscabs 15160  TopOpenctopn 17344  ℂ_fldccnfld 21280   Cn ccn 23128   ×_t ctx 23464  –cn→ccncf 24786  vol*covol 25380  volcvol 25381  MblFncmbf 25532  𝐿¹cibl 25535  ∫citg 25536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-cmp 23291  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-ovol 25382  df-vol 25383  df-mbf 25537  df-itg1 25538  df-itg2 25539  df-ibl 25540  df-itg 25541  df-0p 25588

This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  37691