Theorem ftc1cnnclem 37942

Description: Lemma for ftc1cnnc 37943; cf. ftc1lem4 26014. The stronger assumptions of ftc1cn 26018 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1cnnc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1cnnc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1cnnclem.c	⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1cnnclem.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑐)) / (𝑧 − 𝑐)))
ftc1cnnclem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
ftc1cnnclem.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅)
ftc1cnnclem.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.y2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1cnnclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑡   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑡   𝑦,𝐺,𝑧   𝑥,𝑐,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝑋,𝑧,𝑡   𝑦,𝐸,𝑡   𝑦,𝐻   𝑥,𝑌,𝑡   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑧,𝑐)   𝐹(𝑐)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑐)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝑋(𝑦,𝑐)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑐)

Proof of Theorem ftc1cnnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ V)
2		ftc1cnnc.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		ftc1cnnc.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		ftc1cnnclem.x1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		elicc1 13317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
9	8	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑋)
10	3, 5, 6, 9	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
11		ftc1cnnclem.y1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccleub 13329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌 ≤ 𝐵)
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
14		ioossioo 13369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15	3, 5, 10, 13, 14	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
16	15	sselda 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
17		ftc1cnnc.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
18		cncff 24854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
20	19	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
21	16, 20	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
22		ioombl 25534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
24		fvexd 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
25	19	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)))
26		ftc1cnnc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
27	25, 26	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
28	15, 23, 24, 27	iblss 25774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
29		ftc1cnnclem.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	19, 29	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
32		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐))
33		mblvol 25499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
34	22, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
35		ioossicc 13361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
37		iccssre 13357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	2, 4, 37	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	38, 6	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
40	38, 11	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		iccmbl 25535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
42	39, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
43		mblss 25500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
45		mblvol 25499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
47		iccvolcl 25536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
48	39, 40, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
49	46, 48	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
50		ovolsscl 25455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
51	36, 44, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
52	34, 51	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
53		iblconst 25787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈ 𝐿1)
54	23, 52, 30, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈ 𝐿1)
55	32, 54	eqeltrrid 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ 𝐿1)
56		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
57	56	subcn 24823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
59	19, 15	feqresmpt 6911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)))
60		rescncf 24858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
61	15, 17, 60	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
62	59, 61	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
63		ioossre 13335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
64		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
65	63, 64	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ
66		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
67		cncfmptc 24873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
68	65, 66, 67	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
69	30, 68	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
70	56, 58, 62, 69	cncfmpt2f 24876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
71		cnmbf 25628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
72	22, 70, 71	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
73	21, 28, 31, 55, 72	iblsubnc 37932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ 𝐿1)
74	1, 73	itgcl 25753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
75	74	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
76	40, 39	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
78	77	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
79	39, 40	posdifd 11736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋)))
80	79	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋))
81	80	gt0ne0d 11713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ≠ 0)
82	75, 78, 81	divcld 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
83	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
84		ltle 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
85	39, 40, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
86	85	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
87		ftc1cnnc.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
88		ftc1cnnc.le	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
89		ssidd 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90		ioossre 13335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
92	87, 2, 4, 88, 89, 91, 26, 19, 6, 11	ftc1lem1 26010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
93	86, 92	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
94	21, 31	npcand 11508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) = (𝐹‘𝑡))
95	94	itgeq2dv 25751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
96	21, 31	subcld 11504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ ℂ)
97	94	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)))
98	97, 59	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)))
99		iblmbf 25736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
100	26, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
101		mbfres 25613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
102	100, 22, 101	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
103	98, 102	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
104	96, 73, 31, 55, 103	itgaddnc 37931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
105	95, 104	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
106	105	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
107		itgconst 25788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
108	23, 52, 30, 107	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
110	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
111	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
112		ovolioo 25537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
113	110, 111, 86, 112	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
114	34, 113	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
115	114	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))
116	109, 115	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))
117	116	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))))
118	93, 106, 117	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))))
119	118	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)))
120	83, 78	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
121	75, 120, 78, 81	divdird 11967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
122	83, 78, 81	divcan4d 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (𝐹‘𝑐))
123	122	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)))
124	119, 121, 123	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)))
125	82, 83, 124	mvrraddd 11561	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))
126	125	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))))
127	75, 78, 81	absdivd 15393	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))))
128	76	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
129		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
130		ltle 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
131	129, 128, 130	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
132	80, 131	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))
133	128, 132	absidd 15358	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
134	133	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
135	126, 127, 134	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
136	75	abscld 15374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ)
137	96	abscld 15374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ)
138		cncfss 24860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
139	64, 66, 138	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
140		abscncf 24862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
141	139, 140	sselii 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
143	142, 70	cncfmpt1f 24875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
144		cnmbf 25628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
145	22, 143, 144	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
146	1, 73, 145	iblabsnc 37935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ 𝐿1)
147	137, 146	itgrecl 25767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
148	147	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
149		ftc1cnnclem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
150	149	rpred 12961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
151	76, 150	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
152	151	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
153	74	cjcld 15131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ)
154		cncfmptc 24873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
155	65, 66, 154	mp3an23 1456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
156	153, 155	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
157		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))
158		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))
159		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) = ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))
160	157, 158, 159	cbvmpt 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))
161	160, 70	eqeltrrid 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
162	156, 161	mulcncf 25414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
163		cnmbf 25628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
164	22, 162, 163	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
165	96, 73, 145, 164	itgabsnc 37940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)
166	165	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)
167		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
168	150	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
169		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
170	149	rpcnd 12963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
171		iblconst 25787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
172	23, 52, 170, 171	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
173	169, 172	eqeltrrid 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
174		cncfmptc 24873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
175	65, 66, 174	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
176	170, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
177	56, 58, 176, 143	cncfmpt2f 24876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
178		cnmbf 25628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn)
179	22, 177, 178	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn)
180	168, 173, 137, 146, 179	iblsubnc 37932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ 𝐿1)
181	180	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ 𝐿1)
182		ftc1cnnclem.fc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
183	182	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
185	90, 29	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ ℝ)
186		ftc1cnnclem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
187	186	rpred 12961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
188	185, 187	resubcld 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ)
189	188	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ)
190	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
191		elioore 13303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
193		ftc1cnnclem.x2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅)
194	39, 185, 187	absdifltd 15371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅))))
195	193, 194	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))
196	195	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋)
197	196	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋)
198		eliooord 13333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
199	198	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
200	199	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
201	189, 190, 192, 197, 200	lttrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑡)
202	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
203	185, 187	readdcld 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
204	203	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
205	199	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
206		ftc1cnnclem.y2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅)
207	40, 185, 187	absdifltd 15371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))))
208	206, 207	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))
209	208	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
210	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
211	192, 202, 204, 205, 210	lttrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))
212	185	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ)
213	187	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
214	192, 212, 213	absdifltd 15371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))))
215	201, 211, 214	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅)
216		fvoveq1 7391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑡 − 𝑐)))
217	216	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅))
218	217	imbrov2fvoveq 7393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)))
219	218	rspcv 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)))
220	16, 184, 215, 219	syl3c 66	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)
221		difrp 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+))
222	137, 168, 221	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+))
223	220, 222	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+)
224	223	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+)
225	177	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
226	167, 181, 224, 225	itggt0cn 37941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡)
227	168, 173, 137, 146, 179	itgsubnc 37933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
228	227	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
229		itgconst 25788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
230	23, 52, 170, 229	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
231	230	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
232	114	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)))
233	170, 77	mulcomd 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
234	233	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
235	231, 232, 234	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
236	235	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
237	228, 236	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
238	226, 237	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
239	147, 151	posdifd 11736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)))
240	239	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
241	238, 240	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
242	136, 148, 152, 166, 241	lelttrd 11303	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
243	150	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
244		ltdivmul 12029	. . . 4 ⊢ (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
245	136, 243, 128, 80, 244	syl112anc 1377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
246	242, 245	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸)
247	135, 246	eqbrtrd 5122	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ⦋csb 3851   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  ∗ccj 15031  abscabs 15169  TopOpenctopn 17353  ℂ_fldccnfld 21321   Cn ccn 23180   ×_t ctx 23516  –cn→ccncf 24837  vol*covol 25431  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  𝐿¹cibl 25586  ∫citg 25587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-itg2 25590  df-ibl 25591  df-itg 25592  df-0p 25639

This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  37943