Theorem ftc1cnnclem 38589

Description: Lemma for ftc1cnnc 38590; cf. ftc1lem4 26352. The stronger assumptions of ftc1cn 26356 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1cnnc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1cnnc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1cnnclem.c	⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1cnnclem.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝑐)) / (𝑧 − 𝑐)))
ftc1cnnclem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
ftc1cnnclem.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅)
ftc1cnnclem.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.y2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ftc1cnnclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑡   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑡   𝑦,𝐺,𝑧   𝑥,𝑐,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝑋,𝑧,𝑡   𝑦,𝐸,𝑡   𝑦,𝐻   𝑥,𝑌,𝑡   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑥, 𝑧, 𝑡, 𝑐)   𝐸(𝑥, 𝑧, 𝑐)   𝐹(𝑐)   𝐺(𝑥, 𝑡, 𝑐)   𝐻(𝑥, 𝑧, 𝑡, 𝑐)   𝑋(𝑦, 𝑐)   𝑌(𝑦, 𝑧, 𝑐)

Proof of Theorem ftc1cnnclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ V)
2		ftc1cnnc.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		ftc1cnnc.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		ftc1cnnclem.x1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7		elicc1 13513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
8	7	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
9	8	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑋)
10	3, 5, 6, 9	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
11		ftc1cnnclem.y1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccleub 13525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌 ≤ 𝐵)
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
14		ioossioo 13565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
15	3, 5, 10, 13, 14	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
16	15	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
17		ftc1cnnc.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
18		cncff 25207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
20	19	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
21	16, 20	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
22		ioombl 25879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
24		fvexd 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
25	19	feqmptd 6951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)))
26		ftc1cnnc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
27	25, 26	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
28	15, 23, 24, 27	iblss 26118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
29		ftc1cnnclem.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	19, 29	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
32		fconstmpt 5713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐))
33		mblvol 25844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
34	22, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
35		ioossicc 13557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
37		iccssre 13553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
38	2, 4, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
39	38, 6	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
40	38, 11	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41		iccmbl 25880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
42	39, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
43		mblss 25845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
45		mblvol 25844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
46	42, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
47		iccvolcl 25881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
48	39, 40, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
49	46, 48	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
50		ovolsscl 25800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
51	36, 44, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
52	34, 51	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
53		iblconst 26131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈ 𝐿1)
54	23, 52, 30, 53	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈ 𝐿1)
55	32, 54	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ 𝐿1)
56		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
57	56	subcn 25179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
59	19, 15	feqresmpt 6952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)))
60		rescncf 25211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
61	15, 17, 60	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
62	59, 61	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
63		ioossre 13531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
64		ax-resscn 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
65	63, 64	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ
66		ssid 3953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
67		cncfmptc 25226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
68	65, 66, 67	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
69	30, 68	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
70	56, 58, 62, 69	cncfmpt2f 25229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
71		cnmbf 25973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
72	22, 70, 71	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
73	21, 28, 31, 55, 72	iblsubnc 38579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ 𝐿1)
74	1, 73	itgcl 26097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
75	74	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
76	40, 39	resubcld 11737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
78	77	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
79	39, 40	posdifd 11896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋)))
80	79	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋))
81	80	gt0ne0d 11873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ≠ 0)
82	75, 78, 81	divcld 12086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
83	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
84		ltle 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
85	39, 40, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
86	85	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
87		ftc1cnnc.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
88		ftc1cnnc.le	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
89		ssidd 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90		ioossre 13531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
92	87, 2, 4, 88, 89, 91, 26, 19, 6, 11	ftc1lem1 26348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
93	86, 92	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
94	21, 31	npcand 11666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) = (𝐹‘𝑡))
95	94	itgeq2dv 26095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
96	21, 31	subcld 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ ℂ)
97	94	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)))
98	97, 59	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)))
99		iblmbf 26081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
100	26, 99	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
101		mbfres 25958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
102	100, 22, 101	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
103	98, 102	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn)
104	96, 73, 31, 55, 103	itgaddnc 38578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
105	95, 104	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
106	105	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡))
107		itgconst 26132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
108	23, 52, 30, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
109	108	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
110	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
111	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
112		ovolioo 25882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
113	110, 111, 86, 112	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
114	34, 113	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
115	114	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))
116	109, 115	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))
117	116	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))))
118	93, 106, 117	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))))
119	118	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)))
120	83, 78	mulcld 11322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
121	75, 120, 78, 81	divdird 12124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
122	83, 78, 81	divcan4d 12092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (𝐹‘𝑐))
123	122	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)))
124	119, 121, 123	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)))
125	82, 83, 124	mvrraddd 11720	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))
126	125	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))))
127	75, 78, 81	absdivd 15618	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))))
128	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
129		0re 11303	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
130		ltle 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
131	129, 128, 130	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
132	80, 131	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))
133	128, 132	absidd 15583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
134	133	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
135	126, 127, 134	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
136	75	abscld 15599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ)
137	96	abscld 15599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ)
138		cncfss 25213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
139	64, 66, 138	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
140		abscncf 25215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
141	139, 140	sselii 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
143	142, 70	cncfmpt1f 25228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
144		cnmbf 25973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
145	22, 143, 144	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
146	1, 73, 145	iblabsnc 38582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ 𝐿1)
147	137, 146	itgrecl 26111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
148	147	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
149		ftc1cnnclem.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
150	149	rpred 13157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
151	76, 150	remulcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
152	151	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
153	74	cjcld 15356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ)
154		cncfmptc 25226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
155	65, 66, 154	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
156	153, 155	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
157		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))
158		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))
159		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) = ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))
160	157, 158, 159	cbvmpt 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))
161	160, 70	eqeltrrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
162	156, 161	mulcncf 25760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
163		cnmbf 25973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
164	22, 162, 163	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn)
165	96, 73, 145, 164	itgabsnc 38587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)
166	165	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)
167		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
168	150	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
169		fconstmpt 5713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
170	149	rpcnd 13159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
171		iblconst 26131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
172	23, 52, 170, 171	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
173	169, 172	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
174		cncfmptc 25226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
175	65, 66, 174	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
176	170, 175	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
177	56, 58, 176, 143	cncfmpt2f 25229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
178		cnmbf 25973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn)
179	22, 177, 178	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn)
180	168, 173, 137, 146, 179	iblsubnc 38579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ 𝐿1)
181	180	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ 𝐿1)
182		ftc1cnnclem.fc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
183	182	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
184	183	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))
185	90, 29	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ ℝ)
186		ftc1cnnclem.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
187	186	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
188	185, 187	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ)
189	188	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ)
190	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
191		elioore 13499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
192	191	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
193		ftc1cnnclem.x2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅)
194	39, 185, 187	absdifltd 15596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅))))
195	193, 194	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))
196	195	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋)
197	196	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋)
198		eliooord 13529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
199	198	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
200	199	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
201	189, 190, 192, 197, 200	lttrd 11464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑡)
202	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
203	185, 187	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
204	203	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
205	199	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
206		ftc1cnnclem.y2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅)
207	40, 185, 187	absdifltd 15596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))))
208	206, 207	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))
209	208	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
210	209	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
211	192, 202, 204, 205, 210	lttrd 11464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))
212	185	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ)
213	187	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
214	192, 212, 213	absdifltd 15596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))))
215	201, 211, 214	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅)
216		fvoveq1 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑡 − 𝑐)))
217	216	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅))
218	217	imbrov2fvoveq 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)))
219	218	rspcv 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)))
220	16, 184, 215, 219	syl3c 67	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)
221		difrp 13153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+))
222	137, 168, 221	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+))
223	220, 222	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+)
224	223	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ℝ+)
225	177	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
226	167, 181, 224, 225	itggt0cn 38588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡)
227	168, 173, 137, 146, 179	itgsubnc 38580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
228	227	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
229		itgconst 26132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
230	23, 52, 170, 229	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
231	230	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
232	114	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)))
233	170, 77	mulcomd 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
234	233	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
235	231, 232, 234	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
236	235	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
237	228, 236	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
238	226, 237	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))
239	147, 151	posdifd 11896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)))
240	239	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
241	238, 240	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
242	136, 148, 152, 166, 241	lelttrd 11461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
243	150	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
244		ltdivmul 12185	. . . 4 ⊢ (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
245	136, 243, 128, 80, 244	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
246	242, 245	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸)
247	135, 246	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193   + caddc 11196   · cmul 11198  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℝ⁺crp 13113  (,)cioo 13469  [,]cicc 13472  ∗ccj 15256  abscabs 15394  TopOpenctopn 17585  ℂ_fldccnfld 21671   Cn ccn 23535   ×_t ctx 23872  –cn→ccncf 25190  vol*covol 25776  volcvol 25777  MblFncmbf 25928  𝐿¹cibl 25931  ∫citg 25932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933  df-itg1 25934  df-itg2 25935  df-ibl 25936  df-itg 25937  df-0p 25984

This theorem is used by:  ftc1cnnc  38590