Proof of Theorem ftc1cnnclem
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ V) |
| 2 | | ftc1cnnc.a |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 3 | 2 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 4 | | ftc1cnnc.b |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 5 | 4 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 6 | | ftc1cnnclem.x1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 7 | | elicc1 13431 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))) |
| 8 | 7 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)) |
| 9 | 8 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑋) |
| 10 | 3, 5, 6, 9 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋) |
| 11 | | ftc1cnnclem.y1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 12 | | iccleub 13442 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝑌
∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌 ≤ 𝐵) |
| 13 | 3, 5, 11, 12 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵) |
| 14 | | ioossioo 13481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
| 15 | 3, 5, 10, 13, 14 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
| 16 | 15 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
| 17 | | ftc1cnnc.f |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) |
| 18 | | cncff 24919 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
| 19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
| 20 | 19 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) |
| 21 | 16, 20 | syldan 591 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) |
| 22 | | ioombl 25600 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol |
| 23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) |
| 24 | | fvexd 6921 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V) |
| 25 | 19 | feqmptd 6977 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡))) |
| 26 | | ftc1cnnc.i |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈
𝐿1) |
| 27 | 25, 26 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈
𝐿1) |
| 28 | 15, 23, 24, 27 | iblss 25840 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈
𝐿1) |
| 29 | | ftc1cnnclem.c |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
| 30 | 19, 29 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) |
| 31 | 30 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) |
| 32 | | fconstmpt 5747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) |
| 33 | | mblvol 25565 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))) |
| 34 | 22, 33 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) |
| 35 | | ioossicc 13473 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) |
| 36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
| 37 | | iccssre 13469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
| 38 | 2, 4, 37 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
| 39 | 38, 6 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 40 | 38, 11 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 41 | | iccmbl 25601 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol) |
| 42 | 39, 40, 41 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol) |
| 43 | | mblss 25566 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
| 44 | 42, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
| 45 | | mblvol 25565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌))) |
| 46 | 42, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌))) |
| 47 | | iccvolcl 25602 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) →
(vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈
ℝ) |
| 48 | 39, 40, 47 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) |
| 49 | 46, 48 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) |
| 50 | | ovolsscl 25521 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ) |
| 51 | 36, 44, 49, 50 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ) |
| 52 | 34, 51 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ) |
| 53 | | iblconst 25853 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈
𝐿1) |
| 54 | 23, 52, 30, 53 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈
𝐿1) |
| 55 | 32, 54 | eqeltrrid 2846 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈
𝐿1) |
| 56 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 57 | 56 | subcn 24888 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ −
∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
| 58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → − ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
| 59 | 19, 15 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡))) |
| 60 | | rescncf 24923 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))) |
| 61 | 15, 17, 60 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 62 | 59, 61 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 63 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ |
| 64 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 65 | 63, 64 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ |
| 66 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
| 67 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑡 ∈
(𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 68 | 65, 66, 67 | mp3an23 1455 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 69 | 30, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 70 | 56, 58, 62, 69 | cncfmpt2f 24941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 71 | | cnmbf 25694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn) |
| 72 | 22, 70, 71 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn) |
| 73 | 21, 28, 31, 55, 72 | iblsubnc 37688 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈
𝐿1) |
| 74 | 1, 73 | itgcl 25819 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ) |
| 75 | 74 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ) |
| 76 | 40, 39 | resubcld 11691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 77 | 76 | recnd 11289 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ) |
| 78 | 77 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ) |
| 79 | 39, 40 | posdifd 11850 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋))) |
| 80 | 79 | biimpa 476 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋)) |
| 81 | 80 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ≠ 0) |
| 82 | 75, 78, 81 | divcld 12043 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ) |
| 83 | 30 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) |
| 84 | | ltle 11349 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌)) |
| 85 | 39, 40, 84 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌)) |
| 86 | 85 | imp 406 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌) |
| 87 | | ftc1cnnc.g |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
| 88 | | ftc1cnnc.le |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 89 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
| 90 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ |
| 91 | 90 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) |
| 92 | 87, 2, 4, 88, 89, 91, 26, 19, 6, 11 | ftc1lem1 26076 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
| 93 | 86, 92 | syldan 591 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
| 94 | 21, 31 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) = (𝐹‘𝑡)) |
| 95 | 94 | itgeq2dv 25817 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
| 96 | 21, 31 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ ℂ) |
| 97 | 94 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡))) |
| 98 | 97, 59 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))) |
| 99 | | iblmbf 25802 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1
→ 𝐹 ∈
MblFn) |
| 100 | 26, 99 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
| 101 | | mbfres 25679 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn) |
| 102 | 100, 22, 101 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn) |
| 103 | 98, 102 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn) |
| 104 | 96, 73, 31, 55, 103 | itgaddnc 37687 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡)) |
| 105 | 95, 104 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡)) |
| 106 | 105 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡)) |
| 107 | | itgconst 25854 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
| 108 | 23, 52, 30, 107 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
| 109 | 108 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
| 110 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 111 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 112 | | ovolioo 25603 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋)) |
| 113 | 110, 111,
86, 112 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋)) |
| 114 | 34, 113 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋)) |
| 115 | 114 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) |
| 116 | 109, 115 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) |
| 117 | 116 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))) |
| 118 | 93, 106, 117 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))) |
| 119 | 118 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋))) |
| 120 | 83, 78 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ) |
| 121 | 75, 120, 78, 81 | divdird 12081 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))) |
| 122 | 83, 78, 81 | divcan4d 12049 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (𝐹‘𝑐)) |
| 123 | 122 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐))) |
| 124 | 119, 121,
123 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐))) |
| 125 | 82, 83, 124 | mvrraddd 11675 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) |
| 126 | 125 | fveq2d 6910 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))) |
| 127 | 75, 78, 81 | absdivd 15494 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋)))) |
| 128 | 76 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 129 | | 0re 11263 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 130 | | ltle 11349 |
. . . . . . 7
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (𝑌
− 𝑋) ∈ ℝ)
→ (0 < (𝑌 −
𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))) |
| 131 | 129, 128,
130 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))) |
| 132 | 80, 131 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)) |
| 133 | 128, 132 | absidd 15461 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) = (𝑌 − 𝑋)) |
| 134 | 133 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋))) |
| 135 | 126, 127,
134 | 3eqtrd 2781 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋))) |
| 136 | 75 | abscld 15475 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ) |
| 137 | 96 | abscld 15475 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ) |
| 138 | | cncfss 24925 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℝ
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 139 | 64, 66, 138 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(ℂ–cn→ℝ)
⊆ (ℂ–cn→ℂ) |
| 140 | | abscncf 24927 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ abs
∈ (ℂ–cn→ℝ) |
| 141 | 139, 140 | sselii 3980 |
. . . . . . . . . 10
⊢ abs
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
| 142 | 141 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → abs ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
| 143 | 142, 70 | cncfmpt1f 24940 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 144 | | cnmbf 25694 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
| 145 | 22, 143, 144 | sylancr 587 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
| 146 | 1, 73, 145 | iblabsnc 37691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
𝐿1) |
| 147 | 137, 146 | itgrecl 25833 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ) |
| 148 | 147 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ) |
| 149 | | ftc1cnnclem.e |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
| 150 | 149 | rpred 13077 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 151 | 76, 150 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ) |
| 152 | 151 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ) |
| 153 | 74 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
(∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ) |
| 154 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑥 ∈
(𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 155 | 65, 66, 154 | mp3an23 1455 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 156 | 153, 155 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 157 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) |
| 158 | | nfcsb1v 3923 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑡⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) |
| 159 | | csbeq1a 3913 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) = ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) |
| 160 | 157, 158,
159 | cbvmpt 5253 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) |
| 161 | 160, 70 | eqeltrrid 2846 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 162 | 156, 161 | mulcncf 25480 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 163 | | cnmbf 25694 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
| 164 | 22, 162, 163 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
| 165 | 96, 73, 145, 164 | itgabsnc 37696 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) |
| 166 | 165 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) |
| 167 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌) |
| 168 | 150 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 169 | | fconstmpt 5747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) |
| 170 | 149 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
| 171 | | iblconst 25853 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈
𝐿1) |
| 172 | 23, 52, 170, 171 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈
𝐿1) |
| 173 | 169, 172 | eqeltrrid 2846 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈
𝐿1) |
| 174 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑡 ∈
(𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 175 | 65, 66, 174 | mp3an23 1455 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 176 | 170, 175 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 177 | 56, 58, 176, 143 | cncfmpt2f 24941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 178 | | cnmbf 25694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn) |
| 179 | 22, 177, 178 | sylancr 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn) |
| 180 | 168, 173,
137, 146, 179 | iblsubnc 37688 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈
𝐿1) |
| 181 | 180 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈
𝐿1) |
| 182 | | ftc1cnnclem.fc |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
| 183 | 182 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
| 184 | 183 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
| 185 | 90, 29 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ ℝ) |
| 186 | | ftc1cnnclem.r |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ+) |
| 187 | 186 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 188 | 185, 187 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ) |
| 189 | 188 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ) |
| 190 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 191 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 192 | 191 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 193 | | ftc1cnnclem.x2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅) |
| 194 | 39, 185, 187 | absdifltd 15472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))) |
| 195 | 193, 194 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅))) |
| 196 | 195 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋) |
| 197 | 196 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋) |
| 198 | | eliooord 13446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌)) |
| 199 | 198 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌)) |
| 200 | 199 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡) |
| 201 | 189, 190,
192, 197, 200 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑡) |
| 202 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 203 | 185, 187 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ) |
| 204 | 203 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ) |
| 205 | 199 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌) |
| 206 | | ftc1cnnclem.y2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅) |
| 207 | 40, 185, 187 | absdifltd 15472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))) |
| 208 | 206, 207 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))) |
| 209 | 208 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)) |
| 210 | 209 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)) |
| 211 | 192, 202,
204, 205, 210 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅)) |
| 212 | 185 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ) |
| 213 | 187 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 214 | 192, 212,
213 | absdifltd 15472 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝑐 + 𝑅)))) |
| 215 | 201, 211,
214 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅) |
| 216 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑡 − 𝑐))) |
| 217 | 216 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅)) |
| 218 | 217 | imbrov2fvoveq 7456 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))) |
| 219 | 218 | rspcv 3618 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))) |
| 220 | 16, 184, 215, 219 | syl3c 66 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) |
| 221 | | difrp 13073 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+)) |
| 222 | 137, 168,
221 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+)) |
| 223 | 220, 222 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+) |
| 224 | 223 | adantlr 715 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+) |
| 225 | 177 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
| 226 | 167, 181,
224, 225 | itggt0cn 37697 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡) |
| 227 | 168, 173,
137, 146, 179 | itgsubnc 37689 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
| 228 | 227 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
| 229 | | itgconst 25854 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
| 230 | 23, 52, 170, 229 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
| 231 | 230 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
| 232 | 114 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌 − 𝑋))) |
| 233 | 170, 77 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
| 234 | 233 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
| 235 | 231, 232,
234 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
| 236 | 235 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
| 237 | 228, 236 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
| 238 | 226, 237 | breqtrd 5169 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
| 239 | 147, 151 | posdifd 11850 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))) |
| 240 | 239 | biimpar 477 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
| 241 | 238, 240 | syldan 591 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
| 242 | 136, 148,
152, 166, 241 | lelttrd 11419 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
| 243 | 150 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 244 | | ltdivmul 12143 |
. . . 4
⊢
(((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))) |
| 245 | 136, 243,
128, 80, 244 | syl112anc 1376 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))) |
| 246 | 242, 245 | mpbird 257 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸) |
| 247 | 135, 246 | eqbrtrd 5165 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) |