Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1cnnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1cnnclem 37677
Description: Lemma for ftc1cnnc 37678; cf. ftc1lem4 26094. The stronger assumptions of ftc1cn 26098 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1cnnc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1cnnclem.c (𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1cnnclem.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
ftc1cnnclem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.fc ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
ftc1cnnclem.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑐)) < 𝑅)
ftc1cnnclem.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑐)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑡   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑡   𝑦,𝐺,𝑧   𝑥,𝑐,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝑋,𝑧,𝑡   𝑦,𝐸,𝑡   𝑦,𝐻   𝑥,𝑌,𝑡   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑧,𝑐)   𝐹(𝑐)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑐)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝑋(𝑦,𝑐)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑐)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
StepHypRef Expression
1 ovexd 7465 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) ∈ V)
2 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11308 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 11308 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7 elicc1 13427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
87biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵))
98simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑋)
103, 5, 6, 9syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
11 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 iccleub 13438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌𝐵)
133, 5, 11, 12syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝐵)
14 ioossioo 13477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝑌𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
153, 5, 10, 13, 14syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1615sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
17 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
18 cncff 24932 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2019ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
2116, 20syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
22 ioombl 25613 . . . . . . . . . . 11 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
24 fvexd 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
2519feqmptd 6976 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑡)))
26 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
2725, 26eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
2815, 23, 24, 27iblss 25854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
29 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3019, 29ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
32 fconstmpt 5750 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐))
33 mblvol 25578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
3422, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
35 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
37 iccssre 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
382, 4, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3938, 6sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4038, 11sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
41 iccmbl 25614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
43 mblss 25579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
45 mblvol 25578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
47 iccvolcl 25615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
4839, 40, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
4946, 48eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
50 ovolsscl 25534 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
5136, 44, 49, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
5234, 51eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
53 iblconst 25867 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝑐)}) ∈ 𝐿1)
5423, 52, 30, 53syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝑐)}) ∈ 𝐿1)
5532, 54eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ 𝐿1)
56 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5756subcn 24901 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5919, 15feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)))
60 rescncf 24936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
6115, 17, 60sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
6259, 61eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
63 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
64 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
6563, 64sstri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ
66 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
67 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
6865, 66, 67mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
6930, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7056, 58, 62, 69cncfmpt2f 24954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
71 cnmbf 25707 . . . . . . . . . 10 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ MblFn)
7222, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ MblFn)
7321, 28, 31, 55, 72iblsubnc 37667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ 𝐿1)
741, 73itgcl 25833 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
7574adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
7640, 39resubcld 11688 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
7776recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
7877adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
7939, 40posdifd 11847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
8079biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
8180gt0ne0d 11824 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
8275, 78, 81divcld 12040 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
8330adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
84 ltle 11346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8539, 40, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
8685imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
87 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
88 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
89 ssidd 4018 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
90 ioossre 13444 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9287, 2, 4, 88, 89, 91, 26, 19, 6, 11ftc1lem1 26090 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
9386, 92syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
9421, 31npcand 11621 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐)) = (𝐹𝑡))
9594itgeq2dv 25831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
9621, 31subcld 11617 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) ∈ ℂ)
9794mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)))
9897, 59eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)))
99 iblmbf 25816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
10026, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
101 mbfres 25692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
102100, 22, 101sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
10398, 102eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐))) ∈ MblFn)
10496, 73, 31, 55, 103itgaddnc 37666 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡))
10595, 104eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡))
106105adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡))
107 itgconst 25868 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
10823, 52, 30, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
109108adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
11039adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
11140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
112 ovolioo 25616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
113110, 111, 86, 112syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
11434, 113eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
115114oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)))
116109, 115eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)))
117116oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))))
11893, 106, 1173eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))))
119118oveq1d 7445 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
12083, 78mulcld 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
12175, 120, 78, 81divdird 12078 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
12283, 78, 81divcan4d 12046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝑐))
123122oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝑐)))
124119, 121, 1233eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝑐)))
12582, 83, 124mvrraddd 11672 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
126125fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
12775, 78, 81absdivd 15490 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
12876adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
129 0re 11260 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
130 ltle 11346 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
131129, 128, 130sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
13280, 131mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
133128, 132absidd 15457 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
134133oveq2d 7446 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
135126, 127, 1343eqtrd 2778 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
13675abscld 15471 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ)
13796abscld 15471 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ℝ)
138 cncfss 24938 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
13964, 66, 138mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
140 abscncf 24940 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
141139, 140sselii 3991 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
142141a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
143142, 70cncfmpt1f 24953 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
144 cnmbf 25707 . . . . . . . 8 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
14522, 143, 144sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
1461, 73, 145iblabsnc 37670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ 𝐿1)
147137, 146itgrecl 25847 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
148147adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
149 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
150149rpred 13074 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
15176, 150remulcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
152151adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
15374cjcld 15231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ)
154 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . 10 (((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
15565, 66, 154mp3an23 1452 . . . . . . . . 9 ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
156153, 155syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
157 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))
158 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))
159 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) = 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))
160157, 158, 159cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))
161160, 70eqeltrrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
162156, 161mulcncf 25493 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
163 cnmbf 25707 . . . . . . 7 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
16422, 162, 163sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
16596, 73, 145, 164itgabsnc 37675 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)
166165adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)
167 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
168150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
169 fconstmpt 5750 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
170149rpcnd 13076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
171 iblconst 25867 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
17223, 52, 170, 171syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
173169, 172eqeltrrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
174 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
17565, 66, 174mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
176170, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
17756, 58, 176, 143cncfmpt2f 24954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
178 cnmbf 25707 . . . . . . . . . 10 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ MblFn)
17922, 177, 178sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ MblFn)
180168, 173, 137, 146, 179iblsubnc 37667 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ 𝐿1)
181180adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ 𝐿1)
182 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
183182ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
184183adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
18590, 29sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑐 ∈ ℝ)
186 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
187186rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
188185, 187resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐𝑅) ∈ ℝ)
189188adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐𝑅) ∈ ℝ)
19039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
191 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
192191adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
193 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑐)) < 𝑅)
19439, 185, 187absdifltd 15468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝑐 + 𝑅))))
195193, 194mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑐𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))
196195simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐𝑅) < 𝑋)
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐𝑅) < 𝑋)
198 eliooord 13442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
199198adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
200199simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
201189, 190, 192, 197, 200lttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐𝑅) < 𝑡)
20240adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
203185, 187readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
205199simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
206 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑐)) < 𝑅)
20740, 185, 187absdifltd 15468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝑐 + 𝑅))))
208206, 207mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑐𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))
209208simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
210209adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
211192, 202, 204, 205, 210lttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))
212185adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ)
213187adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
214192, 212, 213absdifltd 15468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝑐 + 𝑅))))
215201, 211, 214mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅)
216 fvoveq1 7453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝑐)) = (abs‘(𝑡𝑐)))
217216breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅))
218217imbrov2fvoveq 7455 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)))
219218rspcv 3617 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)))
22016, 184, 215, 219syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)
221 difrp 13070 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+))
222137, 168, 221syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+))
223220, 222mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+)
224223adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+)
225177adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
226167, 181, 224, 225itggt0cn 37676 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡)
227168, 173, 137, 146, 179itgsubnc 37668 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
228227adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
229 itgconst 25868 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
23023, 52, 170, 229syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
231230adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
232114oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
233170, 77mulcomd 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
234233adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
235231, 232, 2343eqtrd 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
236235oveq1d 7445 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
237228, 236eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
238226, 237breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
239147, 151posdifd 11847 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)))
240239biimpar 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
241238, 240syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
242136, 148, 152, 166, 241lelttrd 11416 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
243150adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
244 ltdivmul 12140 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
245136, 243, 128, 80, 244syl112anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
246242, 245mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
247135, 246eqbrtrd 5169 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  csb 3907  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  dom cdm 5688  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  ccj 15131  abscabs 15269  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583  cnccncf 24915  vol*covol 25510  volcvol 25511  MblFncmbf 25662  𝐿1cibl 25665  citg 25666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  37678
  Copyright terms: Public domain W3C validator