Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscnrm3llem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscnrm3llem1 46737
Description: Lemma for iscnrm3l 46739. Closed sets in the subspace are subsets of the underlying set of the original topology. (Contributed by Zhi Wang, 4-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
iscnrm3llem1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐽𝐷 ∈ 𝒫 𝐽))

Proof of Theorem iscnrm3llem1
StepHypRef Expression
1 simp22 1208 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)))
2 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqidd 2739 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐽 = 𝐽)
4 simp21 1207 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝐽)
54elpwid 4568 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝑍 𝐽)
6 eqidd 2739 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (𝐽t 𝑍) = (𝐽t 𝑍))
72, 3, 5, 6, 1restcls2lem 46700 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶𝑍)
87, 5sstrd 3953 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶 𝐽)
91, 8elpwd 4565 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶 ∈ 𝒫 𝐽)
10 simp23 1209 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)))
112, 3, 5, 6, 10restcls2lem 46700 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷𝑍)
1211, 5sstrd 3953 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷 𝐽)
1310, 12elpwd 4565 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷 ∈ 𝒫 𝐽)
149, 13jca 513 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐽𝐷 ∈ 𝒫 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3908  c0 4281  𝒫 cpw 4559   cuni 4864  cfv 6492  (class class class)co 7350  t crest 17237  Topctop 22165  Clsdccld 22290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-en 8818  df-fin 8821  df-fi 9281  df-rest 17239  df-topgen 17260  df-top 22166  df-topon 22183  df-bases 22219  df-cld 22293
This theorem is referenced by:  iscnrm3l  46739
  Copyright terms: Public domain W3C validator