Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscnrm3llem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscnrm3llem1 48819
Description: Lemma for iscnrm3l 48821. Closed sets in the subspace are subsets of the underlying set of the original topology. (Contributed by Zhi Wang, 4-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
iscnrm3llem1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐽𝐷 ∈ 𝒫 𝐽))

Proof of Theorem iscnrm3llem1
StepHypRef Expression
1 simp22 1208 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)))
2 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐽 = 𝐽)
4 simp21 1207 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝒫 𝐽)
54elpwid 4607 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝑍 𝐽)
6 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (𝐽t 𝑍) = (𝐽t 𝑍))
72, 3, 5, 6, 1restcls2lem 48783 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶𝑍)
87, 5sstrd 3993 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶 𝐽)
91, 8elpwd 4604 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐶 ∈ 𝒫 𝐽)
10 simp23 1209 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)))
112, 3, 5, 6, 10restcls2lem 48783 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷𝑍)
1211, 5sstrd 3993 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷 𝐽)
1310, 12elpwd 4604 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → 𝐷 ∈ 𝒫 𝐽)
149, 13jca 511 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑍 ∈ 𝒫 𝐽𝐶 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍)) ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑍))) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐽𝐷 ∈ 𝒫 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3949  c0 4332  𝒫 cpw 4598   cuni 4905  cfv 6559  (class class class)co 7429  t crest 17461  Topctop 22889  Clsdccld 23014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-en 8982  df-fin 8985  df-fi 9447  df-rest 17463  df-topgen 17484  df-top 22890  df-topon 22907  df-bases 22943  df-cld 23017
This theorem is referenced by:  iscnrm3l  48821
  Copyright terms: Public domain W3C validator