Theorem kard0b 35898

Description: The empty set is the only set with cardinality zero. This is the kard version of cardeq0 10646. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kard0b	⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem kard0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardeng 35896	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
2		en0 9056	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅))
4		fvprc 6885	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
5		0nep0 5322	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ {∅}
6		kard0 35893	. . . . . . 7 ⊢ (kard‘∅) = {∅}
7	5, 6	neeqtrri 3031	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ (kard‘∅)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∅ ≠ (kard‘∅))
9	4, 8	eqnetrd 3025	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ (kard‘∅))
10	9	neneqd 2963	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (kard‘𝐴) = (kard‘∅))
11		0ex 5263	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
12		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
14	13	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
15	10, 14	2falsed 379	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅))
16	3, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453  ∅c0 4280  {csn 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546   ≈ cen 8981  kardckard 35888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-r1 9778  df-rank 9779  df-scott 9939  df-kard 35889

This theorem is used by: (None)