Theorem kard0b 35672

Description: The empty set is the only set with cardinality zero. This is the kard version of cardeq0 10563. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kard0b	⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem kard0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardeng 35670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
2		en0 9027	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅))
4		fvprc 6874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
5		0nep0 5326	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ {∅}
6		kard0 35667	. . . . . . 7 ⊢ (kard‘∅) = {∅}
7	5, 6	neeqtrri 3030	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ (kard‘∅)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∅ ≠ (kard‘∅))
9	4, 8	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ (kard‘∅))
10	9	neneqd 2962	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (kard‘𝐴) = (kard‘∅))
11		0ex 5268	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
12		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
14	13	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
15	10, 14	2falsed 379	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅))
16	3, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537   ≈ cen 8952  kardckard 35662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35663

This theorem is used by: (None)