Theorem kard0b 35688

Description: The empty set is the only set with cardinality zero. This is the kard version of cardeq0 10563. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kard0b	⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem kard0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardeng 35686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
2		en0 9027	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
3	1, 2	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅))
4		fvprc 6871	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
5		0nep0 5322	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ {∅}
6		kard0 35683	. . . . . . 7 ⊢ (kard‘∅) = {∅}
7	5, 6	neeqtrri 3028	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ (kard‘∅)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∅ ≠ (kard‘∅))
9	4, 8	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) ≠ (kard‘∅))
10	9	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (kard‘𝐴) = (kard‘∅))
11		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
12		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
14	13	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
15	10, 14	2falsed 379	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅))
16	3, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘∅) ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533   ≈ cen 8952  kardckard 35678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35679

This theorem is used by: (None)