Theorem kardeng 35570

Description: Two sets are equinumerous iff their kard cardinal numbers are equal. Unlike carden 10530, this theorem does not depend on the Axiom of Choice, but it does depend on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardeng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem kardeng

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6890	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((kard‘𝑧) = (kard‘𝐵) ↔ (kard‘𝐴) = (kard‘𝐵)))
2		breq1 5112	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3		vex 3459	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
4		kardval2 35566	. . 3 ⊢ (kard‘𝑧) = {𝑥 ∣ (𝑥 ≈ 𝑧 ∧ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑧 → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))}
5		kardval2 35566	. . 3 ⊢ (kard‘𝐵) = {𝑥 ∣ (𝑥 ≈ 𝐵 ∧ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝐵 → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))}
6	3, 4, 5	karden 9877	. 2 ⊢ ((kard‘𝑧) = (kard‘𝐵) ↔ 𝑧 ≈ 𝐵)
7	1, 2, 6	vtoclbg 3524	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936  kardckard 35562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-kard 35563

This theorem is referenced by:  kardenir  35571  kard0b  35572  kardsn  35573  kardcard2a  35577  kardcard2b  35578  kardcard2  35579  kardfi  35583