Theorem kardcard2a 35903

Description: If two sets have equal nonzero card cardinalities, then they have equal kard cardinalities. This theorem does not depend on the Axiom of Choice. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardcard2a	⊢ (((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ ∅) → (kard‘𝐴) = (kard‘𝐵))

Proof of Theorem kardcard2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carden2a 10057	. 2 ⊢ (((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		fvfundmfvn0 6933	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom card ∧ Fun (card ↾ {𝐴})))
3	2	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴 ∈ dom card)
4		kardeng 35896	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ≠ ∅ → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ (((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ ∅) → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 260	1 ⊢ (((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ ∅) → (kard‘𝐴) = (kard‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∅c0 4280  {csn 4587   class class class wbr 5105  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  Fun wfun 6540  ‘cfv 6546   ≈ cen 8981  cardccrd 10026  kardckard 35888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-r1 9778  df-rank 9779  df-scott 9939  df-card 10030  df-kard 35889

This theorem is used by: (None)