Theorem kardexen 35576

Description: One set is equinumerous to another iff an element in its kard cardinality is equinumerous to an element in the second set's kard cardinality. See kardeng 35570 for a version with equality of cardinals. (Contributed by BTernaryTau, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardexen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem kardexen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2r19.29 3151	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
2		bren2 8976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
3		kardsdom 35575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
4	3	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
5		ralnex2 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦)
7	6	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
8	2, 7	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
9		karddom 35574	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)
10	8, 9	bianbi 638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
11	10	biancomi 467	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
12		bren2 8976	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
13	12	biancomi 467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
14	13	2rexbii 3141	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
15	1, 11, 14	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)
16		elkarden 35568	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
17		elkarden 35568	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
18		ensym 8996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
19		entr 8999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
20	18, 19	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
21	20	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑦)
22		entr 8999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
23	21, 22	stoic3 1806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
24	23	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
26	16, 17, 25	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	rexlimivv 3207	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵)
28	15, 27	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  kardckard 35562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-kard 35563

This theorem is referenced by: (None)