Theorem kardexen 35831

Description: One set is equinumerous to another iff an element in its kard cardinality is equinumerous to an element in the second set's kard cardinality. See kardeng 35825 for a version with equality of cardinals. (Contributed by BTernaryTau, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardexen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem kardexen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2r19.29 3149	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
2		bren2 9010	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
3		kardsdom 35830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
4	3	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
5		ralnex2 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦)
7	6	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
8	2, 7	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
9		karddom 35829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)
10	8, 9	bianbi 639	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
11	10	biancomi 468	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
12		bren2 9010	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
13	12	biancomi 468	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
14	13	2rexbii 3139	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
15	1, 11, 14	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)
16		elkarden 35823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
17		elkarden 35823	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
18		ensym 9030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
19		entr 9033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
20	18, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
21	20	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑦)
22		entr 9033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
23	21, 22	stoic3 1809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
24	23	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
26	16, 17, 25	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	rexlimivv 3205	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵)
28	15, 27	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  kardckard 35817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-kard 35818

This theorem is used by: (None)