Theorem kardexen 35509

Description: One set is equinumerous to another iff an element in its kard cardinality is equinumerous to an element in the second set's kard cardinality. See kardeng 35503 for a version with equality of cardinals. (Contributed by BTernaryTau, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardexen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem kardexen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2r19.29 3157	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
2		bren2 8980	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
3		kardsdom 35508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
4	3	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
5		ralnex2 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦)
7	6	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
8	2, 7	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
9		karddom 35507	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)
10	8, 9	bianbi 638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
11	10	biancomi 467	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
12		bren2 8980	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
13	12	biancomi 467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
14	13	2rexbii 3147	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
15	1, 11, 14	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)
16		elkarden 35501	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
17		elkarden 35501	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
18		ensym 9000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
19		entr 9003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
20	18, 19	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
21	20	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑦)
22		entr 9003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
23	21, 22	stoic3 1803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
24	23	3expib 1138	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
26	16, 17, 25	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	rexlimivv 3213	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵)
28	15, 27	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942  kardckard 35495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-r1 9736  df-rank 9737  df-scott 9858  df-kard 35496

This theorem is referenced by: (None)