Theorem kardexen 35635

Description: One set is equinumerous to another iff an element in its kard cardinality is equinumerous to an element in the second set's kard cardinality. See kardeng 35629 for a version with equality of cardinals. (Contributed by BTernaryTau, 7-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardexen	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem kardexen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2r19.29 3153	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
2		bren2 8986	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
3		kardsdom 35634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
4	3	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
5		ralnex2 3147	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≺ 𝑦)
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦)
7	6	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
8	2, 7	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
9		karddom 35633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦)
10	8, 9	bianbi 639	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
11	10	biancomi 468	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ (∀𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∀𝑦 ∈ (kard‘𝐵) ¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≼ 𝑦))
12		bren2 8986	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (𝑥 ≼ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑦))
13	12	biancomi 468	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
14	13	2rexbii 3143	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)(¬ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑥 ≼ 𝑦))
15	1, 11, 14	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)
16		elkarden 35627	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (kard‘𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
17		elkarden 35627	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (kard‘𝐵) → 𝑦 ≈ 𝐵)
18		ensym 9006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝑥)
19		entr 9009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
20	18, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝐴 ≈ 𝑦)
21	20	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑦)
22		entr 9009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
23	21, 22	stoic3 1809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑦 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
24	23	3expib 1140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵))
25	24	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
26	16, 17, 25	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (kard‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (kard‘𝐵)) → (𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵))
27	26	rexlimivv 3209	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦 → 𝐴 ≈ 𝐵)
28	15, 27	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (kard‘𝐴)∃𝑦 ∈ (kard‘𝐵)𝑥 ≈ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948  kardckard 35621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-kard 35622

This theorem is used by: (None)