Theorem kardcard2b 35637

Description: If two sets have equal kard cardinalities, then they have equal card cardinalities. This theorem does not depend on the Axiom of Choice. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardcard2b	⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵))

Proof of Theorem kardcard2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardeng 35629	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		carden2b 9969	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (card‘𝐴) = (card‘𝐵))
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
4		fvprc 6877	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
5	4	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) ↔ ∅ = (kard‘𝐵)))
6		kardeq0 35628	. . . . . . 7 ⊢ ((kard‘𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ ((kard‘𝐵) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ V)
8	7	eqcoms 2773	. . . . 5 ⊢ (∅ = (kard‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ V)
9	5, 8	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ V))
10	9	anc2li 565	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V)))
11		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (card‘𝐴) = ∅)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (card‘𝐴) = ∅)
13		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (card‘𝐵) = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (card‘𝐵) = ∅)
15	12, 14	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵))
16	10, 15	syl6 36	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
17	3, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ ((kard‘𝐴) = (kard‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≈ cen 8946  cardccrd 9937  kardckard 35621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-card 9941  df-kard 35622

This theorem is used by: (None)