Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem1 33016
Description: Lemma for knoppcn 33027. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem1.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem1
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem1.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 oveq2 6913 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦) = (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))
32fveq2d 6437 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))
43oveq2d 6921 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))) = ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))))
54mpteq2dv 4968 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
6 knoppcnlem1.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 nn0ex 11625 . . . . 5 0 ∈ V
87mptex 6742 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 6550 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
11 oveq2 6913 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝐶𝑛) = (𝐶𝑀))
12 oveq2 6913 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑𝑛) = ((2 · 𝑁)↑𝑀))
1312fvoveq1d 6927 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))
1411, 13oveq12d 6923 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
1514adantl 475 . 2 ((𝜑𝑛 = 𝑀) → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
16 knoppcnlem1.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
17 ovexd 6939 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ V)
1810, 15, 16, 17fvmptd 6535 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3414  cmpt 4952  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251   · cmul 10257  2c2 11406  0cn0 11618  cexp 13154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-1cn 10310  ax-addcl 10312
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-nn 11351  df-n0 11619
This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  33018  knoppcnlem4  33019  knoppcnlem10  33025  knoppndvlem6  33040  knoppndvlem7  33041  knoppndvlem11  33045
  Copyright terms: Public domain W3C validator