Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem1 32853
Description: Lemma for knoppcn 32864. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem1.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem1
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))))))
3 oveq2 6849 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦) = (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))
43fveq2d 6378 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))
54oveq2d 6857 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))) = ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))))
65mpteq2dv 4903 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
76adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
8 knoppcnlem1.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 nn0ex 11544 . . . . 5 0 ∈ V
109mptex 6678 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V)
122, 7, 8, 11fvmptd 6476 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
13 oveq2 6849 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝐶𝑛) = (𝐶𝑀))
14 oveq2 6849 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑𝑛) = ((2 · 𝑁)↑𝑀))
1514fvoveq1d 6863 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))
1613, 15oveq12d 6859 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
1716adantl 473 . 2 ((𝜑𝑛 = 𝑀) → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
18 knoppcnlem1.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
19 ovexd 6875 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ V)
2012, 17, 18, 19fvmptd 6476 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3349  cmpt 4887  cfv 6067  (class class class)co 6841  cr 10187   · cmul 10193  2c2 11326  0cn0 11537  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-1cn 10246  ax-addcl 10248
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-ov 6844  df-om 7263  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-nn 11274  df-n0 11538
This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  32855  knoppcnlem4  32856  knoppcnlem10  32862  knoppndvlem6  32878  knoppndvlem7  32879  knoppndvlem11  32883
  Copyright terms: Public domain W3C validator