Theorem knoppcnlem1 34722

Description: Lemma for knoppcn 34733. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		oveq2 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦) = (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))
3	2	fveq2d 6808	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))
4	3	oveq2d 7323	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))) = ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))))
5	4	mpteq2dv 5183	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0ex 12289	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7131	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 6930	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
11		oveq2 7315	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐶↑𝑛) = (𝐶↑𝑀))
12		oveq2 7315	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑𝑛) = ((2 · 𝑁)↑𝑀))
13	12	fvoveq1d 7329	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))
14	11, 13	oveq12d 7325	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
15	14	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑀) → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
16		knoppcnlem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7342	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ V)
18	10, 15, 16, 17	fvmptd 6914	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5164  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℝcr 10920   · cmul 10926  2c2 12078  ℕ₀cn0 12283  ↑cexp 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-1cn 10979  ax-addcl 10981

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-nn 12024  df-n0 12284

This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  34724  knoppcnlem4  34725  knoppcnlem10  34731  knoppndvlem6  34746  knoppndvlem7  34747  knoppndvlem11  34751