![]() |
Mathbox for Asger C. Ipsen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > knoppcnlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for knoppcn 36035. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppcnlem1.f | โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) |
knoppcnlem1.2 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
knoppcnlem1.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppcnlem1 | โข (๐ โ ((๐นโ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | knoppcnlem1.f | . . 3 โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) | |
2 | oveq2 7423 | . . . . . 6 โข (๐ฆ = ๐ด โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) | |
3 | 2 | fveq2d 6895 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ)) = (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) |
4 | 3 | oveq2d 7431 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
5 | 4 | mpteq2dv 5245 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ)))) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
6 | knoppcnlem1.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
7 | nn0ex 12506 | . . . . 5 โข โ0 โ V | |
8 | 7 | mptex 7230 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) โ V |
9 | 8 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) โ V) |
10 | 1, 5, 6, 9 | fvmptd3 7022 | . 2 โข (๐ โ (๐นโ๐ด) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
11 | oveq2 7423 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ถโ๐) = (๐ถโ๐)) | |
12 | oveq2 7423 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((2 ยท ๐)โ๐) = ((2 ยท ๐)โ๐)) | |
13 | 12 | fvoveq1d 7437 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) = (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) |
14 | 11, 13 | oveq12d 7433 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
15 | 14 | adantl 480 | . 2 โข ((๐ โง ๐ = ๐) โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
16 | knoppcnlem1.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
17 | ovexd 7450 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) โ V) | |
18 | 10, 15, 16, 17 | fvmptd 7006 | 1 โข (๐ โ ((๐นโ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3463 โฆ cmpt 5226 โcfv 6542 (class class class)co 7415 โcr 11135 ยท cmul 11141 2c2 12295 โ0cn0 12500 โcexp 14056 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-1cn 11194 ax-addcl 11196 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7418 df-om 7868 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-nn 12241 df-n0 12501 |
This theorem is referenced by: knoppcnlem3 36026 knoppcnlem4 36027 knoppcnlem10 36033 knoppndvlem6 36048 knoppndvlem7 36049 knoppndvlem11 36053 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |