Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem1 36024
Description: Lemma for knoppcn 36035. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem1.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppcnlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
knoppcnlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฆ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฆ)

Proof of Theorem knoppcnlem1
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem1.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
2 oveq2 7423 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))
32fveq2d 6895 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))
43oveq2d 7431 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ))) = ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))))
54mpteq2dv 5245 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))))
6 knoppcnlem1.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 nn0ex 12506 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
87mptex 7230 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))) โˆˆ V
98a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))) โˆˆ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 7022 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐ด) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))))
11 oveq2 7423 . . . 4 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐ถโ†‘๐‘›) = (๐ถโ†‘๐‘€))
12 oveq2 7423 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€))
1312fvoveq1d 7437 . . . 4 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)) = (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))
1411, 13oveq12d 7433 . . 3 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
1514adantl 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = ๐‘€) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
16 knoppcnlem1.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
17 ovexd 7450 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โˆˆ V)
1810, 15, 16, 17fvmptd 7006 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„cr 11135   ยท cmul 11141  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ†‘cexp 14056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-1cn 11194  ax-addcl 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-nn 12241  df-n0 12501
This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  36026  knoppcnlem4  36027  knoppcnlem10  36033  knoppndvlem6  36048  knoppndvlem7  36049  knoppndvlem11  36053
  Copyright terms: Public domain W3C validator