![]() |
Mathbox for Asger C. Ipsen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > knoppcnlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for knoppcn 35902. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppcnlem1.f | โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) |
knoppcnlem1.2 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
knoppcnlem1.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppcnlem1 | โข (๐ โ ((๐นโ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | knoppcnlem1.f | . . 3 โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) | |
2 | oveq2 7422 | . . . . . 6 โข (๐ฆ = ๐ด โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) | |
3 | 2 | fveq2d 6895 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ)) = (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) |
4 | 3 | oveq2d 7430 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
5 | 4 | mpteq2dv 5244 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ)))) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
6 | knoppcnlem1.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
7 | nn0ex 12494 | . . . . 5 โข โ0 โ V | |
8 | 7 | mptex 7229 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) โ V |
9 | 8 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) โ V) |
10 | 1, 5, 6, 9 | fvmptd3 7022 | . 2 โข (๐ โ (๐นโ๐ด) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
11 | oveq2 7422 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ถโ๐) = (๐ถโ๐)) | |
12 | oveq2 7422 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((2 ยท ๐)โ๐) = ((2 ยท ๐)โ๐)) | |
13 | 12 | fvoveq1d 7436 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) = (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) |
14 | 11, 13 | oveq12d 7432 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
15 | 14 | adantl 481 | . 2 โข ((๐ โง ๐ = ๐) โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
16 | knoppcnlem1.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
17 | ovexd 7449 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) โ V) | |
18 | 10, 15, 16, 17 | fvmptd 7006 | 1 โข (๐ โ ((๐นโ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 โฆ cmpt 5225 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โcr 11123 ยท cmul 11129 2c2 12283 โ0cn0 12488 โcexp 14044 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-1cn 11182 ax-addcl 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-om 7863 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-nn 12229 df-n0 12489 |
This theorem is referenced by: knoppcnlem3 35893 knoppcnlem4 35894 knoppcnlem10 35900 knoppndvlem6 35915 knoppndvlem7 35916 knoppndvlem11 35920 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |