Theorem knoppcnlem1 36454

Description: Lemma for knoppcn 36465. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦) = (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))
3	2	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))
4	3	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))) = ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))))
5	4	mpteq2dv 5196	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0ex 12424	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 6973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
11		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐶↑𝑛) = (𝐶↑𝑀))
12		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑𝑛) = ((2 · 𝑁)↑𝑀))
13	12	fvoveq1d 7391	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))
14	11, 13	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑀) → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
16		knoppcnlem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7404	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ V)
18	10, 15, 16, 17	fvmptd 6957	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   · cmul 11049  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  36456  knoppcnlem4  36457  knoppcnlem10  36463  knoppndvlem6  36478  knoppndvlem7  36479  knoppndvlem11  36483