Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem1 35891
Description: Lemma for knoppcn 35902. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem1.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppcnlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
knoppcnlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฆ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฆ)

Proof of Theorem knoppcnlem1
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem1.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
2 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))
32fveq2d 6895 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))
43oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ))) = ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))))
54mpteq2dv 5244 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))))
6 knoppcnlem1.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 nn0ex 12494 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
87mptex 7229 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))) โˆˆ V
98a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))) โˆˆ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 7022 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐ด) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)))))
11 oveq2 7422 . . . 4 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐ถโ†‘๐‘›) = (๐ถโ†‘๐‘€))
12 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€))
1312fvoveq1d 7436 . . . 4 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด)) = (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด)))
1411, 13oveq12d 7432 . . 3 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
1514adantl 481 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› = ๐‘€) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
16 knoppcnlem1.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
17 ovexd 7449 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))) โˆˆ V)
1810, 15, 16, 17fvmptd 7006 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘€) = ((๐ถโ†‘๐‘€) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘€) ยท ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123   ยท cmul 11129  2c2 12283  โ„•0cn0 12488  โ†‘cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12229  df-n0 12489
This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  35893  knoppcnlem4  35894  knoppcnlem10  35900  knoppndvlem6  35915  knoppndvlem7  35916  knoppndvlem11  35920
  Copyright terms: Public domain W3C validator