![]() |
Mathbox for Asger C. Ipsen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > knoppcn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The continuous nowhere differentiable function ๐ ( Knopp, K. (1918). Math. Z. 2, 1-26 ) is, in fact, continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppcn.t | โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ (absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) |
knoppcn.f | โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) |
knoppcn.w | โข ๐ = (๐ค โ โ โฆ ฮฃ๐ โ โ0 ((๐นโ๐ค)โ๐)) |
knoppcn.n | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
knoppcn.1 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
knoppcn.2 | โข (๐ โ (absโ๐ถ) < 1) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppcn | โข (๐ โ ๐ โ (โโcnโโ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0uz 12902 | . 2 โข โ0 = (โคโฅโ0) | |
2 | 0zd 12608 | . 2 โข (๐ โ 0 โ โค) | |
3 | knoppcn.t | . . 3 โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ (absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) | |
4 | knoppcn.f | . . 3 โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) | |
5 | knoppcn.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | knoppcn.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
7 | 3, 4, 5, 6 | knoppcnlem11 36011 | . 2 โข (๐ โ seq0( โf + , (๐ โ โ0 โฆ (๐ง โ โ โฆ ((๐นโ๐ง)โ๐)))):โ0โถ(โโcnโโ)) |
8 | knoppcn.w | . . 3 โข ๐ = (๐ค โ โ โฆ ฮฃ๐ โ โ0 ((๐นโ๐ค)โ๐)) | |
9 | knoppcn.2 | . . 3 โข (๐ โ (absโ๐ถ) < 1) | |
10 | 3, 4, 8, 5, 6, 9 | knoppcnlem9 36009 | . 2 โข (๐ โ seq0( โf + , (๐ โ โ0 โฆ (๐ง โ โ โฆ ((๐นโ๐ง)โ๐))))(โ๐ขโโ)๐) |
11 | 1, 2, 7, 10 | ulmcn 26355 | 1 โข (๐ โ ๐ โ (โโcnโโ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5152 โฆ cmpt 5235 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โf cof 7689 โcc 11144 โcr 11145 0cc0 11146 1c1 11147 + caddc 11149 ยท cmul 11151 < clt 11286 โ cmin 11482 / cdiv 11909 โcn 12250 2c2 12305 โ0cn0 12510 โcfl 13795 seqcseq 14006 โcexp 14066 abscabs 15221 ฮฃcsu 15672 โcnโccncf 24816 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9672 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 ax-addf 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7691 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8172 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-2o 8494 df-er 8731 df-map 8853 df-pm 8854 df-ixp 8923 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-fsupp 9394 df-fi 9442 df-sup 9473 df-inf 9474 df-oi 9541 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-dec 12716 df-uz 12861 df-q 12971 df-rp 13015 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 df-ioo 13368 df-ico 13370 df-icc 13371 df-fz 13525 df-fzo 13668 df-fl 13797 df-seq 14007 df-exp 14067 df-hash 14330 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-limsup 15455 df-clim 15472 df-rlim 15473 df-sum 15673 df-struct 17123 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-mulr 17254 df-starv 17255 df-sca 17256 df-vsca 17257 df-ip 17258 df-tset 17259 df-ple 17260 df-ds 17262 df-unif 17263 df-hom 17264 df-cco 17265 df-rest 17411 df-topn 17412 df-0g 17430 df-gsum 17431 df-topgen 17432 df-pt 17433 df-prds 17436 df-xrs 17491 df-qtop 17496 df-imas 17497 df-xps 17499 df-mre 17573 df-mrc 17574 df-acs 17576 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-submnd 18748 df-mulg 19031 df-cntz 19275 df-cmn 19744 df-psmet 21278 df-xmet 21279 df-met 21280 df-bl 21281 df-mopn 21282 df-cnfld 21287 df-top 22816 df-topon 22833 df-topsp 22855 df-bases 22869 df-cn 23151 df-cnp 23152 df-tx 23486 df-hmeo 23679 df-xms 24246 df-ms 24247 df-tms 24248 df-cncf 24818 df-ulm 26333 |
This theorem is referenced by: knoppcld 36013 knoppndv 36042 knoppcn2 36044 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |