knoppndvlem11 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem11 36523

Description: Lemma for knoppndv 36535. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem11.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem11.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem11.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem11.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem11	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑛,𝑁,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑖) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑁(𝑖)

**Proof of Theorem knoppndvlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
2		knoppndvlem11.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3		knoppndvlem11.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
4		knoppndvlem11.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem11.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
7	6	knoppndvlem3 36515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		knoppndvlem11.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		elfznn0 13660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
14	2, 3, 5, 9, 11, 13	knoppcnlem3 36496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
16		knoppndvlem11.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	2, 3, 5, 9, 17, 13	knoppcnlem3 36496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
20	1, 15, 19	fsumsub 15824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
21	20	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
22	21	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))))
23	15, 19	subcld 11620	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
24	1, 23	fsumcl 15769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
26	23	abscld 15475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
27	1, 26	fsumrecl 15770	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
28	10, 16	resubcld 11691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
31		2re 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		nnre 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	8	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36	abscld 15475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
38	35, 37	remulcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
40	39, 13	reexpcld 14203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	1, 40	fsumrecl 15770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
42	30, 41	remulcld 11291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
43	1, 23	fsumabs 15837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))))
44	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
45	44, 40	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
46	3, 11, 13	knoppcnlem1 36494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))))
47	3, 17, 13	knoppcnlem1 36494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
48	46, 47	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
49	9, 13	reexpcld 14203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
51	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
52	51, 13	reexpcld 14203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℝ)
53	52, 11	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) ∈ ℝ)
54	2, 53	dnicld2 36474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℂ)
56	52, 17	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℝ)
57	2, 56	dnicld2 36474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
59	50, 55, 58	subdid 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
60	59	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
61	48, 60	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
62	61	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
63	55, 58	subcld 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℂ)
64	50, 63	absmuld 15493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
65	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65, 13	absexpd 15491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐶↑𝑖)) = ((abs‘𝐶)↑𝑖))
67	66	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
68	64, 67	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
69	62, 68	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
70	63	abscld 15475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ∈ ℝ)
71	53, 56	resubcld 11691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
73	72	abscld 15475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℝ)
74	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
75	74, 13	reexpcld 14203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℝ)
76	65	absge0d 15483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
77	74, 13, 76	expge0d 14204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑖))
78	2, 56, 53	dnibnd 36492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ≤ (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
79	70, 73, 75, 77, 78	lemul2ad 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
80	52	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
81	11	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
82	17	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	subdid 11719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)) = ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)))
85	84	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))))
86	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
87	80, 86	absmuld 15493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
88	51	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 13	absexpd 15491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖))
90	32	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
91	34	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
92	90, 91	absmuld 15493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 2
94	31	absidi 15416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs‘2) = 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
97		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
98		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
99		0le1 11786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
101		nnge1 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
102	4, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
103	97, 98, 34, 100, 102	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
104	34, 103	absidd 15461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
105	96, 104	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
106	92, 105	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
107	106	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
109	89, 108	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
110	109	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
111	87, 110	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
112	85, 111	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
113	112	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
114	75	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℂ)
115	44	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
116	114, 80, 115	mulassd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
117	116	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
118	114, 80	mulcld 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℂ)
119	118, 115	mulcomd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))))
120	114, 80	mulcomd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
121	74	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
122	88, 121, 13	mulexpd 14201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
123	122	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
124	120, 123	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
125	124	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
126	117, 119, 125	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
127	113, 126	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
128	79, 127	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
129	69, 128	eqbrtrd 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
130	1, 26, 45, 129	fsumle 15835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
131	30	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
132	124, 118	eqeltrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℂ)
133	1, 131, 132	fsummulc2 15820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
134	133	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
135	130, 134	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
136	25, 27, 42, 43, 135	letrd 11418	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
137	22, 136	eqbrtrd 5165	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5225 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 -cneg 11493 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 ℕ₀cn0 12526 (,)cioo 13387 ...cfz 13547 ⌊cfl 13830 ↑cexp 14102 abscabs 15273 Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-ioo 13391 df-ico 13393 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-seq 14043 df-exp 14103 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-clim 15524 df-sum 15723

This theorem is referenced by: knoppndvlem14 36526

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