Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fzfid 13940 |
. . . . 5
โข (๐ โ (0...(๐ฝ โ 1)) โ Fin) |
2 | | knoppndvlem11.t |
. . . . . . 7
โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ
(absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) |
3 | | knoppndvlem11.f |
. . . . . . 7
โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ฆ))))) |
4 | | knoppndvlem11.n |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
5 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ โ โ) |
6 | | knoppndvlem11.c |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ถ โ (-1(,)1)) |
7 | 6 | knoppndvlem3 35482 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง (absโ๐ถ) < 1)) |
8 | 7 | simpld 495 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
9 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ถ โ โ) |
10 | | knoppndvlem11.b |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
11 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ต โ โ) |
12 | | elfznn0 13596 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (0...(๐ฝ โ 1)) โ ๐ โ โ0) |
13 | 12 | adantl 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ โ โ0) |
14 | 2, 3, 5, 9, 11, 13 | knoppcnlem3 35463 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐นโ๐ต)โ๐) โ โ) |
15 | 14 | recnd 11244 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐นโ๐ต)โ๐) โ โ) |
16 | | knoppndvlem11.a |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
17 | 16 | adantr 481 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ด โ โ) |
18 | 2, 3, 5, 9, 17, 13 | knoppcnlem3 35463 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐นโ๐ด)โ๐) โ โ) |
19 | 18 | recnd 11244 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐นโ๐ด)โ๐) โ โ) |
20 | 1, 15, 19 | fsumsub 15736 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)) = (ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ต)โ๐) โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ด)โ๐))) |
21 | 20 | eqcomd 2738 |
. . 3
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ต)โ๐) โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ด)โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) |
22 | 21 | fveq2d 6895 |
. 2
โข (๐ โ (absโ(ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ต)โ๐) โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ด)โ๐))) = (absโฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)))) |
23 | 15, 19 | subcld 11573 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)) โ โ) |
24 | 1, 23 | fsumcl 15681 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)) โ โ) |
25 | 24 | abscld 15385 |
. . 3
โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โ โ) |
26 | 23 | abscld 15385 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โ โ) |
27 | 1, 26 | fsumrecl 15682 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โ โ) |
28 | 10, 16 | resubcld 11644 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
29 | 28 | recnd 11244 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
30 | 29 | abscld 15385 |
. . . 4
โข (๐ โ (absโ(๐ต โ ๐ด)) โ โ) |
31 | | 2re 12288 |
. . . . . . . . . 10
โข 2 โ
โ |
32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
33 | | nnre 12221 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
34 | 4, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
35 | 32, 34 | remulcld 11246 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ
โ) |
36 | 8 | recnd 11244 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
37 | 36 | abscld 15385 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ
โ) |
38 | 35, 37 | remulcld 11246 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ
โ) |
39 | 38 | adantr 481 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ
โ) |
40 | 39, 13 | reexpcld 14130 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐) โ โ) |
41 | 1, 40 | fsumrecl 15682 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐) โ โ) |
42 | 30, 41 | remulcld 11246 |
. . 3
โข (๐ โ ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐)) โ โ) |
43 | 1, 23 | fsumabs 15749 |
. . 3
โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โค ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)))) |
44 | 30 | adantr 481 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(๐ต โ ๐ด)) โ โ) |
45 | 44, 40 | remulcld 11246 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐)) โ โ) |
46 | 3, 11, 13 | knoppcnlem1 35461 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐นโ๐ต)โ๐) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)))) |
47 | 3, 17, 13 | knoppcnlem1 35461 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐นโ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
48 | 46, 47 | oveq12d 7429 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)) = (((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต))) โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
49 | 9, 13 | reexpcld 14130 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐ถโ๐) โ โ) |
50 | 49 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐ถโ๐) โ โ) |
51 | 35 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (2 ยท ๐) โ
โ) |
52 | 51, 13 | reexpcld 14130 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((2 ยท ๐)โ๐) โ โ) |
53 | 52, 11 | remulcld 11246 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ โ) |
54 | 2, 53 | dnicld2 35441 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ โ) |
55 | 54 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ โ) |
56 | 52, 17 | remulcld 11246 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด) โ โ) |
57 | 2, 56 | dnicld2 35441 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) โ โ) |
58 | 57 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) โ โ) |
59 | 50, 55, 58 | subdid 11672 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐ถโ๐) ยท ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) = (((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต))) โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
60 | 59 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต))) โ ((๐ถโ๐) ยท (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) = ((๐ถโ๐) ยท ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
61 | 48, 60 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐)) = ((๐ถโ๐) ยท ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
62 | 61 | fveq2d 6895 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) = (absโ((๐ถโ๐) ยท ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))))) |
63 | 55, 58 | subcld 11573 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) โ โ) |
64 | 50, 63 | absmuld 15403 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((๐ถโ๐) ยท ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) = ((absโ(๐ถโ๐)) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))))) |
65 | 36 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ถ โ โ) |
66 | 65, 13 | absexpd 15401 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(๐ถโ๐)) = ((absโ๐ถ)โ๐)) |
67 | 66 | oveq1d 7426 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ(๐ถโ๐)) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) = (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))))) |
68 | 64, 67 | eqtrd 2772 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((๐ถโ๐) ยท ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) = (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))))) |
69 | 62, 68 | eqtrd 2772 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) = (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))))) |
70 | 63 | abscld 15385 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) โ โ) |
71 | 53, 56 | resubcld 11644 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) โ โ) |
72 | 71 | recnd 11244 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) โ โ) |
73 | 72 | abscld 15385 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((((2
ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) โ โ) |
74 | 37 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ๐ถ) โ
โ) |
75 | 74, 13 | reexpcld 14130 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ๐ถ)โ๐) โ โ) |
76 | 65 | absge0d 15393 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ 0 โค (absโ๐ถ)) |
77 | 74, 13, 76 | expge0d 14131 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ 0 โค
((absโ๐ถ)โ๐)) |
78 | 2, 56, 53 | dnibnd 35459 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) โค (absโ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) |
79 | 70, 73, 75, 77, 78 | lemul2ad 12156 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) โค (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) |
80 | 52 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((2 ยท ๐)โ๐) โ โ) |
81 | 11 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ต โ โ) |
82 | 17 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ๐ด โ โ) |
83 | 80, 81, 82 | subdid 11672 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (๐ต โ ๐ด)) = ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) |
84 | 83 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (๐ต โ ๐ด))) |
85 | 84 | fveq2d 6895 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((((2
ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) = (absโ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท (๐ต โ ๐ด)))) |
86 | 29 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
87 | 80, 86 | absmuld 15403 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(((2
ยท ๐)โ๐) ยท (๐ต โ ๐ด))) = ((absโ((2 ยท ๐)โ๐)) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) |
88 | 51 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (2 ยท ๐) โ
โ) |
89 | 88, 13 | absexpd 15401 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((2 ยท
๐)โ๐)) = ((absโ(2 ยท ๐))โ๐)) |
90 | 32 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
91 | 34 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
92 | 90, 91 | absmuld 15403 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (absโ(2 ยท
๐)) = ((absโ2)
ยท (absโ๐))) |
93 | | 0le2 12316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข 0 โค
2 |
94 | 31 | absidi 15326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (0 โค 2
โ (absโ2) = 2) |
95 | 93, 94 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
(absโ2) = 2 |
96 | 95 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (absโ2) =
2) |
97 | | 0red 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ 0 โ
โ) |
98 | | 1red 11217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ 1 โ
โ) |
99 | | 0le1 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข 0 โค
1 |
100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ 0 โค 1) |
101 | | nnge1 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ โ โ 1 โค
๐) |
102 | 4, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ 1 โค ๐) |
103 | 97, 98, 34, 100, 102 | letrd 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ 0 โค ๐) |
104 | 34, 103 | absidd 15371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (absโ๐) = ๐) |
105 | 96, 104 | oveq12d 7429 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ ((absโ2) ยท
(absโ๐)) = (2
ยท ๐)) |
106 | 92, 105 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (absโ(2 ยท
๐)) = (2 ยท ๐)) |
107 | 106 | oveq1d 7426 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((absโ(2 ยท
๐))โ๐) = ((2 ยท ๐)โ๐)) |
108 | 107 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ(2 ยท
๐))โ๐) = ((2 ยท ๐)โ๐)) |
109 | 89, 108 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((2 ยท
๐)โ๐)) = ((2 ยท ๐)โ๐)) |
110 | 109 | oveq1d 7426 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ((2
ยท ๐)โ๐)) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด))) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) |
111 | 87, 110 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(((2
ยท ๐)โ๐) ยท (๐ต โ ๐ด))) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) |
112 | 85, 111 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ((((2
ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) |
113 | 112 | oveq2d 7427 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) = (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด))))) |
114 | 75 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ๐ถ)โ๐) โ โ) |
115 | 44 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(๐ต โ ๐ด)) โ โ) |
116 | 114, 80, 115 | mulassd 11239 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด))) = (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด))))) |
117 | 116 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) = ((((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) |
118 | 114, 80 | mulcld 11236 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)) โ โ) |
119 | 118, 115 | mulcomd 11237 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด))) = ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)))) |
120 | 114, 80 | mulcomd 11237 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ((absโ๐ถ)โ๐))) |
121 | 74 | recnd 11244 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ๐ถ) โ
โ) |
122 | 88, 121, 13 | mulexpd 14128 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐) = (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ((absโ๐ถ)โ๐))) |
123 | 122 | eqcomd 2738 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ((absโ๐ถ)โ๐)) = (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐)) |
124 | 120, 123 | eqtrd 2772 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐)) = (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐)) |
125 | 124 | oveq2d 7427 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((absโ๐ถ)โ๐) ยท ((2 ยท ๐)โ๐))) = ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
126 | 117, 119,
125 | 3eqtrd 2776 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (((2 ยท ๐)โ๐) ยท (absโ(๐ต โ ๐ด)))) = ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
127 | 113, 126 | eqtrd 2772 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต) โ (((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด)))) = ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
128 | 79, 127 | breqtrd 5174 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((absโ๐ถ)โ๐) ยท (absโ((๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ต)) โ (๐โ(((2 ยท ๐)โ๐) ยท ๐ด))))) โค ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
129 | 69, 128 | eqbrtrd 5170 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โค ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
130 | 1, 26, 45, 129 | fsumle 15747 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โค ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
131 | 30 | recnd 11244 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (absโ(๐ต โ ๐ด)) โ โ) |
132 | 124, 118 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))) โ (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐) โ โ) |
133 | 1, 131, 132 | fsummulc2 15732 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
134 | 133 | eqcomd 2738 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐)) = ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
135 | 130, 134 | breqtrd 5174 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(absโ(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โค ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
136 | 25, 27, 42, 43, 135 | letrd 11373 |
. 2
โข (๐ โ (absโฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((๐นโ๐ต)โ๐) โ ((๐นโ๐ด)โ๐))) โค ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |
137 | 22, 136 | eqbrtrd 5170 |
1
โข (๐ โ (absโ(ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ต)โ๐) โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))((๐นโ๐ด)โ๐))) โค ((absโ(๐ต โ ๐ด)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฝ โ 1))(((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))โ๐))) |