knoppndvlem11 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem11 36483

Description: Lemma for knoppndv 36495. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem11.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem11.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem11.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem11.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem11	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑛,𝑁,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑖) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑁(𝑖)

**Proof of Theorem knoppndvlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
2		knoppndvlem11.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3		knoppndvlem11.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
4		knoppndvlem11.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem11.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
7	6	knoppndvlem3 36475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		knoppndvlem11.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		elfznn0 13557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
14	2, 3, 5, 9, 11, 13	knoppcnlem3 36456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
16		knoppndvlem11.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	2, 3, 5, 9, 17, 13	knoppcnlem3 36456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
20	1, 15, 19	fsumsub 15730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
21	20	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
22	21	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))))
23	15, 19	subcld 11509	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
24	1, 23	fsumcl 15675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 15381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
26	23	abscld 15381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
27	1, 26	fsumrecl 15676	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
28	10, 16	resubcld 11582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
31		2re 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		nnre 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	8	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36	abscld 15381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
38	35, 37	remulcld 11180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
40	39, 13	reexpcld 14104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	1, 40	fsumrecl 15676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
42	30, 41	remulcld 11180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
43	1, 23	fsumabs 15743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))))
44	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
45	44, 40	remulcld 11180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
46	3, 11, 13	knoppcnlem1 36454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))))
47	3, 17, 13	knoppcnlem1 36454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
48	46, 47	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
49	9, 13	reexpcld 14104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
51	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
52	51, 13	reexpcld 14104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℝ)
53	52, 11	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) ∈ ℝ)
54	2, 53	dnicld2 36434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℂ)
56	52, 17	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℝ)
57	2, 56	dnicld2 36434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
59	50, 55, 58	subdid 11610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
60	59	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
61	48, 60	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
62	61	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
63	55, 58	subcld 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℂ)
64	50, 63	absmuld 15399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
65	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65, 13	absexpd 15397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐶↑𝑖)) = ((abs‘𝐶)↑𝑖))
67	66	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
68	64, 67	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
69	62, 68	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
70	63	abscld 15381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ∈ ℝ)
71	53, 56	resubcld 11582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
73	72	abscld 15381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℝ)
74	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
75	74, 13	reexpcld 14104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℝ)
76	65	absge0d 15389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
77	74, 13, 76	expge0d 14105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑖))
78	2, 56, 53	dnibnd 36452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ≤ (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
79	70, 73, 75, 77, 78	lemul2ad 12099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
80	52	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
81	11	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
82	17	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	subdid 11610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)) = ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))
84	83	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)))
85	84	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))))
86	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
87	80, 86	absmuld 15399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
88	51	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 13	absexpd 15397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖))
90	32	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
91	34	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
92	90, 91	absmuld 15399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 2
94	31	absidi 15320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs‘2) = 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
97		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
98		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
99		0le1 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
101		nnge1 12190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
102	4, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
103	97, 98, 34, 100, 102	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
104	34, 103	absidd 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
105	96, 104	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
106	92, 105	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
107	106	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
109	89, 108	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
110	109	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
111	87, 110	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
112	85, 111	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
113	112	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
114	75	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℂ)
115	44	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
116	114, 80, 115	mulassd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
117	116	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
118	114, 80	mulcld 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℂ)
119	118, 115	mulcomd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))))
120	114, 80	mulcomd 11171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
121	74	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
122	88, 121, 13	mulexpd 14102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
123	122	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
124	120, 123	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
125	124	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
126	117, 119, 125	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
127	113, 126	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
128	79, 127	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
129	69, 128	eqbrtrd 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
130	1, 26, 45, 129	fsumle 15741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
131	30	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
132	124, 118	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℂ)
133	1, 131, 132	fsummulc2 15726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
134	133	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
135	130, 134	breqtrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
136	25, 27, 42, 43, 135	letrd 11307	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
137	22, 136	eqbrtrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 · cmul 11049 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 -cneg 11382 / cdiv 11811 ℕcn 12162 2c2 12217 ℕ₀cn0 12418 (,)cioo 13282 ...cfz 13444 ⌊cfl 13728 ↑cexp 14002 abscabs 15176 Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9570 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-er 8648 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-n0 12419 df-z 12506 df-uz 12770 df-rp 12928 df-ioo 13286 df-ico 13288 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-fl 13730 df-seq 13943 df-exp 14003 df-hash 14272 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-clim 15430 df-sum 15629

This theorem is referenced by: knoppndvlem14 36486

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