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Theorem knoppndvlem11 36128
Description: Lemma for knoppndv 36140. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem11.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem11.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem11.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem11.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem11 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑛,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)   𝐽(𝑥)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem knoppndvlem11
StepHypRef Expression
1 fzfid 13974 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
2 knoppndvlem11.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3 knoppndvlem11.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
4 knoppndvlem11.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 knoppndvlem11.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 36120 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
87simpld 493 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 knoppndvlem11.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 elfznn0 13629 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
142, 3, 5, 9, 11, 13knoppcnlem3 36101 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
1514recnd 11274 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
16 knoppndvlem11.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
182, 3, 5, 9, 17, 13knoppcnlem3 36101 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
1918recnd 11274 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
201, 15, 19fsumsub 15770 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
2120eqcomd 2731 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)))
2221fveq2d 6900 . 2 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))))
2315, 19subcld 11603 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
241, 23fsumcl 15715 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
2524abscld 15419 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
2623abscld 15419 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
271, 26fsumrecl 15716 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
2810, 16resubcld 11674 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 11274 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029abscld 15419 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
31 2re 12319 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33 nnre 12252 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
344, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 11276 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
368recnd 11274 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3736abscld 15419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
3835, 37remulcld 11276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
3938adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
4039, 13reexpcld 14163 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
411, 40fsumrecl 15716 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
4230, 41remulcld 11276 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
431, 23fsumabs 15783 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))))
4430adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
4544, 40remulcld 11276 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
463, 11, 13knoppcnlem1 36099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))))
473, 17, 13knoppcnlem1 36099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
4846, 47oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
499, 13reexpcld 14163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
5049recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
5135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5251, 13reexpcld 14163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℝ)
5352, 11remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) ∈ ℝ)
542, 53dnicld2 36079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℝ)
5554recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℂ)
5652, 17remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℝ)
572, 56dnicld2 36079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
5857recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
5950, 55, 58subdid 11702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
6059eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
6148, 60eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) = ((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
6261fveq2d 6900 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) = (abs‘((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6355, 58subcld 11603 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℂ)
6450, 63absmuld 15437 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = ((abs‘(𝐶𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6536adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6665, 13absexpd 15435 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐶𝑖)) = ((abs‘𝐶)↑𝑖))
6766oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐶𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6864, 67eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6962, 68eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
7063abscld 15419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ∈ ℝ)
7153, 56resubcld 11674 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
7271recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
7372abscld 15419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℝ)
7437adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
7574, 13reexpcld 14163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℝ)
7665absge0d 15427 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
7774, 13, 76expge0d 14164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑖))
782, 56, 53dnibnd 36097 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ≤ (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
7970, 73, 75, 77, 78lemul2ad 12187 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
8052recnd 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
8111recnd 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8217recnd 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8380, 81, 82subdid 11702 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴)) = ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))
8483eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴)))
8584fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴))))
8629adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
8780, 86absmuld 15437 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
8851recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8988, 13absexpd 15435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖))
9032recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9134recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9290, 91absmuld 15437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93 0le2 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 2
9431absidi 15360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘2) = 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘2) = 2)
97 0red 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
98 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
99 0le1 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 1)
101 nnge1 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
1024, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
10397, 98, 34, 100, 102letrd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
10434, 103absidd 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
10596, 104oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
10692, 105eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
107106oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
108107adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
10989, 108eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
110109oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴))))
11187, 110eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴))))
11285, 111eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴))))
113112oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
11475recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℂ)
11544recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
116114, 80, 115mulassd 11269 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
117116eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
118114, 80mulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℂ)
119118, 115mulcomd 11267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))))
120114, 80mulcomd 11267 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
12174recnd 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
12288, 121, 13mulexpd 14161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
123122eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
124120, 123eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
125124oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
126117, 119, 1253eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
127113, 126eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
12879, 127breqtrd 5175 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
12969, 128eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
1301, 26, 45, 129fsumle 15781 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
13130recnd 11274 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
132124, 118eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℂ)
1331, 131, 132fsummulc2 15766 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
134133eqcomd 2731 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
135130, 134breqtrd 5175 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
13625, 27, 42, 43, 135letrd 11403 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
13722, 136eqbrtrd 5171 1 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  (,)cioo 13359  ...cfz 13519  cfl 13791  cexp 14062  abscabs 15217  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36131
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