Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem11 35702
Description: Lemma for knoppndv 35714. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem11.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem11.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem11.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
knoppndvlem11.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
knoppndvlem11.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem11.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘–   ๐ต,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐ฝ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘–)

Proof of Theorem knoppndvlem11
StepHypRef Expression
1 fzfid 13943 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐ฝ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 knoppndvlem11.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
3 knoppndvlem11.f . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
4 knoppndvlem11.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 knoppndvlem11.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 35694 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
87simpld 494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
10 knoppndvlem11.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12 elfznn0 13599 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
142, 3, 5, 9, 11, 13knoppcnlem3 35675 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
1514recnd 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
16 knoppndvlem11.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
182, 3, 5, 9, 17, 13knoppcnlem3 35675 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
1918recnd 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
201, 15, 19fsumsub 15739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
2120eqcomd 2737 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
2221fveq2d 6896 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) = (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))))
2315, 19subcld 11576 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
241, 23fsumcl 15684 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
2524abscld 15388 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
2623abscld 15388 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
271, 26fsumrecl 15685 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
2810, 16resubcld 11647 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
2928recnd 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3029abscld 15388 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
31 2re 12291 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
33 nnre 12224 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
344, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3532, 34remulcld 11249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
368recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3736abscld 15388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
3835, 37remulcld 11249 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
4039, 13reexpcld 14133 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
411, 40fsumrecl 15685 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
4230, 41remulcld 11249 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„)
431, 23fsumabs 15752 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))))
4430adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
4544, 40remulcld 11249 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„)
463, 11, 13knoppcnlem1 35673 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))))
473, 17, 13knoppcnlem1 35673 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))
4846, 47oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = (((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
499, 13reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
5049recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
5135adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
5251, 13reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
5352, 11remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
542, 53dnicld2 35653 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5554recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5652, 17remulcld 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
572, 56dnicld2 35653 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
5857recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5950, 55, 58subdid 11675 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = (((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
6059eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
6148, 60eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
6261fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6355, 58subcld 11576 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
6450, 63absmuld 15406 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) = ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6536adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6665, 13absexpd 15404 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘–)) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–))
6766oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6864, 67eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6962, 68eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
7063abscld 15388 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
7153, 56resubcld 11647 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
7271recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7372abscld 15388 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
7437adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
7574, 13reexpcld 14133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
7665absge0d 15396 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
7774, 13, 76expge0d 14134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–))
782, 56, 53dnibnd 35671 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) โ‰ค (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))
7970, 73, 75, 77, 78lemul2ad 12159 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) โ‰ค (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
8052recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
8111recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8217recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8380, 81, 82subdid 11675 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))
8483eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8584fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) = (absโ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
8629adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
8780, 86absmuld 15406 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
8851recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8988, 13absexpd 15404 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = ((absโ€˜(2 ยท ๐‘))โ†‘๐‘–))
9032recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9134recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9290, 91absmuld 15406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((absโ€˜2) ยท (absโ€˜๐‘)))
93 0le2 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โ‰ค 2
9431absidi 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 โ‰ค 2 โ†’ (absโ€˜2) = 2)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (absโ€˜2) = 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜2) = 2)
97 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
98 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
99 0le1 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค 1
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
101 nnge1 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
1024, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
10397, 98, 34, 100, 102letrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
10434, 103absidd 15374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘) = ๐‘)
10596, 104oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜2) ยท (absโ€˜๐‘)) = (2 ยท ๐‘))
10692, 105eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2 ยท ๐‘)) = (2 ยท ๐‘))
107106oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(2 ยท ๐‘))โ†‘๐‘–) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(2 ยท ๐‘))โ†‘๐‘–) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))
10989, 108eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))
110109oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
11187, 110eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
11285, 111eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
113112oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
11475recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
11544recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
116114, 80, 115mulassd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
117116eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))) = ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
118114, 80mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
119118, 115mulcomd 11240 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))))
120114, 80mulcomd 11240 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–)))
12174recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
12288, 121, 13mulexpd 14131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–)))
123122eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–))
124120, 123eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–))
125124oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
126117, 119, 1253eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
127113, 126eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
12879, 127breqtrd 5175 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
12969, 128eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
1301, 26, 45, 129fsumle 15750 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
13130recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
132124, 118eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1331, 131, 132fsummulc2 15735 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
134133eqcomd 2737 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
135130, 134breqtrd 5175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
13625, 27, 42, 43, 135letrd 11376 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
13722, 136eqbrtrd 5171 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  โŒŠcfl 13760  โ†‘cexp 14032  abscabs 15186  ฮฃcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  35705
  Copyright terms: Public domain W3C validator