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Theorem knoppndvlem11 33854
Description: Lemma for knoppndv 33866. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem11.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem11.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem11.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem11.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem11 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑛,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)   𝐽(𝑥)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem knoppndvlem11
StepHypRef Expression
1 fzfid 13333 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
2 knoppndvlem11.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3 knoppndvlem11.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
4 knoppndvlem11.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 knoppndvlem11.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 33846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
87simpld 497 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
98adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 knoppndvlem11.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1110adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 elfznn0 12992 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
142, 3, 5, 9, 11, 13knoppcnlem3 33827 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
1514recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
16 knoppndvlem11.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
182, 3, 5, 9, 17, 13knoppcnlem3 33827 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
1918recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
201, 15, 19fsumsub 15135 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
2120eqcomd 2825 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)))
2221fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))))
2315, 19subcld 10989 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
241, 23fsumcl 15082 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
2524abscld 14788 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
2623abscld 14788 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
271, 26fsumrecl 15083 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
2810, 16resubcld 11060 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 10661 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029abscld 14788 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
31 2re 11703 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33 nnre 11637 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
344, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 10663 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
368recnd 10661 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3736abscld 14788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
3835, 37remulcld 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
3938adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
4039, 13reexpcld 13519 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
411, 40fsumrecl 15083 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
4230, 41remulcld 10663 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
431, 23fsumabs 15148 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))))
4430adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
4544, 40remulcld 10663 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
463, 11, 13knoppcnlem1 33825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))))
473, 17, 13knoppcnlem1 33825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
4846, 47oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
499, 13reexpcld 13519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℝ)
5049recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
5135adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
5251, 13reexpcld 13519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℝ)
5352, 11remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) ∈ ℝ)
542, 53dnicld2 33805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℝ)
5554recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℂ)
5652, 17remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℝ)
572, 56dnicld2 33805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
5857recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
5950, 55, 58subdid 11088 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
6059eqcomd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
6148, 60eqtrd 2854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖)) = ((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
6261fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) = (abs‘((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6355, 58subcld 10989 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℂ)
6450, 63absmuld 14806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = ((abs‘(𝐶𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6536adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6665, 13absexpd 14804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐶𝑖)) = ((abs‘𝐶)↑𝑖))
6766oveq1d 7163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐶𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6864, 67eqtrd 2854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
6962, 68eqtrd 2854 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
7063abscld 14788 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ∈ ℝ)
7153, 56resubcld 11060 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
7271recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
7372abscld 14788 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℝ)
7437adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
7574, 13reexpcld 13519 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℝ)
7665absge0d 14796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
7774, 13, 76expge0d 13520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑖))
782, 56, 53dnibnd 33823 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ≤ (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
7970, 73, 75, 77, 78lemul2ad 11572 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
8052recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
8111recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8217recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8380, 81, 82subdid 11088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴)) = ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))
8483eqcomd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴)))
8584fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴))))
8629adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
8780, 86absmuld 14806 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
8851recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8988, 13absexpd 14804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖))
9032recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9134recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9290, 91absmuld 14806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93 0le2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 2
9431absidi 14729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘2) = 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘2) = 2)
97 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
98 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
99 0le1 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 1)
101 nnge1 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
1024, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
10397, 98, 34, 100, 102letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
10434, 103absidd 14774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
10596, 104oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
10692, 105eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
107106oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
108107adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
10989, 108eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
110109oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴))))
11187, 110eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴))))
11285, 111eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴))))
113112oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
11475recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℂ)
11544recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
116114, 80, 115mulassd 10656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
117116eqcomd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
118114, 80mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℂ)
119118, 115mulcomd 10654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))))
120114, 80mulcomd 10654 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
12174recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
12288, 121, 13mulexpd 13517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
123122eqcomd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
124120, 123eqtrd 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
125124oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
126117, 119, 1253eqtrd 2858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
127113, 126eqtrd 2854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
12879, 127breqtrd 5083 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
12969, 128eqbrtrd 5079 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
1301, 26, 45, 129fsumle 15146 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
13130recnd 10661 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
132124, 118eqeltrrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℂ)
1331, 131, 132fsummulc2 15131 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
134133eqcomd 2825 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
135130, 134breqtrd 5083 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
13625, 27, 42, 43, 135letrd 10789 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹𝐵)‘𝑖) − ((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
13722, 136eqbrtrd 5079 1 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  (,)cioo 12730  ...cfz 12884  cfl 13152  cexp 13421  abscabs 14585  Σcsu 15034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  33857
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