Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem11 35490
Description: Lemma for knoppndv 35502. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem11.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem11.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem11.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
knoppndvlem11.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
knoppndvlem11.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem11.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘–   ๐ต,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐ฝ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘–)

Proof of Theorem knoppndvlem11
StepHypRef Expression
1 fzfid 13940 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐ฝ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 knoppndvlem11.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
3 knoppndvlem11.f . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
4 knoppndvlem11.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 knoppndvlem11.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 35482 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
87simpld 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
10 knoppndvlem11.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12 elfznn0 13596 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
142, 3, 5, 9, 11, 13knoppcnlem3 35463 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
1514recnd 11244 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
16 knoppndvlem11.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
182, 3, 5, 9, 17, 13knoppcnlem3 35463 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
1918recnd 11244 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
201, 15, 19fsumsub 15736 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
2120eqcomd 2738 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
2221fveq2d 6895 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) = (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))))
2315, 19subcld 11573 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
241, 23fsumcl 15681 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
2524abscld 15385 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
2623abscld 15385 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
271, 26fsumrecl 15682 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„)
2810, 16resubcld 11644 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
2928recnd 11244 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3029abscld 15385 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
31 2re 12288 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
33 nnre 12221 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
344, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3532, 34remulcld 11246 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
368recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3736abscld 15385 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
3835, 37remulcld 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
4039, 13reexpcld 14130 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
411, 40fsumrecl 15682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
4230, 41remulcld 11246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„)
431, 23fsumabs 15749 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))))
4430adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
4544, 40remulcld 11246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„)
463, 11, 13knoppcnlem1 35461 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))))
473, 17, 13knoppcnlem1 35461 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))
4846, 47oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = (((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
499, 13reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
5049recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
5135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
5251, 13reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
5352, 11remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
542, 53dnicld2 35441 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5554recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5652, 17remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
572, 56dnicld2 35441 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
5857recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5950, 55, 58subdid 11672 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = (((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
6059eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
6148, 60eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
6261fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6355, 58subcld 11573 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
6450, 63absmuld 15403 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) = ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6536adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6665, 13absexpd 15401 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘–)) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–))
6766oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6864, 67eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐‘–) ยท ((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
6962, 68eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))))
7063abscld 15385 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„)
7153, 56resubcld 11644 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
7271recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7372abscld 15385 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„)
7437adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
7574, 13reexpcld 14130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„)
7665absge0d 15393 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
7774, 13, 76expge0d 14131 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–))
782, 56, 53dnibnd 35459 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) โ‰ค (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))
7970, 73, 75, 77, 78lemul2ad 12156 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) โ‰ค (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))))
8052recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
8111recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8217recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8380, 81, 82subdid 11672 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))
8483eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8584fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) = (absโ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
8629adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
8780, 86absmuld 15403 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
8851recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8988, 13absexpd 15401 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = ((absโ€˜(2 ยท ๐‘))โ†‘๐‘–))
9032recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9134recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9290, 91absmuld 15403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2 ยท ๐‘)) = ((absโ€˜2) ยท (absโ€˜๐‘)))
93 0le2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โ‰ค 2
9431absidi 15326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 โ‰ค 2 โ†’ (absโ€˜2) = 2)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (absโ€˜2) = 2
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜2) = 2)
97 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
98 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
99 0le1 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โ‰ค 1
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
101 nnge1 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
1024, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
10397, 98, 34, 100, 102letrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
10434, 103absidd 15371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘) = ๐‘)
10596, 104oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜2) ยท (absโ€˜๐‘)) = (2 ยท ๐‘))
10692, 105eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2 ยท ๐‘)) = (2 ยท ๐‘))
107106oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(2 ยท ๐‘))โ†‘๐‘–) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(2 ยท ๐‘))โ†‘๐‘–) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))
10989, 108eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))
110109oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
11187, 110eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
11285, 111eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
113112oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
11475recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
11544recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
116114, 80, 115mulassd 11239 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
117116eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))) = ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
118114, 80mulcld 11236 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
119118, 115mulcomd 11237 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))))
120114, 80mulcomd 11237 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–)))
12174recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
12288, 121, 13mulexpd 14128 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–)))
123122eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–))
124120, 123eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–))
125124oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
126117, 119, 1253eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
127113, 126eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต) โˆ’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)))) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
12879, 127breqtrd 5174 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐‘–) ยท (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ต)) โˆ’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
12969, 128eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
1301, 26, 45, 129fsumle 15747 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
13130recnd 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
132124, 118eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
1331, 131, 132fsummulc2 15732 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
134133eqcomd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
135130, 134breqtrd 5174 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
13625, 27, 42, 43, 135letrd 11373 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
13722, 136eqbrtrd 5170 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘–) โˆ’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))) โ‰ค ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...(๐ฝ โˆ’ 1))(((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  (,)cioo 13326  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183  ฮฃcsu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  35493
  Copyright terms: Public domain W3C validator