Proof of Theorem knoppndvlem11
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fzfid 14014 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin) |
| 2 | | knoppndvlem11.t |
. . . . . . 7
⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦
(abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥))) |
| 3 | | knoppndvlem11.f |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))))) |
| 4 | | knoppndvlem11.n |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 5 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 6 | | knoppndvlem11.c |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1)) |
| 7 | 6 | knoppndvlem3 36515 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1)) |
| 8 | 7 | simpld 494 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 10 | | knoppndvlem11.b |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 11 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 12 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
| 13 | 12 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
| 14 | 2, 3, 5, 9, 11, 13 | knoppcnlem3 36496 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ) |
| 15 | 14 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ) |
| 16 | | knoppndvlem11.a |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 17 | 16 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 18 | 2, 3, 5, 9, 17, 13 | knoppcnlem3 36496 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ) |
| 19 | 18 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ) |
| 20 | 1, 15, 19 | fsumsub 15824 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) |
| 21 | 20 | eqcomd 2743 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) |
| 22 | 21 | fveq2d 6910 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))) |
| 23 | 15, 19 | subcld 11620 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ) |
| 24 | 1, 23 | fsumcl 15769 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ) |
| 25 | 24 | abscld 15475 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ) |
| 26 | 23 | abscld 15475 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ) |
| 27 | 1, 26 | fsumrecl 15770 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ) |
| 28 | 10, 16 | resubcld 11691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
| 29 | 28 | recnd 11289 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 30 | 29 | abscld 15475 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 31 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
| 33 | | nnre 12273 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 34 | 4, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 35 | 32, 34 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
| 36 | 8 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 37 | 36 | abscld 15475 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈
ℝ) |
| 38 | 35, 37 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈
ℝ) |
| 39 | 38 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈
ℝ) |
| 40 | 39, 13 | reexpcld 14203 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ) |
| 41 | 1, 40 | fsumrecl 15770 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ) |
| 42 | 30, 41 | remulcld 11291 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ) |
| 43 | 1, 23 | fsumabs 15837 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))) |
| 44 | 30 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 45 | 44, 40 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ) |
| 46 | 3, 11, 13 | knoppcnlem1 36494 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)))) |
| 47 | 3, 17, 13 | knoppcnlem1 36494 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) |
| 48 | 46, 47 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) |
| 49 | 9, 13 | reexpcld 14203 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℝ) |
| 50 | 49 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 51 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
| 52 | 51, 13 | reexpcld 14203 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℝ) |
| 53 | 52, 11 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) ∈ ℝ) |
| 54 | 2, 53 | dnicld2 36474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 55 | 54 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℂ) |
| 56 | 52, 17 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℝ) |
| 57 | 2, 56 | dnicld2 36474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 58 | 57 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 59 | 50, 55, 58 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) |
| 60 | 59 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) |
| 61 | 48, 60 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) |
| 62 | 61 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))) |
| 63 | 55, 58 | subcld 11620 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℂ) |
| 64 | 50, 63 | absmuld 15493 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))) |
| 65 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 66 | 65, 13 | absexpd 15491 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐶↑𝑖)) = ((abs‘𝐶)↑𝑖)) |
| 67 | 66 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))) |
| 68 | 64, 67 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))) |
| 69 | 62, 68 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))) |
| 70 | 63 | abscld 15475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ∈ ℝ) |
| 71 | 53, 56 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 72 | 71 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 73 | 72 | abscld 15475 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2
· 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℝ) |
| 74 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈
ℝ) |
| 75 | 74, 13 | reexpcld 14203 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℝ) |
| 76 | 65 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ (abs‘𝐶)) |
| 77 | 74, 13, 76 | expge0d 14204 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤
((abs‘𝐶)↑𝑖)) |
| 78 | 2, 56, 53 | dnibnd 36492 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ≤ (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) |
| 79 | 70, 73, 75, 77, 78 | lemul2ad 12208 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) |
| 80 | 52 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 81 | 11 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 82 | 17 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 83 | 80, 81, 82 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)) = ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) |
| 84 | 83 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) |
| 85 | 84 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2
· 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)))) |
| 86 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 87 | 80, 86 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2
· 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) |
| 88 | 51 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈
ℂ) |
| 89 | 88, 13 | absexpd 15491 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 ·
𝑁)↑𝑖)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖)) |
| 90 | 32 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 91 | 34 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 92 | 90, 91 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (abs‘(2 ·
𝑁)) = ((abs‘2)
· (abs‘𝑁))) |
| 93 | | 0le2 12368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 0 ≤
2 |
| 94 | 31 | absidi 15416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 ≤ 2
→ (abs‘2) = 2) |
| 95 | 93, 94 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(abs‘2) = 2 |
| 96 | 95 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (abs‘2) =
2) |
| 97 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 98 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 99 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 0 ≤
1 |
| 100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
| 101 | | nnge1 12294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤
𝑁) |
| 102 | 4, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁) |
| 103 | 97, 98, 34, 100, 102 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 104 | 34, 103 | absidd 15461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁) |
| 105 | 96, 104 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((abs‘2) ·
(abs‘𝑁)) = (2
· 𝑁)) |
| 106 | 92, 105 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(2 ·
𝑁)) = (2 · 𝑁)) |
| 107 | 106 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 ·
𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖)) |
| 108 | 107 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(2 ·
𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖)) |
| 109 | 89, 108 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 ·
𝑁)↑𝑖)) = ((2 · 𝑁)↑𝑖)) |
| 110 | 109 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘((2
· 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) |
| 111 | 87, 110 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2
· 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) |
| 112 | 85, 111 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2
· 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) |
| 113 | 112 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))) |
| 114 | 75 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 115 | 44 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 116 | 114, 80, 115 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))) |
| 117 | 116 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) |
| 118 | 114, 80 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℂ) |
| 119 | 118, 115 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)))) |
| 120 | 114, 80 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖))) |
| 121 | 74 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈
ℂ) |
| 122 | 88, 121, 13 | mulexpd 14201 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖))) |
| 123 | 122 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) |
| 124 | 120, 123 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) |
| 125 | 124 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 126 | 117, 119,
125 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 127 | 113, 126 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 128 | 79, 127 | breqtrd 5169 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 129 | 69, 128 | eqbrtrd 5165 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 130 | 1, 26, 45, 129 | fsumle 15835 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 131 | 30 | recnd 11289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 132 | 124, 118 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 133 | 1, 131, 132 | fsummulc2 15820 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 134 | 133 | eqcomd 2743 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 135 | 130, 134 | breqtrd 5169 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 136 | 25, 27, 42, 43, 135 | letrd 11418 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |
| 137 | 22, 136 | eqbrtrd 5165 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))) |