Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnicn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnicn 36493
Description: The "distance to nearest integer" function is continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
dnicn.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
dnicn 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem dnicn
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dnicn.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
21dnif 36475 . 2 𝑇:ℝ⟶ℝ
3 simpr 484 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → 𝑧 ∈ ℝ)
51, 4dnicld2 36474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
6 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
71, 6dnicld2 36474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (𝑇𝑦) ∈ ℝ)
85, 7resubcld 11691 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
98recnd 11289 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦)) ∈ ℂ)
109abscld 15475 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) ∈ ℝ)
114, 6resubcld 11691 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
1211recnd 11289 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (𝑧𝑦) ∈ ℂ)
1312abscld 15475 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧𝑦)) ∈ ℝ)
143ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1514rpred 13077 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ)
161, 6, 4dnibnd 36492 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
17 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒)
1810, 13, 15, 16, 17lelttrd 11419 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒)
1918ex 412 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒))
2019ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒))
21 breq2 5147 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
2221rspceaimv 3628 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒))
233, 20, 22syl2anc 584 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒))
2423rgen2 3199 . 2 𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒)
25 ax-resscn 11212 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
26 elcncf2 24916 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒))))
2725, 25, 26mp2an 692 . 2 (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇𝑦))) < 𝑒)))
282, 24, 27mpbir2an 711 1 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  cfl 13830  abscabs 15273  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  knoppcnlem10  36503
  Copyright terms: Public domain W3C validator