Theorem dnicn 34672

Description: The "distance to nearest integer" function is continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnicn.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnicn	⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem dnicn

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnicn.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2	1	dnif 34654	. 2 ⊢ 𝑇:ℝ⟶ℝ
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	dnicld2 34653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℝ)
6		simplll 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	1, 6	dnicld2 34653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ∈ ℝ)
11	4, 6	resubcld 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
14	3	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 12772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ)
16	1, 6, 4	dnibnd 34671	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
17		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒)
18	10, 13, 15, 16, 17	lelttrd 11133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
19	18	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
20	19	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
21		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
22	21	rspceaimv 3565	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
23	3, 20, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
24	23	rgen2 3120	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
25		ax-resscn 10928	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26		elcncf2 24053	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))))
27	25, 25, 26	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)))
28	2, 24, 27	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  ⌊cfl 13510  abscabs 14945  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  knoppcnlem10  34682