Theorem dnicn 36095

Description: The "distance to nearest integer" function is continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnicn.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnicn	⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem dnicn

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnicn.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2	1	dnif 36077	. 2 ⊢ 𝑇:ℝ⟶ℝ
3		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	dnicld2 36076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℝ)
6		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	1, 6	dnicld2 36076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ∈ ℝ)
11	4, 6	resubcld 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
14	3	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13051	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ)
16	1, 6, 4	dnibnd 36094	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
17		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒)
18	10, 13, 15, 16, 17	lelttrd 11404	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
19	18	ex 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
20	19	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
21		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
22	21	rspceaimv 3612	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
23	3, 20, 22	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
24	23	rgen2 3187	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
25		ax-resscn 11197	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26		elcncf2 24854	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))))
27	25, 25, 26	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)))
28	2, 24, 27	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280   − cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  ℝ⁺crp 13009  ⌊cfl 13791  abscabs 15217  –cn→ccncf 24840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-cncf 24842

This theorem is referenced by:  knoppcnlem10  36105