Theorem dnicn 37358

Description: The "distance to nearest integer" function is continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnicn.1	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
dnicn	⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem dnicn

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnicn.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2	1	dnif 37340	. 2 ⊢ 𝑇:ℝ⟶ℝ
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑧 ∈ ℝ)
5	1, 4	dnicld2 37339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑧) ∈ ℝ)
6		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	1, 6	dnicld2 37339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℝ)
8	5, 7	resubcld 11744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ∈ ℝ)
11	4, 6	resubcld 11744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) ∈ ℝ)
14	3	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13164	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → 𝑒 ∈ ℝ)
16	1, 6, 4	dnibnd 37357	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
17		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒)
18	10, 13, 15, 16, 17	lelttrd 11468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒) → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
19	18	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
20	19	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
21		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒))
22	21	rspceaimv 3583	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
23	3, 20, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))
24	23	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)
25		ax-resscn 11257	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26		elcncf2 25211	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒))))
27	25, 25, 26	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝑇:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧 − 𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘𝑦))) < 𝑒)))
28	2, 24, 27	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  ⌊cfl 13930  abscabs 15401  –cn→ccncf 25197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-cncf 25199

This theorem is used by:  knoppcnlem10  37368