Theorem knoppndvlem7 34232

Description: Lemma for knoppndv 34248. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem7.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppndvlem7.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4		knoppndvlem7.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppndvlem7.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
7		knoppndvlem7.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	knoppndvlem1 34226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrd 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	1, 9, 5	knoppcnlem1 34207	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
11	2	oveq2i 7154	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13		2cnd 11737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14		nnz 12028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 10684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
18	17, 5	expcld 13545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19		2ne0 11763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
21		0red 10667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22		1red 10665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23	15	zred 12111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		0lt1 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		nnge1 11687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
28	21, 22, 23, 25, 27	ltletrd 10823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
29	21, 28	ltned 10799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
30	29	necomd 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
31	13, 16, 20, 30	mulne0d 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
32	6	znegcld 12113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
33	17, 31, 32	expclzd 13550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
34	33, 13, 20	divcld 11439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
35	7	zcnd 12112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
36	18, 34, 35	mulassd 10687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
37	36	eqcomd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
38	18, 33, 13, 20	divassd 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
39	38	eqcomd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
40	17, 31, 6	expnegd 13552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
41	40	oveq2d 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
42	17, 31, 6	expne0d 13551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
43	18, 42	recidd 11434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
44	41, 43	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
45	44	oveq1d 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
46	39, 45	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
47	46	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
48	35, 13, 20	divrec2d 11443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
49	48	eqcomd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
50	37, 47, 49	3eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
51	12, 50	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
52	51	fveq2d 6655	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
53	52	oveq2d 7159	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
54	10, 53	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  -cneg 10894   / cdiv 11320  ℕcn 11659  2c2 11714  ℕ₀cn0 11919  ℤcz 12005  ⌊cfl 13194  ↑cexp 13464  abscabs 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-seq 13404  df-exp 13465

This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  34233  knoppndvlem9  34234