Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem7 33741
Description: Lemma for knoppndv 33757. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem7.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem7.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppndvlem7.a . . . . 5 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4 knoppndvlem7.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppndvlem7.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
65nn0zd 12077 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
7 knoppndvlem7.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
84, 6, 7knoppndvlem1 33735 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
93, 8eqeltrd 2917 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
101, 9, 5knoppcnlem1 33716 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
112oveq2i 7162 . . . . . 6 (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13 2cnd 11707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14 nnz 11996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1713, 16mulcld 10653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
1817, 5expcld 13503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 0)
21 0red 10636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2315zred 12079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
24 0lt1 11154 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
26 nnge1 11657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
274, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
2821, 22, 23, 25, 27ltletrd 10792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2921, 28ltned 10768 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
3029necomd 3075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
3113, 16, 20, 30mulne0d 11284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
326znegcld 12081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
3317, 31, 32expclzd 13508 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
3433, 13, 20divcld 11408 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
357zcnd 12080 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3618, 34, 35mulassd 10656 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
3736eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
3818, 33, 13, 20divassd 11443 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
3938eqcomd 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
4017, 31, 6expnegd 13510 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
4140oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
4217, 31, 6expne0d 13509 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
4318, 42recidd 11403 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
4441, 43eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
4544oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
4639, 45eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
4746oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
4835, 13, 20divrec2d 11412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
4948eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
5037, 47, 493eqtrd 2864 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
5112, 50eqtrd 2860 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
5251fveq2d 6670 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
5352oveq2d 7167 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
5410, 53eqtrd 2860 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cfl 13153  cexp 13422  abscabs 14586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13363  df-exp 13423
This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  33742  knoppndvlem9  33743
  Copyright terms: Public domain W3C validator