Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem7 35486
Description: Lemma for knoppndv 35502. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem7.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem7.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem7.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem7.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem7.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem7.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem7 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem knoppndvlem7
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem7.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
2 knoppndvlem7.a . . . . 5 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
32a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
4 knoppndvlem7.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 knoppndvlem7.j . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
7 knoppndvlem7.m . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
84, 6, 7knoppndvlem1 35480 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
93, 8eqeltrd 2833 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
101, 9, 5knoppcnlem1 35461 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด))))
112oveq2i 7422 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
1211a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)))
13 2cnd 12292 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
14 nnz 12581 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12669 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1713, 16mulcld 11236 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1817, 5expcld 14113 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
19 2ne0 12318 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
21 0red 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
22 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2315zred 12668 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
24 0lt1 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
26 nnge1 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
274, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
2821, 22, 23, 25, 27ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
2921, 28ltned 11352 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  ๐‘)
3029necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3113, 16, 20, 30mulne0d 11868 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
326znegcld 12670 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3317, 31, 32expclzd 14118 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
3433, 13, 20divcld 11992 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
357zcnd 12669 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3618, 34, 35mulassd 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท ๐‘€) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)))
3736eqcomd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท ๐‘€))
3818, 33, 13, 20divassd 12027 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) / 2) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
3938eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) / 2))
4017, 31, 6expnegd 14120 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) = (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)))
4140oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))))
4217, 31, 6expne0d 14119 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โ‰  0)
4318, 42recidd 11987 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))) = 1)
4441, 43eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = 1)
4544oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) / 2) = (1 / 2))
4639, 45eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (1 / 2))
4746oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท ๐‘€) = ((1 / 2) ยท ๐‘€))
4835, 13, 20divrec2d 11996 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((1 / 2) ยท ๐‘€))
4948eqcomd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ๐‘€) = (๐‘€ / 2))
5037, 47, 493eqtrd 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)) = (๐‘€ / 2))
5112, 50eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด) = (๐‘€ / 2))
5251fveq2d 6895 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)))
5352oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
5410, 53eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โŒŠcfl 13757  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  35487  knoppndvlem9  35488
  Copyright terms: Public domain W3C validator