Theorem knoppndvlem7 36501

Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem7.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppndvlem7.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4		knoppndvlem7.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppndvlem7.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
7		knoppndvlem7.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	knoppndvlem1 36495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	1, 9, 5	knoppcnlem1 36476	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
11	2	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13		2cnd 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14		nnz 12632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
18	17, 5	expcld 14183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
21		0red 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23	15	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		0lt1 11783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		nnge1 12292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
28	21, 22, 23, 25, 27	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
29	21, 28	ltned 11395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
30	29	necomd 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
31	13, 16, 20, 30	mulne0d 11913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
32	6	znegcld 12722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
33	17, 31, 32	expclzd 14188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
34	33, 13, 20	divcld 12041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
35	7	zcnd 12721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
36	18, 34, 35	mulassd 11282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
37	36	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
38	18, 33, 13, 20	divassd 12076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
39	38	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
40	17, 31, 6	expnegd 14190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
41	40	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
42	17, 31, 6	expne0d 14189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
43	18, 42	recidd 12036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
44	41, 43	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
45	44	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
46	39, 45	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
47	46	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
48	35, 13, 20	divrec2d 12045	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
49	48	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
50	37, 47, 49	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
51	12, 50	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
52	51	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
53	52	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
54	10, 53	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ⌊cfl 13827  ↑cexp 14099  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  36502  knoppndvlem9  36503