Theorem knoppndvlem7 34981

Description: Lemma for knoppndv 34997. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem7.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppndvlem7.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4		knoppndvlem7.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppndvlem7.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
7		knoppndvlem7.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	knoppndvlem1 34975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	1, 9, 5	knoppcnlem1 34956	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
11	2	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13		2cnd 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14		nnz 12520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
18	17, 5	expcld 14051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19		2ne0 12257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
21		0red 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23	15	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		0lt1 11677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		nnge1 12181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
28	21, 22, 23, 25, 27	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
29	21, 28	ltned 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
30	29	necomd 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
31	13, 16, 20, 30	mulne0d 11807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
32	6	znegcld 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
33	17, 31, 32	expclzd 14056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
34	33, 13, 20	divcld 11931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
35	7	zcnd 12608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
36	18, 34, 35	mulassd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
37	36	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
38	18, 33, 13, 20	divassd 11966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
39	38	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
40	17, 31, 6	expnegd 14058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
41	40	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
42	17, 31, 6	expne0d 14057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
43	18, 42	recidd 11926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
44	41, 43	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
45	44	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
46	39, 45	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
47	46	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
48	35, 13, 20	divrec2d 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
49	48	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
50	37, 47, 49	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
51	12, 50	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
52	51	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
53	52	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
54	10, 53	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968

This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  34982  knoppndvlem9  34983