Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem7 35394
Description: Lemma for knoppndv 35410. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem7.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem7.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem7.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem7.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem7.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem7.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem7 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem knoppndvlem7
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem7.f . . 3 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
2 knoppndvlem7.a . . . . 5 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
32a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
4 knoppndvlem7.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 knoppndvlem7.j . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
7 knoppndvlem7.m . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
84, 6, 7knoppndvlem1 35388 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
93, 8eqeltrd 2834 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
101, 9, 5knoppcnlem1 35369 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด))))
112oveq2i 7420 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
1211a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)))
13 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
14 nnz 12579 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1713, 16mulcld 11234 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1817, 5expcld 14111 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
19 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
21 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
22 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2315zred 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
24 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
26 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
274, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
2821, 22, 23, 25, 27ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
2921, 28ltned 11350 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  ๐‘)
3029necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3113, 16, 20, 30mulne0d 11866 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
326znegcld 12668 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3317, 31, 32expclzd 14116 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
3433, 13, 20divcld 11990 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
357zcnd 12667 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3618, 34, 35mulassd 11237 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท ๐‘€) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)))
3736eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท ๐‘€))
3818, 33, 13, 20divassd 12025 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) / 2) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
3938eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) / 2))
4017, 31, 6expnegd 14118 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) = (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)))
4140oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))))
4217, 31, 6expne0d 14117 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โ‰  0)
4318, 42recidd 11985 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))) = 1)
4441, 43eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = 1)
4544oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) / 2) = (1 / 2))
4639, 45eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (1 / 2))
4746oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท ๐‘€) = ((1 / 2) ยท ๐‘€))
4835, 13, 20divrec2d 11994 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / 2) = ((1 / 2) ยท ๐‘€))
4948eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ๐‘€) = (๐‘€ / 2))
5037, 47, 493eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)) = (๐‘€ / 2))
5112, 50eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด) = (๐‘€ / 2))
5251fveq2d 6896 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2)))
5352oveq2d 7425 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
5410, 53eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘€ / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โŒŠcfl 13755  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  35395  knoppndvlem9  35396
  Copyright terms: Public domain W3C validator