Theorem knoppndvlem7 37140

Description: Lemma for knoppndv 37156. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem7.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppndvlem7.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4		knoppndvlem7.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppndvlem7.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
7		knoppndvlem7.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	knoppndvlem1 37134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	1, 9, 5	knoppcnlem1 37115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
11	2	oveq2i 7427	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13		2cnd 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14		nnz 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
18	17, 5	expcld 14196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19		2ne0 12358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
21		0red 11222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23	15	zred 12712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		0lt1 11747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		nnge1 12275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
27	4, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
28	21, 22, 23, 25, 27	ltletrd 11381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
29	21, 28	ltned 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
30	29	necomd 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
31	13, 16, 20, 30	mulne0d 11877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
32	6	znegcld 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
33	17, 31, 32	expclzd 14201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
34	33, 13, 20	divcld 12002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
35	7	zcnd 12713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
36	18, 34, 35	mulassd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
37	36	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
38	18, 33, 13, 20	divassd 12037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
39	38	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
40	17, 31, 6	expnegd 14203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
41	40	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
42	17, 31, 6	expne0d 14202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
43	18, 42	recidd 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
44	41, 43	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
45	44	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
46	39, 45	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
47	46	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
48	35, 13, 20	divrec2d 12006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
49	48	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
50	37, 47, 49	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
51	12, 50	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
52	51	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
53	52	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
54	10, 53	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ⌊cfl 13837  ↑cexp 14111  abscabs 15305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  knoppndvlem8  37141  knoppndvlem9  37142