Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem7 36519
Description: Lemma for knoppndv 36535. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem7.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem7.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppndvlem7.a . . . . 5 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4 knoppndvlem7.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppndvlem7.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
65nn0zd 12639 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
7 knoppndvlem7.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
84, 6, 7knoppndvlem1 36513 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
93, 8eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
101, 9, 5knoppcnlem1 36494 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
112oveq2i 7442 . . . . . 6 (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13 2cnd 12344 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14 nnz 12634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1713, 16mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
1817, 5expcld 14186 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 0)
21 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2315zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
24 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
26 nnge1 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
274, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
2821, 22, 23, 25, 27ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2921, 28ltned 11397 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
3029necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
3113, 16, 20, 30mulne0d 11915 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
326znegcld 12724 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
3317, 31, 32expclzd 14191 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
3433, 13, 20divcld 12043 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
357zcnd 12723 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3618, 34, 35mulassd 11284 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
3736eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
3818, 33, 13, 20divassd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
3938eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
4017, 31, 6expnegd 14193 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
4140oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
4217, 31, 6expne0d 14192 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
4318, 42recidd 12038 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
4441, 43eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
4544oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
4639, 45eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
4746oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
4835, 13, 20divrec2d 12047 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
4948eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
5037, 47, 493eqtrd 2781 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
5112, 50eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
5251fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
5352oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
5410, 53eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cfl 13830  cexp 14102  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  36520  knoppndvlem9  36521
  Copyright terms: Public domain W3C validator