Theorem knoppcnlem3 36611

Description: Lemma for knoppcn 36620. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem3.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem3.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 36609	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5		knoppcnlem3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		knoppcnlem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7, 2, 3	knoppcnlem2 36610	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
9	4, 8	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355   / cdiv 11785  ℕcn 12136  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392  ⌊cfl 13701  ↑cexp 13975  abscabs 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150

This theorem is referenced by:  knoppcnlem5  36613  knoppcnlem8  36616  knoppcnlem9  36617  knoppcnlem11  36619  knoppndvlem5  36632  knoppndvlem6  36633  knoppndvlem10  36637  knoppndvlem11  36638  knoppndvlem15  36642  knoppf  36651