Theorem knoppcnlem3 37454

Description: Lemma for knoppcn 37463. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem3.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem3.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 37452	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5		knoppcnlem3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		knoppcnlem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7, 2, 3	knoppcnlem2 37453	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
9	4, 8	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ⌊cfl 13934  ↑cexp 14208  abscabs 15407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409

This theorem is used by:  knoppcnlem5  37456  knoppcnlem8  37459  knoppcnlem9  37460  knoppcnlem11  37462  knoppndvlem5  37475  knoppndvlem6  37476  knoppndvlem10  37480  knoppndvlem11  37481  knoppndvlem15  37485  knoppf  37494