Theorem knoppcnlem3 34733

Description: Lemma for knoppcn 34742. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem3.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem3.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppcnlem3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	knoppcnlem1 34731	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5		knoppcnlem3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		knoppcnlem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7, 2, 3	knoppcnlem2 34732	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
9	4, 8	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  ℝcr 10943  1c1 10945   + caddc 10947   · cmul 10949   − cmin 11278   / cdiv 11705  ℕcn 12046  2c2 12101  ℕ₀cn0 12306  ⌊cfl 13583  ↑cexp 13855  abscabs 15017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-rp 12804  df-fl 13585  df-seq 13795  df-exp 13856  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019

This theorem is referenced by:  knoppcnlem5  34735  knoppcnlem8  34738  knoppcnlem9  34739  knoppcnlem11  34741  knoppndvlem5  34754  knoppndvlem6  34755  knoppndvlem10  34759  knoppndvlem11  34760  knoppndvlem15  34764  knoppf  34773