Theorem knoppcnlem10 36468

Description: Lemma for knoppcn 36470. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.) Avoid ax-mulf 11264. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem10.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem10	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem10.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem10.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	knoppcnlem1 36459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
6	5	mpteq2dva 5266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7		retopon 24805	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopon 24824	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		knoppcnlem10.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13, 3	expcld 14196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
15	8, 11, 14	cnmptc 23691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		2cnd 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17		knoppcnlem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
20	19, 3	expcld 14196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
21	8, 11, 20	cnmptc 23691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22	9	tgioo2 24844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
23	22	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24	9	cnfldtop 24825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
25		cnrest2r 23316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
27	23, 26	eqsstri 4043	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
28	8	cnmptid 23690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
29	27, 28	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	9	mpomulcn 24910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32		oveq12 7457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑢 · 𝑣) = (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))
33	8, 21, 29, 11, 11, 31, 32	cnmpt12 23696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
36	17	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	35, 36	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
38	37, 3	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
40	39, 2	remulcld 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	fmpttd 7149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
42	41	frnd 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
43		ax-resscn 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45		cnrest2 23315	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
46	10, 42, 44, 45	mp3an2i 1466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
47	33, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
48	47, 23	eleqtrrdi 2855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
49		ssid 4031	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50		cncfss 24944	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
51	43, 49, 50	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
52		knoppcnlem10.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
53	52	dnicn 36458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
55	51, 54	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
56	10	toponrestid 22948	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
57	9, 22, 56	cncfcn 24955	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
58	43, 49, 57	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
59	55, 58	eleqtrdi 2854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
60	8, 48, 59	cnmpt11f 23693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
61		oveq12 7457	. . 3 ⊢ ((𝑢 = (𝐶↑𝑀) ∧ 𝑣 = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
62	8, 15, 60, 11, 11, 31, 61	cnmpt12 23696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
63	6, 62	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  (,)cioo 13407  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  topGenctg 17497  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253   ×_t ctx 23589  –cn→ccncf 24921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923

This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  36469