Theorem knoppcnlem10 34778

Description: Lemma for knoppcn 34780. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem10.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem10	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem10.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem10.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	knoppcnlem1 34769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
6	5	mpteq2dva 5192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7		retopon 24033	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopon 24052	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		knoppcnlem10.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13, 3	expcld 13965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
15	8, 11, 14	cnmptc 22919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		2re 12148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18		knoppcnlem10.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnre 12081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
21	17, 20	remulcld 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22	21, 3	reexpcld 13982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
24	8, 11, 23	cnmptc 22919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	9	tgioo2 24072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26	25	oveq2i 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
27	10	topontopi 22170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
28		cnrest2r 22544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
30	26, 29	eqsstri 3966	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	8	cnmptid 22918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
32	30, 31	sselid 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33	9	mulcn 24136	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35	8, 24, 32, 34	cnmpt12f 22923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
36	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
37	36, 2	remulcld 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
38	37	fmpttd 7045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
39	38	frnd 6659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
40		ax-resscn 11029	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42	11, 39, 41	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ))
43		cnrest2 22543	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
45	35, 44	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
46	45, 26	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
47		ssid 3954	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
48	40, 47	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
49		cncfss 24168	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
51		knoppcnlem10.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
52	51	dnicn 34768	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
54	50, 53	sselid 3930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
55	10	toponrestid 22176	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	9, 25, 55	cncfcn 24179	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	48, 56	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	54, 57	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
59	8, 46, 58	cnmpt11f 22921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
60	8, 15, 59, 34	cnmpt12f 22923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
61	6, 60	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5175  ran crn 5621  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  ℝcr 10971  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   − cmin 11306   / cdiv 11733  ℕcn 12074  2c2 12129  ℕ₀cn0 12334  (,)cioo 13180  ⌊cfl 13611  ↑cexp 13883  abscabs 15044   ↾_t crest 17228  TopOpenctopn 17229  topGenctg 17245  ℂ_fldccnfld 20703  Topctop 22148  TopOnctopon 22165   Cn ccn 22481   ×_t ctx 22817  –cn→ccncf 24145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-mulf 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147

This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  34779