Theorem knoppcnlem10 36490

Description: Lemma for knoppcn 36492. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.) Avoid ax-mulf 11148. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem10.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem10	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem10.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem10.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	knoppcnlem1 36481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
6	5	mpteq2dva 5200	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7		retopon 24651	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopon 24670	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		knoppcnlem10.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13, 3	expcld 14111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
15	8, 11, 14	cnmptc 23549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		2cnd 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17		knoppcnlem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
20	19, 3	expcld 14111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
21	8, 11, 20	cnmptc 23549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22		tgioo4 24693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
23	22	oveq2i 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24	9	cnfldtop 24671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
25		cnrest2r 23174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
27	23, 26	eqsstri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
28	8	cnmptid 23548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
29	27, 28	sselid 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	9	mpomulcn 24758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32		oveq12 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑢 · 𝑣) = (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))
33	8, 21, 29, 11, 11, 31, 32	cnmpt12 23554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
36	17	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	35, 36	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
38	37, 3	reexpcld 14128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
40	39, 2	remulcld 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	fmpttd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
42	41	frnd 6696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
43		ax-resscn 11125	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45		cnrest2 23173	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
46	10, 42, 44, 45	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
47	33, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
48	47, 23	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
49		ssid 3969	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50		cncfss 24792	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
51	43, 49, 50	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
52		knoppcnlem10.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
53	52	dnicn 36480	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
55	51, 54	sselid 3944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
56	10	toponrestid 22808	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
57	9, 22, 56	cncfcn 24803	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
58	43, 49, 57	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
59	55, 58	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
60	8, 48, 59	cnmpt11f 23551	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
61		oveq12 7396	. . 3 ⊢ ((𝑢 = (𝐶↑𝑀) ∧ 𝑣 = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
62	8, 15, 60, 11, 11, 31, 61	cnmpt12 23554	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
63	6, 62	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  (,)cioo 13306  ⌊cfl 13752  ↑cexp 14026  abscabs 15200   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111   ×_t ctx 23447  –cn→ccncf 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771

This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  36491