Theorem knoppcnlem10 34376

Description: Lemma for knoppcn 34378. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem10.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem10	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem10.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem10.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	knoppcnlem1 34367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
6	5	mpteq2dva 5139	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7		retopon 23633	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopon 23652	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		knoppcnlem10.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	recnd 10844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13, 3	expcld 13699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
15	8, 11, 14	cnmptc 22531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		2re 11887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18		knoppcnlem10.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnre 11820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
21	17, 20	remulcld 10846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
22	21, 3	reexpcld 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
24	8, 11, 23	cnmptc 22531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	9	tgioo2 23672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26	25	oveq2i 7213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
27	10	topontopi 21784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
28		cnrest2r 22156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
30	26, 29	eqsstri 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	8	cnmptid 22530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
32	30, 31	sseldi 3889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33	9	mulcn 23736	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35	8, 24, 32, 34	cnmpt12f 22535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
36	22	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
37	36, 2	remulcld 10846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
38	37	fmpttd 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
39	38	frnd 6542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
40		ax-resscn 10769	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42	11, 39, 41	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ))
43		cnrest2 22155	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
45	35, 44	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
46	45, 26	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
47		ssid 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
48	40, 47	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
49		cncfss 23768	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
51		knoppcnlem10.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
52	51	dnicn 34366	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
54	50, 53	sseldi 3889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
55	10	toponrestid 21790	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	9, 25, 55	cncfcn 23779	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	48, 56	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	54, 57	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
59	8, 46, 58	cnmpt11f 22533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
60	8, 15, 59, 34	cnmpt12f 22535	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
61	6, 60	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3857   ↦ cmpt 5124  ran crn 5541  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717   − cmin 11045   / cdiv 11472  ℕcn 11813  2c2 11868  ℕ₀cn0 12073  (,)cioo 12918  ⌊cfl 13348  ↑cexp 13618  abscabs 14780   ↾_t crest 16897  TopOpenctopn 16898  topGenctg 16914  ℂ_fldccnfld 20335  Topctop 21762  TopOnctopon 21779   Cn ccn 22093   ×_t ctx 22429  –cn→ccncf 23745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-mulf 10792

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-er 8380  df-map 8499  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-fi 9016  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ioo 12922  df-icc 12925  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-fl 13350  df-seq 13558  df-exp 13619  df-hash 13880  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-hom 16791  df-cco 16792  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-pt 16921  df-prds 16924  df-xrs 16979  df-qtop 16984  df-imas 16985  df-xps 16987  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-submnd 18191  df-mulg 18461  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-cnfld 20336  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-cn 22096  df-cnp 22097  df-tx 22431  df-hmeo 22624  df-xms 23190  df-ms 23191  df-tms 23192  df-cncf 23747

This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  34377