Theorem knoppcnlem10 36525

Description: Lemma for knoppcn 36527. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.) Avoid ax-mulf 11214. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem10.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem10	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem10.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3		knoppcnlem10.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	knoppcnlem1 36516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
6	5	mpteq2dva 5219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7		retopon 24707	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10	9	cnfldtopon 24726	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		knoppcnlem10.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13, 3	expcld 14169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝑀) ∈ ℂ)
15	8, 11, 14	cnmptc 23605	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		2cnd 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17		knoppcnlem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
20	19, 3	expcld 14169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
21	8, 11, 20	cnmptc 23605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22		tgioo4 24749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
23	22	oveq2i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24	9	cnfldtop 24727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
25		cnrest2r 23230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
27	23, 26	eqsstri 4010	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
28	8	cnmptid 23604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
29	27, 28	sselid 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	9	mpomulcn 24814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32		oveq12 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 = ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑢 · 𝑣) = (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))
33	8, 21, 29, 11, 11, 31, 32	cnmpt12 23610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
36	17	nnred 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	35, 36	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
38	37, 3	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
40	39, 2	remulcld 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
41	40	fmpttd 7110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
42	41	frnd 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
43		ax-resscn 11191	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45		cnrest2 23229	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
46	10, 42, 44, 45	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
47	33, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
48	47, 23	eleqtrrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
49		ssid 3986	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50		cncfss 24848	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
51	43, 49, 50	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
52		knoppcnlem10.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
53	52	dnicn 36515	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
55	51, 54	sselid 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
56	10	toponrestid 22864	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
57	9, 22, 56	cncfcn 24859	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
58	43, 49, 57	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
59	55, 58	eleqtrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
60	8, 48, 59	cnmpt11f 23607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
61		oveq12 7419	. . 3 ⊢ ((𝑢 = (𝐶↑𝑀) ∧ 𝑣 = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
62	8, 15, 60, 11, 11, 31, 61	cnmpt12 23610	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
63	6, 62	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  (,)cioo 13367  ⌊cfl 13812  ↑cexp 14084  abscabs 15258   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  topGenctg 17456  ℂ_fldccnfld 21320  Topctop 22836  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167   ×_t ctx 23503  –cn→ccncf 24825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827

This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  36526