Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem10 36485
Description: Lemma for knoppcn 36487. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem10.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
51, 2, 4knoppcnlem1 36476 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
65mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7 retopon 24800 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9 eqid 2735 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopon 24819 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12 knoppcnlem10.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312recnd 11287 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413, 3expcld 14183 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
158, 11, 14cnmptc 23686 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 2cnd 12342 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17 knoppcnlem10.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1916, 18mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
2019, 3expcld 14183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
218, 11, 20cnmptc 23686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
229tgioo2 24839 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2322oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
249cnfldtop 24820 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
25 cnrest2r 23311 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2723, 26eqsstri 4030 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
288cnmptid 23685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
2927, 28sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
309mpomulcn 24905 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32 oveq12 7440 . . . . . . 7 ((𝑢 = ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∧ 𝑣 = 𝑧) → (𝑢 · 𝑣) = (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))
338, 21, 29, 11, 11, 31, 32cnmpt12 23691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3617nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3735, 36remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3837, 3reexpcld 14200 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
4039, 2remulcld 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
4140fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
4241frnd 6745 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
43 ax-resscn 11210 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45 cnrest2 23310 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4610, 42, 44, 45mp3an2i 1465 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4733, 46mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4847, 23eleqtrrdi 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
49 ssid 4018 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
50 cncfss 24939 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
5143, 49, 50mp2an 692 . . . . . 6 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
52 knoppcnlem10.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5352dnicn 36475 . . . . . . 7 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5551, 54sselid 3993 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
5610toponrestid 22943 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
579, 22, 56cncfcn 24950 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5843, 49, 57mp2an 692 . . . . 5 (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5955, 58eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
608, 48, 59cnmpt11f 23688 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
61 oveq12 7440 . . 3 ((𝑢 = (𝐶𝑀) ∧ 𝑣 = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
628, 15, 60, 11, 11, 31, 61cnmpt12 23691 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
636, 62eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  (,)cioo 13384  cfl 13827  cexp 14099  abscabs 15270  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  36486
  Copyright terms: Public domain W3C validator