Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem10 33954
 Description: Lemma for knoppcn 33956. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem10.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
51, 2, 4knoppcnlem1 33945 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
65mpteq2dva 5125 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7 retopon 23369 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9 eqid 2798 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopon 23388 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12 knoppcnlem10.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312recnd 10658 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413, 3expcld 13506 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
158, 11, 14cnmptc 22267 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 2re 11699 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 knoppcnlem10.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 nnre 11632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2117, 20remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2221, 3reexpcld 13523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
2322recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
248, 11, 23cnmptc 22267 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
259tgioo2 23408 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625oveq2i 7146 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
2710topontopi 21520 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
28 cnrest2r 21892 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3026, 29eqsstri 3949 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
318cnmptid 22266 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
3230, 31sseldi 3913 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
339mulcn 23472 . . . . . . . 8 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
358, 24, 32, 34cnmpt12f 22271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3622adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
3736, 2remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
3837fmpttd 6856 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
3938frnd 6494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
40 ax-resscn 10583 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4211, 39, 413jca 1125 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ))
43 cnrest2 21891 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4535, 44mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4645, 26eleqtrrdi 2901 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
47 ssid 3937 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
4840, 47pm3.2i 474 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
49 cncfss 23504 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
51 knoppcnlem10.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5251dnicn 33944 . . . . . . 7 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5450, 53sseldi 3913 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
5510toponrestid 21526 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
569, 25, 55cncfcn 23515 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5748, 56ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5854, 57eleqtrdi 2900 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
598, 46, 58cnmpt11f 22269 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
608, 15, 59, 34cnmpt12f 22271 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
616, 60eqeltrd 2890 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  (,)cioo 12726  ⌊cfl 13155  ↑cexp 13425  abscabs 14585   ↾t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂfldccnfld 20091  Topctop 21498  TopOnctopon 21515   Cn ccn 21829   ×t ctx 22165  –cn→ccncf 23481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483 This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  33955
 Copyright terms: Public domain W3C validator