Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem10 33361
Description: Lemma for knoppcn 33363. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem10.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
43adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
51, 2, 4knoppcnlem1 33352 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
65mpteq2dva 5016 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7 retopon 23069 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9 eqid 2772 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopon 23088 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12 knoppcnlem10.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312recnd 10462 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413, 3expcld 13319 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
158, 11, 14cnmptc 21968 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 2re 11508 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 knoppcnlem10.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 nnre 11441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2117, 20remulcld 10464 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2221, 3reexpcld 13336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
2322recnd 10462 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
248, 11, 23cnmptc 21968 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
259tgioo2 23108 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625oveq2i 6981 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
2710topontopi 21221 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
28 cnrest2r 21593 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3026, 29eqsstri 3885 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
318cnmptid 21967 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
3230, 31sseldi 3850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
339mulcn 23172 . . . . . . . 8 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
358, 24, 32, 34cnmpt12f 21972 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3622adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
3736, 2remulcld 10464 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
3837fmpttd 6696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
3938frnd 6345 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
40 ax-resscn 10386 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4211, 39, 413jca 1108 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ))
43 cnrest2 21592 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4535, 44mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4645, 26syl6eleqr 2871 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
47 ssid 3873 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
4840, 47pm3.2i 463 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
49 cncfss 23204 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
51 knoppcnlem10.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5251dnicn 33351 . . . . . . 7 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5450, 53sseldi 3850 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
5510toponrestid 21227 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
569, 25, 55cncfcn 23214 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5748, 56ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5854, 57syl6eleq 2870 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
598, 46, 58cnmpt11f 21970 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
608, 15, 59, 34cnmpt12f 21972 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
616, 60eqeltrd 2860 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3823  cmpt 5002  ran crn 5402  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10327  cr 10328  1c1 10330   + caddc 10332   · cmul 10334  cmin 10664   / cdiv 11092  cn 11433  2c2 11489  0cn0 11701  (,)cioo 12548  cfl 12969  cexp 13238  abscabs 14448  t crest 16544  TopOpenctopn 16545  topGenctg 16561  fldccnfld 20241  Topctop 21199  TopOnctopon 21216   Cn ccn 21530   ×t ctx 21866  cnccncf 23181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-mulf 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-fi 8664  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-cda 9382  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-ioo 12552  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cncf 23183
This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  33362
  Copyright terms: Public domain W3C validator