Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem2 33841
Description: Lemma for knoppcn 33851. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem2.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem2 (𝜑 → ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem2
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem2.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 knoppcnlem2.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
31, 2reexpcld 13512 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℝ)
4 knoppcnlem2.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5 2re 11690 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7 knoppcnlem2.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 nnre 11623 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
106, 9remulcld 10649 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2reexpcld 13512 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
12 knoppcnlem2.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 10649 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
144, 13dnicld2 33820 . 2 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
153, 14remulcld 10649 1 (𝜑 → ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  cr 10514  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520  cmin 10848   / cdiv 11275  cn 11616  2c2 11671  0cn0 11876  cfl 13144  cexp 13414  abscabs 14573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575
This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  33842
  Copyright terms: Public domain W3C validator