Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem5 40519
Description: Technical lemma for reciprocal multiplication in deduction form. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
lcmineqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
lcmineqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
lcmineqlem5.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ถ))) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ)))

Proof of Theorem lcmineqlem5
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem5.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 lcmineqlem5.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 lcmineqlem5.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 lcmineqlem5.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
53, 4reccld 11931 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
61, 2, 5mulassd 11185 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
71, 2mulcomd 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
87oveq1d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (1 / ๐ถ)) = ((๐ต ยท ๐ด) ยท (1 / ๐ถ)))
96, 8eqtr3d 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ถ))) = ((๐ต ยท ๐ด) ยท (1 / ๐ถ)))
102, 1, 5mulassd 11185 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) ยท (1 / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ถ))))
119, 10eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ถ))) = (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ถ))))
121, 3, 4divrecd 11941 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))
1312oveq2d 7378 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท (1 / ๐ถ))))
1411, 13eqtr4d 2780 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท (1 / ๐ถ))) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   / cdiv 11819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  40520
  Copyright terms: Public domain W3C validator