Theorem lcmineqlem5 39585

Description: Technical lemma for reciprocal multiplication in deduction form. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem lcmineqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem5.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		lcmineqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem5.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		lcmineqlem5.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5	3, 4	reccld 11432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	mulassd 10687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))))
7	1, 2	mulcomd 10685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8	7	oveq1d 7158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)))
9	6, 8	eqtr3d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)))
10	2, 1, 5	mulassd 10687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
11	9, 10	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
12	1, 3, 4	divrecd 11442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
13	12	oveq2d 7159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
14	11, 13	eqtr4d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  (class class class)co 7143  ℂcc 10558  0cc0 10560  1c1 10561   · cmul 10565   / cdiv 11320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-po 5436  df-so 5437  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  39586