Theorem lcmineqlem5 41428

Description: Technical lemma for reciprocal multiplication in deduction form. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem lcmineqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem5.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		lcmineqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem5.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		lcmineqlem5.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5	3, 4	reccld 11999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	mulassd 11253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))))
7	1, 2	mulcomd 11251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8	7	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)))
9	6, 8	eqtr3d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)))
10	2, 1, 5	mulassd 11253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
11	9, 10	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
12	1, 3, 4	divrecd 12009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
13	12	oveq2d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
14	11, 13	eqtr4d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   / cdiv 11887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  41429