Theorem lcmineqlem5 42614

Description: Technical lemma for reciprocal multiplication in deduction form. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
lcmineqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem lcmineqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem5.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		lcmineqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem5.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		lcmineqlem5.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5	3, 4	reccld 11957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	mulassd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))))
7	1, 2	mulcomd 11200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
8	7	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (1 / 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)))
9	6, 8	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)))
10	2, 1, 5	mulassd 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) · (1 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
11	9, 10	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
12	1, 3, 4	divrecd 11967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
13	12	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · (1 / 𝐶))))
14	11, 13	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · (1 / 𝐶))) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42615