Theorem divrecd 11910

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016  1c1 11017   · cmul 11021   / cdiv 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785

This theorem is referenced by:  prodgt0  11978  ltdiv1  11996  ltrec  12014  lediv12a  12025  expsub  14027  expdiv  14030  rlimdiv  15563  isumdivc  15681  fsumdivc  15703  trirecip  15780  geo2sum  15790  geo2lim  15792  prodfdiv  15813  ege2le3  16007  eftlub  16028  eirrlem  16123  prmreclem4  16841  m1expaddsub  19420  abvdiv  20754  cnsubrg  21374  nmdvr  24595  nmoi2  24655  cphdivcl  25119  ipcau2  25171  divcncf  25385  ovolsca  25453  dvmptdiv  25915  dvsincos  25922  plyeq0lem  26152  plydivlem4  26241  aalioulem4  26280  geolim3  26284  aaliou3lem8  26290  taylthlem2  26319  taylthlem2OLD  26320  advlogexp  26601  cxpsub  26628  divcxp  26633  dvcxp1  26686  dvcncxp1  26689  relogbdiv  26726  lawcoslem1  26762  dvatan  26882  leibpi  26889  log2tlbnd  26892  fsumharmonic  26959  lgamgulmlem2  26977  lgamgulmlem3  26978  lgamgulmlem4  26979  basellem8  27035  chebbnd1  27420  rplogsumlem2  27433  rpvmasumlem  27435  dchrmusumlema  27441  dchrisum0lema  27462  dchrisum0lem1  27464  dchrisum0lem2a  27465  dchrisum0lem2  27466  dchrmusumlem  27470  mulogsumlem  27479  mulogsum  27480  logdivsum  27481  mulog2sumlem1  27482  vmalogdivsum2  27486  2vmadivsumlem  27488  log2sumbnd  27492  logdivbnd  27504  selberg4lem1  27508  selberg34r  27519  pntrlog2bndlem2  27526  pntrlog2bndlem4  27528  pntrlog2bndlem6  27531  pntpbnd2  27535  smcnlem  30688  ipasslem5  30826  constrresqrtcl  33801  cos9thpiminplylem2  33807  omssubadd  34324  logdivsqrle  34674  knoppndvlem14  36580  dvtan  37720  areacirclem1  37758  areacirclem4  37761  lcmineqlem5  42136  lcmineqlem16  42147  dvrelogpow2b  42171  irrapxlem5  42933  pell14qrdivcl  42972  hashnzfzclim  44429  binomcxplemnotnn0  44463  ltdiv23neg  45506  climdivf  45726  divlimc  45768  ioodvbdlimc1lem2  46044  ioodvbdlimc2lem  46046  dvnxpaek  46054  stoweidlem36  46148  wallispi  46182  stirlinglem7  46192  dirkercncflem2  46216  dirkercncflem4  46218  fourierdlem39  46258  fourierdlem40  46259  fourierdlem56  46274  fourierdlem62  46280  fourierdlem78  46296  fourierdlem83  46301  fourierdlem95  46313  smfdiv  46909  dignn0flhalflem1  48730  amgmlemALT  49918  young2d  49920