Theorem divrecd 11995

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11889	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  prodgt0  12063  ltdiv1  12080  ltrec  12098  lediv12a  12109  expsub  14148  expdiv  14151  rlimdiv  15699  isumdivc  15817  fsumdivc  15839  trirecip  15919  geo2sum  15929  geo2lim  15931  prodfdiv  15952  ege2le3  16145  eftlub  16166  eirrlem  16261  prmreclem4  16980  m1expaddsub  19569  abvdiv  20913  cnsubrg  21558  nmdvr  24808  nmoi2  24868  cphdivcl  25322  ipcau2  25374  divcncf  25587  ovolsca  25655  dvmptdiv  26114  dvsincos  26121  plyeq0lem  26348  plydivlem4  26438  aalioulem4  26477  geolim3  26481  aaliou3lem8  26487  taylthlem2  26515  advlogexp  26798  cxpsub  26825  divcxp  26830  dvcxp1  26883  dvcncxp1  26886  relogbdiv  26922  lawcoslem1  26958  dvatan  27078  leibpi  27085  log2tlbnd  27088  fsumharmonic  27154  lgamgulmlem2  27172  lgamgulmlem3  27173  lgamgulmlem4  27174  basellem8  27230  chebbnd1  27614  rplogsumlem2  27627  rpvmasumlem  27629  dchrmusumlema  27635  dchrisum0lema  27656  dchrisum0lem1  27658  dchrisum0lem2a  27659  dchrisum0lem2  27660  dchrmusumlem  27664  mulogsumlem  27673  mulogsum  27674  logdivsum  27675  mulog2sumlem1  27676  vmalogdivsum2  27680  2vmadivsumlem  27682  log2sumbnd  27686  logdivbnd  27698  selberg4lem1  27702  selberg34r  27713  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem4  27722  pntrlog2bndlem6  27725  pntpbnd2  27729  smcnlem  31027  ipasslem5  31165  constrresqrtcl  34145  cos9thpiminplylem2  34151  omssubadd  34668  logdivsqrle  35015  knoppndvlem14  37092  dvtan  38299  areacirclem1  38337  areacirclem4  38340  lcmineqlem5  42778  lcmineqlem16  42789  dvrelogpow2b  42813  irrapxlem5  43533  pell14qrdivcl  43572  hashnzfzclim  45012  binomcxplemnotnn0  45046  ltdiv23neg  46089  climdivf  46308  divlimc  46350  ioodvbdlimc1lem2  46626  ioodvbdlimc2lem  46628  dvnxpaek  46636  stoweidlem36  46730  wallispi  46764  stirlinglem7  46774  dirkercncflem2  46798  dirkercncflem4  46800  fourierdlem39  46840  fourierdlem40  46841  fourierdlem56  46856  fourierdlem62  46862  fourierdlem78  46878  fourierdlem83  46883  fourierdlem95  46895  smfdiv  47491  dignn0flhalflem1  49372  amgmlemALT  50580  young2d  50582