Theorem divrecd 12077

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11971	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  prodgt0  12145  ltdiv1  12162  ltrec  12180  lediv12a  12191  expsub  14233  expdiv  14236  rlimdiv  15793  isumdivc  15910  fsumdivc  15932  trirecip  16012  geo2sum  16022  geo2lim  16024  prodfdiv  16045  ege2le3  16236  eftlub  16257  eirrlem  16352  prmreclem4  17077  m1expaddsub  19692  abvdiv  21066  cnsubrg  21713  nmdvr  24969  nmoi2  25029  cphdivcl  25483  ipcau2  25535  divcncf  25748  ovolsca  25816  dvmptdiv  26274  dvsincos  26281  plyeq0lem  26509  plydivlem4  26599  aalioulem4  26644  geolim3  26648  aaliou3lem8  26654  taylthlem2  26683  advlogexp  26965  cxpsub  26992  divcxp  26997  dvcxp1  27050  dvcncxp1  27053  relogbdiv  27089  lawcoslem1  27125  dvatan  27245  leibpi  27252  log2tlbnd  27255  fsumharmonic  27321  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem3  27340  lgamgulmlem4  27341  basellem8  27397  chebbnd1  27781  rplogsumlem2  27794  rpvmasumlem  27796  dchrmusumlema  27802  dchrisum0lema  27823  dchrisum0lem1  27825  dchrisum0lem2a  27826  dchrisum0lem2  27827  dchrmusumlem  27831  mulogsumlem  27840  mulogsum  27841  logdivsum  27842  mulog2sumlem1  27843  vmalogdivsum2  27847  2vmadivsumlem  27849  log2sumbnd  27853  logdivbnd  27865  selberg4lem1  27869  selberg34r  27880  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem6  27892  pntpbnd2  27896  smcnlem  31281  ipasslem5  31419  constrresqrtcl  34391  cos9thpiminplylem2  34397  omssubadd  34915  logdivsqrle  35262  knoppndvlem14  37361  dvtan  38556  areacirclem1  38594  areacirclem4  38597  lcmineqlem5  43051  lcmineqlem16  43062  dvrelogpow2b  43086  irrapxlem5  43786  pell14qrdivcl  43825  hashnzfzclim  45265  binomcxplemnotnn0  45299  ltdiv23neg  46349  climdivf  46568  divlimc  46610  ioodvbdlimc1lem2  46886  ioodvbdlimc2lem  46888  dvnxpaek  46896  stoweidlem36  46990  wallispi  47024  stirlinglem7  47034  dirkercncflem2  47058  dirkercncflem4  47060  fourierdlem39  47100  fourierdlem40  47101  fourierdlem56  47116  fourierdlem62  47122  fourierdlem78  47138  fourierdlem83  47143  fourierdlem95  47155  smfdiv  47751  dignn0flhalflem1  49671  amgmlemALT  50932  young2d  50934