Theorem divrecd 12022

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  prodgt0  12090  ltdiv1  12107  ltrec  12125  lediv12a  12136  expsub  14178  expdiv  14181  rlimdiv  15737  isumdivc  15854  fsumdivc  15876  trirecip  15956  geo2sum  15966  geo2lim  15968  prodfdiv  15989  ege2le3  16182  eftlub  16203  eirrlem  16298  prmreclem4  17017  m1expaddsub  19631  abvdiv  21001  cnsubrg  21646  nmdvr  24902  nmoi2  24962  cphdivcl  25416  ipcau2  25468  divcncf  25681  ovolsca  25749  dvmptdiv  26208  dvsincos  26215  plyeq0lem  26443  plydivlem4  26533  aalioulem4  26578  geolim3  26582  aaliou3lem8  26588  taylthlem2  26617  advlogexp  26900  cxpsub  26927  divcxp  26932  dvcxp1  26985  dvcncxp1  26988  relogbdiv  27024  lawcoslem1  27060  dvatan  27180  leibpi  27187  log2tlbnd  27190  fsumharmonic  27256  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem3  27275  lgamgulmlem4  27276  basellem8  27332  chebbnd1  27716  rplogsumlem2  27729  rpvmasumlem  27731  dchrmusumlema  27737  dchrisum0lema  27758  dchrisum0lem1  27760  dchrisum0lem2a  27761  dchrisum0lem2  27762  dchrmusumlem  27766  mulogsumlem  27775  mulogsum  27776  logdivsum  27777  mulog2sumlem1  27778  vmalogdivsum2  27782  2vmadivsumlem  27784  log2sumbnd  27788  logdivbnd  27800  selberg4lem1  27804  selberg34r  27815  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem6  27827  pntpbnd2  27831  smcnlem  31186  ipasslem5  31324  constrresqrtcl  34295  cos9thpiminplylem2  34301  omssubadd  34819  logdivsqrle  35166  knoppndvlem14  37230  dvtan  38427  areacirclem1  38465  areacirclem4  38468  lcmineqlem5  42907  lcmineqlem16  42918  dvrelogpow2b  42942  irrapxlem5  43675  pell14qrdivcl  43714  hashnzfzclim  45154  binomcxplemnotnn0  45188  ltdiv23neg  46231  climdivf  46450  divlimc  46492  ioodvbdlimc1lem2  46768  ioodvbdlimc2lem  46770  dvnxpaek  46778  stoweidlem36  46872  wallispi  46906  stirlinglem7  46916  dirkercncflem2  46940  dirkercncflem4  46942  fourierdlem39  46982  fourierdlem40  46983  fourierdlem56  46998  fourierdlem62  47004  fourierdlem78  47020  fourierdlem83  47025  fourierdlem95  47037  smfdiv  47633  dignn0flhalflem1  49553  amgmlemALT  50829  young2d  50831