Theorem divrecd 11408

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  prodgt0  11476  ltdiv1  11493  ltrec  11511  lediv12a  11522  expsub  13473  expdiv  13476  rlimdiv  14994  isumdivc  15111  fsumdivc  15133  trirecip  15210  geo2sum  15221  geo2lim  15223  prodfdiv  15244  ege2le3  15435  eftlub  15454  eirrlem  15549  prmreclem4  16245  m1expaddsub  18618  abvdiv  19601  cnsubrg  20151  nmdvr  23276  nmoi2  23336  cphdivcl  23787  ipcau2  23838  divcncf  24051  ovolsca  24119  dvmptdiv  24577  dvsincos  24584  plyeq0lem  24807  plydivlem4  24892  aalioulem4  24931  geolim3  24935  aaliou3lem8  24941  taylthlem2  24969  advlogexp  25246  cxpsub  25273  divcxp  25278  dvcxp1  25329  dvcncxp1  25332  relogbdiv  25365  lawcoslem1  25401  dvatan  25521  leibpi  25528  log2tlbnd  25531  fsumharmonic  25597  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamgulmlem4  25617  basellem8  25673  chebbnd1  26056  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrmusumlema  26077  dchrisum0lema  26098  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrmusumlem  26106  mulogsumlem  26115  mulogsum  26116  logdivsum  26117  mulog2sumlem1  26118  vmalogdivsum2  26122  2vmadivsumlem  26124  log2sumbnd  26128  logdivbnd  26140  selberg4lem1  26144  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem6  26167  pntpbnd2  26171  smcnlem  28480  ipasslem5  28618  omssubadd  31668  logdivsqrle  32031  knoppndvlem14  33977  dvtan  35107  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  lcmineqlem5  39321  lcmineqlem16  39332  irrapxlem5  39767  pell14qrdivcl  39806  hashnzfzclim  41026  binomcxplemnotnn0  41060  ltdiv23neg  42030  climdivf  42254  divlimc  42298  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  stoweidlem36  42678  wallispi  42712  stirlinglem7  42722  dirkercncflem2  42746  dirkercncflem4  42748  fourierdlem39  42788  fourierdlem40  42789  fourierdlem56  42804  fourierdlem62  42810  fourierdlem78  42826  fourierdlem83  42831  fourierdlem95  42843  smfdiv  43429  dignn0flhalflem1  45029  amgmlemALT  45331  young2d  45333