Theorem divrecd 11920

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  prodgt0  11988  ltdiv1  12006  ltrec  12024  lediv12a  12035  expsub  14033  expdiv  14036  rlimdiv  15569  isumdivc  15687  fsumdivc  15709  trirecip  15786  geo2sum  15796  geo2lim  15798  prodfdiv  15819  ege2le3  16013  eftlub  16034  eirrlem  16129  prmreclem4  16847  m1expaddsub  19427  abvdiv  20762  cnsubrg  21382  nmdvr  24614  nmoi2  24674  cphdivcl  25138  ipcau2  25190  divcncf  25404  ovolsca  25472  dvmptdiv  25934  dvsincos  25941  plyeq0lem  26171  plydivlem4  26260  aalioulem4  26299  geolim3  26303  aaliou3lem8  26309  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  advlogexp  26620  cxpsub  26647  divcxp  26652  dvcxp1  26705  dvcncxp1  26708  relogbdiv  26745  lawcoslem1  26781  dvatan  26901  leibpi  26908  log2tlbnd  26911  fsumharmonic  26978  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem4  26998  basellem8  27054  chebbnd1  27439  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrmusumlema  27460  dchrisum0lema  27481  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrmusumlem  27489  mulogsumlem  27498  mulogsum  27499  logdivsum  27500  mulog2sumlem1  27501  vmalogdivsum2  27505  2vmadivsumlem  27507  log2sumbnd  27511  logdivbnd  27523  selberg4lem1  27527  selberg34r  27538  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem6  27550  pntpbnd2  27554  smcnlem  30772  ipasslem5  30910  constrresqrtcl  33934  cos9thpiminplylem2  33940  omssubadd  34457  logdivsqrle  34807  knoppndvlem14  36725  dvtan  37867  areacirclem1  37905  areacirclem4  37908  lcmineqlem5  42283  lcmineqlem16  42294  dvrelogpow2b  42318  irrapxlem5  43064  pell14qrdivcl  43103  hashnzfzclim  44559  binomcxplemnotnn0  44593  ltdiv23neg  45634  climdivf  45854  divlimc  45896  ioodvbdlimc1lem2  46172  ioodvbdlimc2lem  46174  dvnxpaek  46182  stoweidlem36  46276  wallispi  46310  stirlinglem7  46320  dirkercncflem2  46344  dirkercncflem4  46346  fourierdlem39  46386  fourierdlem40  46387  fourierdlem56  46402  fourierdlem62  46408  fourierdlem78  46424  fourierdlem83  46429  fourierdlem95  46441  smfdiv  47037  dignn0flhalflem1  48857  amgmlemALT  50044  young2d  50046