Theorem divrecd 12043

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  prodgt0  12111  ltdiv1  12129  ltrec  12147  lediv12a  12158  expsub  14147  expdiv  14150  rlimdiv  15678  isumdivc  15796  fsumdivc  15818  trirecip  15895  geo2sum  15905  geo2lim  15907  prodfdiv  15928  ege2le3  16122  eftlub  16141  eirrlem  16236  prmreclem4  16952  m1expaddsub  19530  abvdiv  20846  cnsubrg  21462  nmdvr  24706  nmoi2  24766  cphdivcl  25229  ipcau2  25281  divcncf  25495  ovolsca  25563  dvmptdiv  26026  dvsincos  26033  plyeq0lem  26263  plydivlem4  26352  aalioulem4  26391  geolim3  26395  aaliou3lem8  26401  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  advlogexp  26711  cxpsub  26738  divcxp  26743  dvcxp1  26796  dvcncxp1  26799  relogbdiv  26836  lawcoslem1  26872  dvatan  26992  leibpi  26999  log2tlbnd  27002  fsumharmonic  27069  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  lgamgulmlem4  27089  basellem8  27145  chebbnd1  27530  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrmusumlema  27551  dchrisum0lema  27572  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  dchrmusumlem  27580  mulogsumlem  27589  mulogsum  27590  logdivsum  27591  mulog2sumlem1  27592  vmalogdivsum2  27596  2vmadivsumlem  27598  log2sumbnd  27602  logdivbnd  27614  selberg4lem1  27618  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem6  27641  pntpbnd2  27645  smcnlem  30725  ipasslem5  30863  omssubadd  34281  logdivsqrle  34643  knoppndvlem14  36507  dvtan  37656  areacirclem1  37694  areacirclem4  37697  lcmineqlem5  42014  lcmineqlem16  42025  dvrelogpow2b  42049  irrapxlem5  42813  pell14qrdivcl  42852  hashnzfzclim  44317  binomcxplemnotnn0  44351  ltdiv23neg  45343  climdivf  45567  divlimc  45611  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  dvnxpaek  45897  stoweidlem36  45991  wallispi  46025  stirlinglem7  46035  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061  fourierdlem39  46101  fourierdlem40  46102  fourierdlem56  46117  fourierdlem62  46123  fourierdlem78  46139  fourierdlem83  46144  fourierdlem95  46156  smfdiv  46752  dignn0flhalflem1  48464  amgmlemALT  49033  young2d  49035