Theorem divrecd 11897

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  prodgt0  11965  ltdiv1  11983  ltrec  12001  lediv12a  12012  expsub  14014  expdiv  14017  rlimdiv  15550  isumdivc  15668  fsumdivc  15690  trirecip  15767  geo2sum  15777  geo2lim  15779  prodfdiv  15800  ege2le3  15994  eftlub  16015  eirrlem  16110  prmreclem4  16828  m1expaddsub  19408  abvdiv  20742  cnsubrg  21362  nmdvr  24583  nmoi2  24643  cphdivcl  25107  ipcau2  25159  divcncf  25373  ovolsca  25441  dvmptdiv  25903  dvsincos  25910  plyeq0lem  26140  plydivlem4  26229  aalioulem4  26268  geolim3  26272  aaliou3lem8  26278  taylthlem2  26307  taylthlem2OLD  26308  advlogexp  26589  cxpsub  26616  divcxp  26621  dvcxp1  26674  dvcncxp1  26677  relogbdiv  26714  lawcoslem1  26750  dvatan  26870  leibpi  26877  log2tlbnd  26880  fsumharmonic  26947  lgamgulmlem2  26965  lgamgulmlem3  26966  lgamgulmlem4  26967  basellem8  27023  chebbnd1  27408  rplogsumlem2  27421  rpvmasumlem  27423  dchrmusumlema  27429  dchrisum0lema  27450  dchrisum0lem1  27452  dchrisum0lem2a  27453  dchrisum0lem2  27454  dchrmusumlem  27458  mulogsumlem  27467  mulogsum  27468  logdivsum  27469  mulog2sumlem1  27470  vmalogdivsum2  27474  2vmadivsumlem  27476  log2sumbnd  27480  logdivbnd  27492  selberg4lem1  27496  selberg34r  27507  pntrlog2bndlem2  27514  pntrlog2bndlem4  27516  pntrlog2bndlem6  27519  pntpbnd2  27523  smcnlem  30672  ipasslem5  30810  constrresqrtcl  33785  cos9thpiminplylem2  33791  omssubadd  34308  logdivsqrle  34658  knoppndvlem14  36558  dvtan  37709  areacirclem1  37747  areacirclem4  37750  lcmineqlem5  42065  lcmineqlem16  42076  dvrelogpow2b  42100  irrapxlem5  42858  pell14qrdivcl  42897  hashnzfzclim  44354  binomcxplemnotnn0  44388  ltdiv23neg  45431  climdivf  45651  divlimc  45693  ioodvbdlimc1lem2  45969  ioodvbdlimc2lem  45971  dvnxpaek  45979  stoweidlem36  46073  wallispi  46107  stirlinglem7  46117  dirkercncflem2  46141  dirkercncflem4  46143  fourierdlem39  46183  fourierdlem40  46184  fourierdlem56  46199  fourierdlem62  46205  fourierdlem78  46221  fourierdlem83  46226  fourierdlem95  46238  smfdiv  46834  dignn0flhalflem1  48646  amgmlemALT  49834  young2d  49836