Theorem divrecd 11418

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   / cdiv 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297

This theorem is referenced by:  prodgt0  11486  ltdiv1  11503  ltrec  11521  lediv12a  11532  expsub  13476  expdiv  13479  rlimdiv  15001  isumdivc  15118  fsumdivc  15140  trirecip  15217  geo2sum  15228  geo2lim  15230  prodfdiv  15251  ege2le3  15442  eftlub  15461  eirrlem  15556  prmreclem4  16254  m1expaddsub  18625  abvdiv  19607  cnsubrg  20604  nmdvr  23278  nmoi2  23338  cphdivcl  23785  ipcau2  23836  divcncf  24047  ovolsca  24115  dvmptdiv  24570  dvsincos  24577  plyeq0lem  24799  plydivlem4  24884  aalioulem4  24923  geolim3  24927  aaliou3lem8  24933  taylthlem2  24961  advlogexp  25237  cxpsub  25264  divcxp  25269  dvcxp1  25320  dvcncxp1  25323  relogbdiv  25356  lawcoslem1  25392  dvatan  25512  leibpi  25519  log2tlbnd  25522  fsumharmonic  25588  lgamgulmlem2  25606  lgamgulmlem3  25607  lgamgulmlem4  25608  basellem8  25664  chebbnd1  26047  rplogsumlem2  26060  rpvmasumlem  26062  dchrmusumlema  26068  dchrisum0lema  26089  dchrisum0lem1  26091  dchrisum0lem2a  26092  dchrisum0lem2  26093  dchrmusumlem  26097  mulogsumlem  26106  mulogsum  26107  logdivsum  26108  mulog2sumlem1  26109  vmalogdivsum2  26113  2vmadivsumlem  26115  log2sumbnd  26119  logdivbnd  26131  selberg4lem1  26135  selberg34r  26146  pntrlog2bndlem2  26153  pntrlog2bndlem4  26155  pntrlog2bndlem6  26158  pntpbnd2  26162  smcnlem  28473  ipasslem5  28611  omssubadd  31558  logdivsqrle  31921  knoppndvlem14  33864  dvtan  34941  areacirclem1  34981  areacirclem4  34984  irrapxlem5  39421  pell14qrdivcl  39460  hashnzfzclim  40652  binomcxplemnotnn0  40686  ltdiv23neg  41664  climdivf  41891  divlimc  41935  ioodvbdlimc1lem2  42215  ioodvbdlimc2lem  42217  dvnxpaek  42225  stoweidlem36  42320  wallispi  42354  stirlinglem7  42364  dirkercncflem2  42388  dirkercncflem4  42390  fourierdlem39  42430  fourierdlem40  42431  fourierdlem56  42446  fourierdlem62  42452  fourierdlem78  42468  fourierdlem83  42473  fourierdlem95  42485  smfdiv  43071  dignn0flhalflem1  44674  amgmlemALT  44903  young2d  44905