Theorem divrecd 11925

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  prodgt0  11993  ltdiv1  12011  ltrec  12029  lediv12a  12040  expsub  14063  expdiv  14066  rlimdiv  15599  isumdivc  15717  fsumdivc  15739  trirecip  15819  geo2sum  15829  geo2lim  15831  prodfdiv  15852  ege2le3  16046  eftlub  16067  eirrlem  16162  prmreclem4  16881  m1expaddsub  19464  abvdiv  20797  cnsubrg  21417  nmdvr  24645  nmoi2  24705  cphdivcl  25159  ipcau2  25211  divcncf  25424  ovolsca  25492  dvmptdiv  25951  dvsincos  25958  plyeq0lem  26185  plydivlem4  26273  aalioulem4  26312  geolim3  26316  aaliou3lem8  26322  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  advlogexp  26632  cxpsub  26659  divcxp  26664  dvcxp1  26717  dvcncxp1  26720  relogbdiv  26756  lawcoslem1  26792  dvatan  26912  leibpi  26919  log2tlbnd  26922  fsumharmonic  26989  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  lgamgulmlem4  27009  basellem8  27065  chebbnd1  27449  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  dchrmusumlema  27470  dchrisum0lema  27491  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  dchrmusumlem  27499  mulogsumlem  27508  mulogsum  27509  logdivsum  27510  mulog2sumlem1  27511  vmalogdivsum2  27515  2vmadivsumlem  27517  log2sumbnd  27521  logdivbnd  27533  selberg4lem1  27537  selberg34r  27548  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem6  27560  pntpbnd2  27564  smcnlem  30783  ipasslem5  30921  constrresqrtcl  33937  cos9thpiminplylem2  33943  omssubadd  34460  logdivsqrle  34810  knoppndvlem14  36801  dvtan  38005  areacirclem1  38043  areacirclem4  38046  lcmineqlem5  42486  lcmineqlem16  42497  dvrelogpow2b  42521  irrapxlem5  43272  pell14qrdivcl  43311  hashnzfzclim  44767  binomcxplemnotnn0  44801  ltdiv23neg  45841  climdivf  46060  divlimc  46102  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnxpaek  46388  stoweidlem36  46482  wallispi  46516  stirlinglem7  46526  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem4  46552  fourierdlem39  46592  fourierdlem40  46593  fourierdlem56  46608  fourierdlem62  46614  fourierdlem78  46630  fourierdlem83  46635  fourierdlem95  46647  smfdiv  47243  dignn0flhalflem1  49103  amgmlemALT  50290  young2d  50292