Theorem divrecd 11997

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  prodgt0  12065  ltdiv1  12082  ltrec  12100  lediv12a  12111  expsub  14080  expdiv  14083  rlimdiv  15596  isumdivc  15714  fsumdivc  15736  trirecip  15813  geo2sum  15823  geo2lim  15825  prodfdiv  15846  ege2le3  16037  eftlub  16056  eirrlem  16151  prmreclem4  16856  m1expaddsub  19407  abvdiv  20588  cnsubrg  21205  nmdvr  24407  nmoi2  24467  cphdivcl  24923  ipcau2  24975  divcncf  25188  ovolsca  25256  dvmptdiv  25715  dvsincos  25722  plyeq0lem  25948  plydivlem4  26033  aalioulem4  26072  geolim3  26076  aaliou3lem8  26082  taylthlem2  26110  advlogexp  26387  cxpsub  26414  divcxp  26419  dvcxp1  26472  dvcncxp1  26475  relogbdiv  26508  lawcoslem1  26544  dvatan  26664  leibpi  26671  log2tlbnd  26674  fsumharmonic  26740  lgamgulmlem2  26758  lgamgulmlem3  26759  lgamgulmlem4  26760  basellem8  26816  chebbnd1  27199  rplogsumlem2  27212  rpvmasumlem  27214  dchrmusumlema  27220  dchrisum0lema  27241  dchrisum0lem1  27243  dchrisum0lem2a  27244  dchrisum0lem2  27245  dchrmusumlem  27249  mulogsumlem  27258  mulogsum  27259  logdivsum  27260  mulog2sumlem1  27261  vmalogdivsum2  27265  2vmadivsumlem  27267  log2sumbnd  27271  logdivbnd  27283  selberg4lem1  27287  selberg34r  27298  pntrlog2bndlem2  27305  pntrlog2bndlem4  27307  pntrlog2bndlem6  27310  pntpbnd2  27314  smcnlem  30205  ipasslem5  30343  omssubadd  33585  logdivsqrle  33948  knoppndvlem14  35704  dvtan  36841  areacirclem1  36879  areacirclem4  36882  lcmineqlem5  41204  lcmineqlem16  41215  dvrelogpow2b  41239  irrapxlem5  41866  pell14qrdivcl  41905  hashnzfzclim  43383  binomcxplemnotnn0  43417  ltdiv23neg  44403  climdivf  44627  divlimc  44671  ioodvbdlimc1lem2  44947  ioodvbdlimc2lem  44949  dvnxpaek  44957  stoweidlem36  45051  wallispi  45085  stirlinglem7  45095  dirkercncflem2  45119  dirkercncflem4  45121  fourierdlem39  45161  fourierdlem40  45162  fourierdlem56  45177  fourierdlem62  45183  fourierdlem78  45199  fourierdlem83  45204  fourierdlem95  45216  smfdiv  45812  dignn0flhalflem1  47389  amgmlemALT  47938  young2d  47940