Theorem divrecd 11934

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  prodgt0  12002  ltdiv1  12020  ltrec  12038  lediv12a  12049  expsub  14072  expdiv  14075  rlimdiv  15608  isumdivc  15726  fsumdivc  15748  trirecip  15828  geo2sum  15838  geo2lim  15840  prodfdiv  15861  ege2le3  16055  eftlub  16076  eirrlem  16171  prmreclem4  16890  m1expaddsub  19473  abvdiv  20806  cnsubrg  21407  nmdvr  24635  nmoi2  24695  cphdivcl  25149  ipcau2  25201  divcncf  25414  ovolsca  25482  dvmptdiv  25941  dvsincos  25948  plyeq0lem  26175  plydivlem4  26262  aalioulem4  26301  geolim3  26305  aaliou3lem8  26311  taylthlem2  26339  advlogexp  26619  cxpsub  26646  divcxp  26651  dvcxp1  26704  dvcncxp1  26707  relogbdiv  26743  lawcoslem1  26779  dvatan  26899  leibpi  26906  log2tlbnd  26909  fsumharmonic  26975  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem4  26995  basellem8  27051  chebbnd1  27435  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrmusumlema  27456  dchrisum0lema  27477  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrmusumlem  27485  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  logdivsum  27496  mulog2sumlem1  27497  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  log2sumbnd  27507  logdivbnd  27519  selberg4lem1  27523  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem6  27546  pntpbnd2  27550  smcnlem  30768  ipasslem5  30906  constrresqrtcl  33921  cos9thpiminplylem2  33927  omssubadd  34444  logdivsqrle  34794  knoppndvlem14  36785  dvtan  37991  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  lcmineqlem5  42472  lcmineqlem16  42483  dvrelogpow2b  42507  irrapxlem5  43254  pell14qrdivcl  43293  hashnzfzclim  44749  binomcxplemnotnn0  44783  ltdiv23neg  45823  climdivf  46042  divlimc  46084  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnxpaek  46370  stoweidlem36  46464  wallispi  46498  stirlinglem7  46508  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem39  46574  fourierdlem40  46575  fourierdlem56  46590  fourierdlem62  46596  fourierdlem78  46612  fourierdlem83  46617  fourierdlem95  46629  smfdiv  47225  dignn0flhalflem1  49091  amgmlemALT  50278  young2d  50280