Theorem divrecd 11907

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  prodgt0  11975  ltdiv1  11993  ltrec  12011  lediv12a  12022  expsub  14019  expdiv  14022  rlimdiv  15555  isumdivc  15673  fsumdivc  15695  trirecip  15772  geo2sum  15782  geo2lim  15784  prodfdiv  15805  ege2le3  15999  eftlub  16020  eirrlem  16115  prmreclem4  16833  m1expaddsub  19412  abvdiv  20746  cnsubrg  21366  nmdvr  24586  nmoi2  24646  cphdivcl  25110  ipcau2  25162  divcncf  25376  ovolsca  25444  dvmptdiv  25906  dvsincos  25913  plyeq0lem  26143  plydivlem4  26232  aalioulem4  26271  geolim3  26275  aaliou3lem8  26281  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  advlogexp  26592  cxpsub  26619  divcxp  26624  dvcxp1  26677  dvcncxp1  26680  relogbdiv  26717  lawcoslem1  26753  dvatan  26873  leibpi  26880  log2tlbnd  26883  fsumharmonic  26950  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem4  26970  basellem8  27026  chebbnd1  27411  rplogsumlem2  27424  rpvmasumlem  27426  dchrmusumlema  27432  dchrisum0lema  27453  dchrisum0lem1  27455  dchrisum0lem2a  27456  dchrisum0lem2  27457  dchrmusumlem  27461  mulogsumlem  27470  mulogsum  27471  logdivsum  27472  mulog2sumlem1  27473  vmalogdivsum2  27477  2vmadivsumlem  27479  log2sumbnd  27483  logdivbnd  27495  selberg4lem1  27499  selberg34r  27510  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem6  27522  pntpbnd2  27526  smcnlem  30679  ipasslem5  30817  constrresqrtcl  33811  cos9thpiminplylem2  33817  omssubadd  34334  logdivsqrle  34684  knoppndvlem14  36590  dvtan  37730  areacirclem1  37768  areacirclem4  37771  lcmineqlem5  42146  lcmineqlem16  42157  dvrelogpow2b  42181  irrapxlem5  42943  pell14qrdivcl  42982  hashnzfzclim  44439  binomcxplemnotnn0  44473  ltdiv23neg  45516  climdivf  45736  divlimc  45778  ioodvbdlimc1lem2  46054  ioodvbdlimc2lem  46056  dvnxpaek  46064  stoweidlem36  46158  wallispi  46192  stirlinglem7  46202  dirkercncflem2  46226  dirkercncflem4  46228  fourierdlem39  46268  fourierdlem40  46269  fourierdlem56  46284  fourierdlem62  46290  fourierdlem78  46306  fourierdlem83  46311  fourierdlem95  46323  smfdiv  46919  dignn0flhalflem1  48740  amgmlemALT  49928  young2d  49930