Theorem divrecd 12012

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11906	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  prodgt0  12080  ltdiv1  12097  ltrec  12115  lediv12a  12126  expsub  14166  expdiv  14169  rlimdiv  15723  isumdivc  15841  fsumdivc  15863  trirecip  15943  geo2sum  15953  geo2lim  15955  prodfdiv  15976  ege2le3  16169  eftlub  16190  eirrlem  16285  prmreclem4  17004  m1expaddsub  19599  abvdiv  20969  cnsubrg  21614  nmdvr  24864  nmoi2  24924  cphdivcl  25378  ipcau2  25430  divcncf  25643  ovolsca  25711  dvmptdiv  26170  dvsincos  26177  plyeq0lem  26404  plydivlem4  26494  aalioulem4  26535  geolim3  26539  aaliou3lem8  26545  taylthlem2  26574  advlogexp  26857  cxpsub  26884  divcxp  26889  dvcxp1  26942  dvcncxp1  26945  relogbdiv  26981  lawcoslem1  27017  dvatan  27137  leibpi  27144  log2tlbnd  27147  fsumharmonic  27213  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  lgamgulmlem4  27233  basellem8  27289  chebbnd1  27673  rplogsumlem2  27686  rpvmasumlem  27688  dchrmusumlema  27694  dchrisum0lema  27715  dchrisum0lem1  27717  dchrisum0lem2a  27718  dchrisum0lem2  27719  dchrmusumlem  27723  mulogsumlem  27732  mulogsum  27733  logdivsum  27734  mulog2sumlem1  27735  vmalogdivsum2  27739  2vmadivsumlem  27741  log2sumbnd  27745  logdivbnd  27757  selberg4lem1  27761  selberg34r  27772  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem6  27784  pntpbnd2  27788  smcnlem  31086  ipasslem5  31224  constrresqrtcl  34198  cos9thpiminplylem2  34204  omssubadd  34722  logdivsqrle  35069  knoppndvlem14  37155  dvtan  38362  areacirclem1  38400  areacirclem4  38403  lcmineqlem5  42841  lcmineqlem16  42852  dvrelogpow2b  42876  irrapxlem5  43594  pell14qrdivcl  43633  hashnzfzclim  45073  binomcxplemnotnn0  45107  ltdiv23neg  46150  climdivf  46369  divlimc  46411  ioodvbdlimc1lem2  46687  ioodvbdlimc2lem  46689  dvnxpaek  46697  stoweidlem36  46791  wallispi  46825  stirlinglem7  46835  dirkercncflem2  46859  dirkercncflem4  46861  fourierdlem39  46901  fourierdlem40  46902  fourierdlem56  46917  fourierdlem62  46923  fourierdlem78  46939  fourierdlem83  46944  fourierdlem95  46956  smfdiv  47552  dignn0flhalflem1  49436  amgmlemALT  50692  young2d  50694