Theorem divrecd 11985

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11876	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  prodgt0  12053  ltdiv1  12070  ltrec  12088  lediv12a  12099  expsub  14137  expdiv  14140  rlimdiv  15687  isumdivc  15805  fsumdivc  15827  trirecip  15907  geo2sum  15917  geo2lim  15919  prodfdiv  15940  ege2le3  16134  eftlub  16155  eirrlem  16250  prmreclem4  16969  m1expaddsub  19559  abvdiv  20901  cnsubrg  21537  nmdvr  24788  nmoi2  24848  cphdivcl  25302  ipcau2  25354  divcncf  25567  ovolsca  25635  dvmptdiv  26094  dvsincos  26101  plyeq0lem  26328  plydivlem4  26418  aalioulem4  26457  geolim3  26461  aaliou3lem8  26467  taylthlem2  26495  advlogexp  26778  cxpsub  26805  divcxp  26810  dvcxp1  26863  dvcncxp1  26866  relogbdiv  26902  lawcoslem1  26938  dvatan  27058  leibpi  27065  log2tlbnd  27068  fsumharmonic  27134  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem3  27153  lgamgulmlem4  27154  basellem8  27210  chebbnd1  27594  rplogsumlem2  27607  rpvmasumlem  27609  dchrmusumlema  27615  dchrisum0lema  27636  dchrisum0lem1  27638  dchrisum0lem2a  27639  dchrisum0lem2  27640  dchrmusumlem  27644  mulogsumlem  27653  mulogsum  27654  logdivsum  27655  mulog2sumlem1  27656  vmalogdivsum2  27660  2vmadivsumlem  27662  log2sumbnd  27666  logdivbnd  27678  selberg4lem1  27682  selberg34r  27693  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem6  27705  pntpbnd2  27709  smcnlem  30958  ipasslem5  31096  constrresqrtcl  34084  cos9thpiminplylem2  34090  omssubadd  34607  logdivsqrle  34954  knoppndvlem14  36976  dvtan  38181  areacirclem1  38219  areacirclem4  38222  lcmineqlem5  42662  lcmineqlem16  42673  dvrelogpow2b  42697  irrapxlem5  43415  pell14qrdivcl  43454  hashnzfzclim  44896  binomcxplemnotnn0  44930  ltdiv23neg  45967  climdivf  46186  divlimc  46228  ioodvbdlimc1lem2  46504  ioodvbdlimc2lem  46506  dvnxpaek  46514  stoweidlem36  46608  wallispi  46642  stirlinglem7  46652  dirkercncflem2  46676  dirkercncflem4  46678  fourierdlem39  46718  fourierdlem40  46719  fourierdlem56  46734  fourierdlem62  46740  fourierdlem78  46756  fourierdlem83  46761  fourierdlem95  46773  smfdiv  47369  dignn0flhalflem1  49246  amgmlemALT  50432  young2d  50434