Theorem divrecd 12044

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11939	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   / cdiv 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922

This theorem is referenced by:  prodgt0  12112  ltdiv1  12130  ltrec  12148  lediv12a  12159  expsub  14130  expdiv  14133  rlimdiv  15650  isumdivc  15768  fsumdivc  15790  trirecip  15867  geo2sum  15877  geo2lim  15879  prodfdiv  15900  ege2le3  16092  eftlub  16111  eirrlem  16206  prmreclem4  16921  m1expaddsub  19496  abvdiv  20808  cnsubrg  21424  nmdvr  24678  nmoi2  24738  cphdivcl  25201  ipcau2  25253  divcncf  25467  ovolsca  25535  dvmptdiv  25997  dvsincos  26004  plyeq0lem  26237  plydivlem4  26324  aalioulem4  26363  geolim3  26367  aaliou3lem8  26373  taylthlem2  26402  taylthlem2OLD  26403  advlogexp  26682  cxpsub  26709  divcxp  26714  dvcxp1  26767  dvcncxp1  26770  relogbdiv  26807  lawcoslem1  26843  dvatan  26963  leibpi  26970  log2tlbnd  26973  fsumharmonic  27040  lgamgulmlem2  27058  lgamgulmlem3  27059  lgamgulmlem4  27060  basellem8  27116  chebbnd1  27501  rplogsumlem2  27514  rpvmasumlem  27516  dchrmusumlema  27522  dchrisum0lema  27543  dchrisum0lem1  27545  dchrisum0lem2a  27546  dchrisum0lem2  27547  dchrmusumlem  27551  mulogsumlem  27560  mulogsum  27561  logdivsum  27562  mulog2sumlem1  27563  vmalogdivsum2  27567  2vmadivsumlem  27569  log2sumbnd  27573  logdivbnd  27585  selberg4lem1  27589  selberg34r  27600  pntrlog2bndlem2  27607  pntrlog2bndlem4  27609  pntrlog2bndlem6  27612  pntpbnd2  27616  smcnlem  30630  ipasslem5  30768  omssubadd  34134  logdivsqrle  34496  knoppndvlem14  36228  dvtan  37371  areacirclem1  37409  areacirclem4  37412  lcmineqlem5  41732  lcmineqlem16  41743  dvrelogpow2b  41767  irrapxlem5  42483  pell14qrdivcl  42522  hashnzfzclim  43996  binomcxplemnotnn0  44030  ltdiv23neg  45009  climdivf  45233  divlimc  45277  ioodvbdlimc1lem2  45553  ioodvbdlimc2lem  45555  dvnxpaek  45563  stoweidlem36  45657  wallispi  45691  stirlinglem7  45701  dirkercncflem2  45725  dirkercncflem4  45727  fourierdlem39  45767  fourierdlem40  45768  fourierdlem56  45783  fourierdlem62  45789  fourierdlem78  45805  fourierdlem83  45810  fourierdlem95  45822  smfdiv  46418  dignn0flhalflem1  48003  amgmlemALT  48551  young2d  48553