Theorem divrecd 11993

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11888	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  prodgt0  12061  ltdiv1  12078  ltrec  12096  lediv12a  12107  expsub  14076  expdiv  14079  rlimdiv  15592  isumdivc  15710  fsumdivc  15732  trirecip  15809  geo2sum  15819  geo2lim  15821  prodfdiv  15842  ege2le3  16033  eftlub  16052  eirrlem  16147  prmreclem4  16852  m1expaddsub  19366  abvdiv  20445  cnsubrg  21005  nmdvr  24187  nmoi2  24247  cphdivcl  24699  ipcau2  24751  divcncf  24964  ovolsca  25032  dvmptdiv  25491  dvsincos  25498  plyeq0lem  25724  plydivlem4  25809  aalioulem4  25848  geolim3  25852  aaliou3lem8  25858  taylthlem2  25886  advlogexp  26163  cxpsub  26190  divcxp  26195  dvcxp1  26248  dvcncxp1  26251  relogbdiv  26284  lawcoslem1  26320  dvatan  26440  leibpi  26447  log2tlbnd  26450  fsumharmonic  26516  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem4  26536  basellem8  26592  chebbnd1  26975  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990  dchrmusumlema  26996  dchrisum0lema  27017  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrmusumlem  27025  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  logdivsum  27036  mulog2sumlem1  27037  vmalogdivsum2  27041  2vmadivsumlem  27043  log2sumbnd  27047  logdivbnd  27059  selberg4lem1  27063  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem6  27086  pntpbnd2  27090  smcnlem  29981  ipasslem5  30119  omssubadd  33330  logdivsqrle  33693  knoppndvlem14  35449  dvtan  36586  areacirclem1  36624  areacirclem4  36627  lcmineqlem5  40946  lcmineqlem16  40957  dvrelogpow2b  40981  irrapxlem5  41612  pell14qrdivcl  41651  hashnzfzclim  43129  binomcxplemnotnn0  43163  ltdiv23neg  44152  climdivf  44376  divlimc  44420  ioodvbdlimc1lem2  44696  ioodvbdlimc2lem  44698  dvnxpaek  44706  stoweidlem36  44800  wallispi  44834  stirlinglem7  44844  dirkercncflem2  44868  dirkercncflem4  44870  fourierdlem39  44910  fourierdlem40  44911  fourierdlem56  44926  fourierdlem62  44932  fourierdlem78  44948  fourierdlem83  44953  fourierdlem95  44965  smfdiv  45561  dignn0flhalflem1  47349  amgmlemALT  47898  young2d  47900