Theorem divrecd 12073

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  prodgt0  12141  ltdiv1  12159  ltrec  12177  lediv12a  12188  expsub  14161  expdiv  14164  rlimdiv  15694  isumdivc  15812  fsumdivc  15834  trirecip  15911  geo2sum  15921  geo2lim  15923  prodfdiv  15944  ege2le3  16138  eftlub  16157  eirrlem  16252  prmreclem4  16966  m1expaddsub  19540  abvdiv  20852  cnsubrg  21468  nmdvr  24712  nmoi2  24772  cphdivcl  25235  ipcau2  25287  divcncf  25501  ovolsca  25569  dvmptdiv  26032  dvsincos  26039  plyeq0lem  26269  plydivlem4  26356  aalioulem4  26395  geolim3  26399  aaliou3lem8  26405  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  advlogexp  26715  cxpsub  26742  divcxp  26747  dvcxp1  26800  dvcncxp1  26803  relogbdiv  26840  lawcoslem1  26876  dvatan  26996  leibpi  27003  log2tlbnd  27006  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  basellem8  27149  chebbnd1  27534  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrmusumlema  27555  dchrisum0lema  27576  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrmusumlem  27584  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  logdivsum  27595  mulog2sumlem1  27596  vmalogdivsum2  27600  2vmadivsumlem  27602  log2sumbnd  27606  logdivbnd  27618  selberg4lem1  27622  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd2  27649  smcnlem  30729  ipasslem5  30867  omssubadd  34265  logdivsqrle  34627  knoppndvlem14  36491  dvtan  37630  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  lcmineqlem5  41990  lcmineqlem16  42001  dvrelogpow2b  42025  irrapxlem5  42782  pell14qrdivcl  42821  hashnzfzclim  44291  binomcxplemnotnn0  44325  ltdiv23neg  45309  climdivf  45533  divlimc  45577  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnxpaek  45863  stoweidlem36  45957  wallispi  45991  stirlinglem7  46001  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  fourierdlem39  46067  fourierdlem40  46068  fourierdlem56  46083  fourierdlem62  46089  fourierdlem78  46105  fourierdlem83  46110  fourierdlem95  46122  smfdiv  46718  dignn0flhalflem1  48349  amgmlemALT  48897  young2d  48899