Theorem divrecd 11961

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11853	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  prodgt0  12029  ltdiv1  12047  ltrec  12065  lediv12a  12076  expsub  14075  expdiv  14078  rlimdiv  15612  isumdivc  15730  fsumdivc  15752  trirecip  15829  geo2sum  15839  geo2lim  15841  prodfdiv  15862  ege2le3  16056  eftlub  16077  eirrlem  16172  prmreclem4  16890  m1expaddsub  19428  abvdiv  20738  cnsubrg  21344  nmdvr  24558  nmoi2  24618  cphdivcl  25082  ipcau2  25134  divcncf  25348  ovolsca  25416  dvmptdiv  25878  dvsincos  25885  plyeq0lem  26115  plydivlem4  26204  aalioulem4  26243  geolim3  26247  aaliou3lem8  26253  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  advlogexp  26564  cxpsub  26591  divcxp  26596  dvcxp1  26649  dvcncxp1  26652  relogbdiv  26689  lawcoslem1  26725  dvatan  26845  leibpi  26852  log2tlbnd  26855  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem4  26942  basellem8  26998  chebbnd1  27383  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrmusumlema  27404  dchrisum0lema  27425  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrmusumlem  27433  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  logdivsum  27444  mulog2sumlem1  27445  vmalogdivsum2  27449  2vmadivsumlem  27451  log2sumbnd  27455  logdivbnd  27467  selberg4lem1  27471  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem6  27494  pntpbnd2  27498  smcnlem  30626  ipasslem5  30764  constrresqrtcl  33767  cos9thpiminplylem2  33773  omssubadd  34291  logdivsqrle  34641  knoppndvlem14  36513  dvtan  37664  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  lcmineqlem5  42021  lcmineqlem16  42032  dvrelogpow2b  42056  irrapxlem5  42814  pell14qrdivcl  42853  hashnzfzclim  44311  binomcxplemnotnn0  44345  ltdiv23neg  45390  climdivf  45610  divlimc  45654  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnxpaek  45940  stoweidlem36  46034  wallispi  46068  stirlinglem7  46078  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  fourierdlem39  46144  fourierdlem40  46145  fourierdlem56  46160  fourierdlem62  46166  fourierdlem78  46182  fourierdlem83  46187  fourierdlem95  46199  smfdiv  46795  dignn0flhalflem1  48604  amgmlemALT  49792  young2d  49794