Theorem divrecd 12025

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   / cdiv 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900

This theorem is referenced by:  prodgt0  12093  ltdiv1  12111  ltrec  12129  lediv12a  12140  expsub  14133  expdiv  14136  rlimdiv  15667  isumdivc  15785  fsumdivc  15807  trirecip  15884  geo2sum  15894  geo2lim  15896  prodfdiv  15917  ege2le3  16111  eftlub  16132  eirrlem  16227  prmreclem4  16944  m1expaddsub  19484  abvdiv  20794  cnsubrg  21400  nmdvr  24614  nmoi2  24674  cphdivcl  25139  ipcau2  25191  divcncf  25405  ovolsca  25473  dvmptdiv  25935  dvsincos  25942  plyeq0lem  26172  plydivlem4  26261  aalioulem4  26300  geolim3  26304  aaliou3lem8  26310  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  advlogexp  26621  cxpsub  26648  divcxp  26653  dvcxp1  26706  dvcncxp1  26709  relogbdiv  26746  lawcoslem1  26782  dvatan  26902  leibpi  26909  log2tlbnd  26912  fsumharmonic  26979  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem4  26999  basellem8  27055  chebbnd1  27440  rplogsumlem2  27453  rpvmasumlem  27455  dchrmusumlema  27461  dchrisum0lema  27482  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  dchrisum0lem2  27486  dchrmusumlem  27490  mulogsumlem  27499  mulogsum  27500  logdivsum  27501  mulog2sumlem1  27502  vmalogdivsum2  27506  2vmadivsumlem  27508  log2sumbnd  27512  logdivbnd  27524  selberg4lem1  27528  selberg34r  27539  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem6  27551  pntpbnd2  27555  smcnlem  30683  ipasslem5  30821  constrresqrtcl  33816  cos9thpiminplylem2  33822  omssubadd  34337  logdivsqrle  34687  knoppndvlem14  36548  dvtan  37699  areacirclem1  37737  areacirclem4  37740  lcmineqlem5  42051  lcmineqlem16  42062  dvrelogpow2b  42086  irrapxlem5  42824  pell14qrdivcl  42863  hashnzfzclim  44321  binomcxplemnotnn0  44355  ltdiv23neg  45401  climdivf  45621  divlimc  45665  ioodvbdlimc1lem2  45941  ioodvbdlimc2lem  45943  dvnxpaek  45951  stoweidlem36  46045  wallispi  46079  stirlinglem7  46089  dirkercncflem2  46113  dirkercncflem4  46115  fourierdlem39  46155  fourierdlem40  46156  fourierdlem56  46171  fourierdlem62  46177  fourierdlem78  46193  fourierdlem83  46198  fourierdlem95  46210  smfdiv  46806  dignn0flhalflem1  48575  amgmlemALT  49647  young2d  49649