Theorem divrecd 11156

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1439	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279   / cdiv 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035

This theorem is referenced by:  prodgt0  11224  ltdiv1  11243  ltrec  11261  lediv12a  11272  expsub  13230  expdiv  13233  rlimdiv  14788  isumdivc  14904  fsumdivc  14926  trirecip  15003  geo2sum  15012  geo2lim  15014  prodfdiv  15035  ege2le3  15226  eftlub  15245  eirrlem  15340  prmreclem4  16031  m1expaddsub  18306  abvdiv  19233  cnsubrg  20206  nmdvr  22886  nmoi2  22946  cphdivcl  23393  ipcau2  23444  divcncf  23655  ovolsca  23723  dvmptdiv  24178  dvsincos  24185  plyeq0lem  24407  plydivlem4  24492  aalioulem4  24531  geolim3  24535  aaliou3lem8  24541  taylthlem2  24569  advlogexp  24842  cxpsub  24869  divcxp  24874  dvcxp1  24925  dvcncxp1  24928  relogbdiv  24961  lawcoslem1  24997  dvatan  25117  leibpi  25125  log2tlbnd  25128  fsumharmonic  25194  lgamgulmlem2  25212  lgamgulmlem3  25213  lgamgulmlem4  25214  basellem8  25270  chebbnd1  25617  rplogsumlem2  25630  rpvmasumlem  25632  dchrmusumlema  25638  dchrisum0lema  25659  dchrisum0lem1  25661  dchrisum0lem2a  25662  dchrisum0lem2  25663  dchrmusumlem  25667  mulogsumlem  25676  mulogsum  25677  logdivsum  25678  mulog2sumlem1  25679  vmalogdivsum2  25683  2vmadivsumlem  25685  log2sumbnd  25689  logdivbnd  25701  selberg4lem1  25705  selberg34r  25716  pntrlog2bndlem2  25723  pntrlog2bndlem4  25725  pntrlog2bndlem6  25728  pntpbnd2  25732  smcnlem  28128  ipasslem5  28266  omssubadd  30964  logdivsqrle  31334  knoppndvlem14  33102  dvtan  34090  areacirclem1  34130  areacirclem4  34133  irrapxlem5  38360  pell14qrdivcl  38399  hashnzfzclim  39487  binomcxplemnotnn0  39521  ltdiv23neg  40533  climdivf  40762  divlimc  40806  ioodvbdlimc1lem2  41085  ioodvbdlimc2lem  41087  dvnxpaek  41095  stoweidlem36  41190  wallispi  41224  stirlinglem7  41234  dirkercncflem2  41258  dirkercncflem4  41260  fourierdlem39  41300  fourierdlem40  41301  fourierdlem56  41316  fourierdlem62  41322  fourierdlem78  41338  fourierdlem83  41343  fourierdlem95  41355  smfdiv  41941  dignn0flhalflem1  43434  amgmlemALT  43665  young2d  43667