Theorem divrecd 12123

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 12017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  prodgt0  12191  ltdiv1  12208  ltrec  12226  lediv12a  12237  expsub  14280  expdiv  14283  rlimdiv  15842  isumdivc  15959  fsumdivc  15981  trirecip  16061  geo2sum  16071  geo2lim  16073  prodfdiv  16094  ege2le3  16285  eftlub  16306  eirrlem  16401  prmreclem4  17126  m1expaddsub  19742  abvdiv  21116  cnsubrg  21763  nmdvr  25019  nmoi2  25079  cphdivcl  25533  ipcau2  25585  divcncf  25798  ovolsca  25866  dvmptdiv  26324  dvsincos  26331  plyeq0lem  26559  plydivlem4  26647  aalioulem4  26692  geolim3  26696  aaliou3lem8  26702  taylthlem2  26731  advlogexp  27013  cxpsub  27040  divcxp  27045  dvcxp1  27098  dvcncxp1  27101  relogbdiv  27137  lawcoslem1  27173  dvatan  27293  leibpi  27300  log2tlbnd  27303  fsumharmonic  27369  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem3  27388  lgamgulmlem4  27389  basellem8  27445  chebbnd1  27829  rplogsumlem2  27842  rpvmasumlem  27844  dchrmusumlema  27850  dchrisum0lema  27871  dchrisum0lem1  27873  dchrisum0lem2a  27874  dchrisum0lem2  27875  dchrmusumlem  27879  mulogsumlem  27888  mulogsum  27889  logdivsum  27890  mulog2sumlem1  27891  vmalogdivsum2  27895  2vmadivsumlem  27897  log2sumbnd  27901  logdivbnd  27913  selberg4lem1  27917  selberg34r  27928  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem6  27940  pntpbnd2  27944  smcnlem  31329  ipasslem5  31467  constrresqrtcl  34479  cos9thpiminplylem2  34485  omssubadd  35002  logdivsqrle  35349  knoppndvlem14  37569  dvtan  38780  areacirclem1  38818  areacirclem4  38821  lcmineqlem5  43275  lcmineqlem16  43286  dvrelogpow2b  43310  irrapxlem5  44026  pell14qrdivcl  44065  hashnzfzclim  45498  binomcxplemnotnn0  45532  ltdiv23neg  46610  climdivf  46829  divlimc  46871  ioodvbdlimc1lem2  47147  ioodvbdlimc2lem  47149  dvnxpaek  47157  stoweidlem36  47251  wallispi  47285  stirlinglem7  47295  dirkercncflem2  47319  dirkercncflem4  47321  fourierdlem39  47361  fourierdlem40  47362  fourierdlem56  47377  fourierdlem62  47383  fourierdlem78  47399  fourierdlem83  47404  fourierdlem95  47416  smfdiv  48012  dignn0flhalflem1  49932  amgmlemALT  51268  young2d  51270