Theorem divrecd 11967

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  prodgt0  12035  ltdiv1  12053  ltrec  12071  lediv12a  12082  expsub  14120  expdiv  14123  rlimdiv  15656  isumdivc  15774  fsumdivc  15796  trirecip  15876  geo2sum  15886  geo2lim  15888  prodfdiv  15909  ege2le3  16103  eftlub  16124  eirrlem  16219  prmreclem4  16938  m1expaddsub  19521  abvdiv  20858  cnsubrg  21459  nmdvr  24710  nmoi2  24770  cphdivcl  25224  ipcau2  25276  divcncf  25489  ovolsca  25557  dvmptdiv  26016  dvsincos  26023  plyeq0lem  26250  plydivlem4  26337  aalioulem4  26376  geolim3  26380  aaliou3lem8  26386  taylthlem2  26414  advlogexp  26697  cxpsub  26724  divcxp  26729  dvcxp1  26782  dvcncxp1  26785  relogbdiv  26821  lawcoslem1  26857  dvatan  26977  leibpi  26984  log2tlbnd  26987  fsumharmonic  27053  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem3  27072  lgamgulmlem4  27073  basellem8  27129  chebbnd1  27513  rplogsumlem2  27526  rpvmasumlem  27528  dchrmusumlema  27534  dchrisum0lema  27555  dchrisum0lem1  27557  dchrisum0lem2a  27558  dchrisum0lem2  27559  dchrmusumlem  27563  mulogsumlem  27572  mulogsum  27573  logdivsum  27574  mulog2sumlem1  27575  vmalogdivsum2  27579  2vmadivsumlem  27581  log2sumbnd  27585  logdivbnd  27597  selberg4lem1  27601  selberg34r  27612  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem4  27621  pntrlog2bndlem6  27624  pntpbnd2  27628  smcnlem  30846  ipasslem5  30984  constrresqrtcl  34035  cos9thpiminplylem2  34041  omssubadd  34558  logdivsqrle  34908  knoppndvlem14  36927  dvtan  38133  areacirclem1  38171  areacirclem4  38174  lcmineqlem5  42614  lcmineqlem16  42625  dvrelogpow2b  42649  irrapxlem5  43367  pell14qrdivcl  43406  hashnzfzclim  44862  binomcxplemnotnn0  44896  ltdiv23neg  45933  climdivf  46152  divlimc  46194  ioodvbdlimc1lem2  46470  ioodvbdlimc2lem  46472  dvnxpaek  46480  stoweidlem36  46574  wallispi  46608  stirlinglem7  46618  dirkercncflem2  46642  dirkercncflem4  46644  fourierdlem39  46684  fourierdlem40  46685  fourierdlem56  46700  fourierdlem62  46706  fourierdlem78  46722  fourierdlem83  46727  fourierdlem95  46739  smfdiv  47335  dignn0flhalflem1  49201  amgmlemALT  50388  young2d  50390