Theorem divrecd 11968

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  prodgt0  12036  ltdiv1  12054  ltrec  12072  lediv12a  12083  expsub  14082  expdiv  14085  rlimdiv  15619  isumdivc  15737  fsumdivc  15759  trirecip  15836  geo2sum  15846  geo2lim  15848  prodfdiv  15869  ege2le3  16063  eftlub  16084  eirrlem  16179  prmreclem4  16897  m1expaddsub  19435  abvdiv  20745  cnsubrg  21351  nmdvr  24565  nmoi2  24625  cphdivcl  25089  ipcau2  25141  divcncf  25355  ovolsca  25423  dvmptdiv  25885  dvsincos  25892  plyeq0lem  26122  plydivlem4  26211  aalioulem4  26250  geolim3  26254  aaliou3lem8  26260  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  advlogexp  26571  cxpsub  26598  divcxp  26603  dvcxp1  26656  dvcncxp1  26659  relogbdiv  26696  lawcoslem1  26732  dvatan  26852  leibpi  26859  log2tlbnd  26862  fsumharmonic  26929  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem4  26949  basellem8  27005  chebbnd1  27390  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrmusumlema  27411  dchrisum0lema  27432  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrmusumlem  27440  mulogsumlem  27449  mulogsum  27450  logdivsum  27451  mulog2sumlem1  27452  vmalogdivsum2  27456  2vmadivsumlem  27458  log2sumbnd  27462  logdivbnd  27474  selberg4lem1  27478  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem6  27501  pntpbnd2  27505  smcnlem  30633  ipasslem5  30771  constrresqrtcl  33774  cos9thpiminplylem2  33780  omssubadd  34298  logdivsqrle  34648  knoppndvlem14  36520  dvtan  37671  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  lcmineqlem5  42028  lcmineqlem16  42039  dvrelogpow2b  42063  irrapxlem5  42821  pell14qrdivcl  42860  hashnzfzclim  44318  binomcxplemnotnn0  44352  ltdiv23neg  45397  climdivf  45617  divlimc  45661  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  dvnxpaek  45947  stoweidlem36  46041  wallispi  46075  stirlinglem7  46085  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem4  46111  fourierdlem39  46151  fourierdlem40  46152  fourierdlem56  46167  fourierdlem62  46173  fourierdlem78  46189  fourierdlem83  46194  fourierdlem95  46206  smfdiv  46802  dignn0flhalflem1  48608  amgmlemALT  49796  young2d  49798