Theorem divrecd 12047

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11939	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   / cdiv 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922

This theorem is referenced by:  prodgt0  12115  ltdiv1  12133  ltrec  12151  lediv12a  12162  expsub  14152  expdiv  14155  rlimdiv  15683  isumdivc  15801  fsumdivc  15823  trirecip  15900  geo2sum  15910  geo2lim  15912  prodfdiv  15933  ege2le3  16127  eftlub  16146  eirrlem  16241  prmreclem4  16958  m1expaddsub  19517  abvdiv  20831  cnsubrg  21446  nmdvr  24692  nmoi2  24752  cphdivcl  25217  ipcau2  25269  divcncf  25483  ovolsca  25551  dvmptdiv  26013  dvsincos  26020  plyeq0lem  26250  plydivlem4  26339  aalioulem4  26378  geolim3  26382  aaliou3lem8  26388  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  advlogexp  26698  cxpsub  26725  divcxp  26730  dvcxp1  26783  dvcncxp1  26786  relogbdiv  26823  lawcoslem1  26859  dvatan  26979  leibpi  26986  log2tlbnd  26989  fsumharmonic  27056  lgamgulmlem2  27074  lgamgulmlem3  27075  lgamgulmlem4  27076  basellem8  27132  chebbnd1  27517  rplogsumlem2  27530  rpvmasumlem  27532  dchrmusumlema  27538  dchrisum0lema  27559  dchrisum0lem1  27561  dchrisum0lem2a  27562  dchrisum0lem2  27563  dchrmusumlem  27567  mulogsumlem  27576  mulogsum  27577  logdivsum  27578  mulog2sumlem1  27579  vmalogdivsum2  27583  2vmadivsumlem  27585  log2sumbnd  27589  logdivbnd  27601  selberg4lem1  27605  selberg34r  27616  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem6  27628  pntpbnd2  27632  smcnlem  30717  ipasslem5  30855  omssubadd  34303  logdivsqrle  34666  knoppndvlem14  36527  dvtan  37678  areacirclem1  37716  areacirclem4  37719  lcmineqlem5  42035  lcmineqlem16  42046  dvrelogpow2b  42070  irrapxlem5  42842  pell14qrdivcl  42881  hashnzfzclim  44346  binomcxplemnotnn0  44380  ltdiv23neg  45410  climdivf  45632  divlimc  45676  ioodvbdlimc1lem2  45952  ioodvbdlimc2lem  45954  dvnxpaek  45962  stoweidlem36  46056  wallispi  46090  stirlinglem7  46100  dirkercncflem2  46124  dirkercncflem4  46126  fourierdlem39  46166  fourierdlem40  46167  fourierdlem56  46182  fourierdlem62  46188  fourierdlem78  46204  fourierdlem83  46209  fourierdlem95  46221  smfdiv  46817  dignn0flhalflem1  48541  amgmlemALT  49377  young2d  49379