Theorem divrecd 12099

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 11993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  prodgt0  12167  ltdiv1  12184  ltrec  12202  lediv12a  12213  expsub  14256  expdiv  14259  rlimdiv  15818  isumdivc  15935  fsumdivc  15957  trirecip  16037  geo2sum  16047  geo2lim  16049  prodfdiv  16070  ege2le3  16261  eftlub  16282  eirrlem  16377  prmreclem4  17102  m1expaddsub  19717  abvdiv  21091  cnsubrg  21738  nmdvr  24994  nmoi2  25054  cphdivcl  25508  ipcau2  25560  divcncf  25773  ovolsca  25841  dvmptdiv  26299  dvsincos  26306  plyeq0lem  26534  plydivlem4  26622  aalioulem4  26667  geolim3  26671  aaliou3lem8  26677  taylthlem2  26706  advlogexp  26988  cxpsub  27015  divcxp  27020  dvcxp1  27073  dvcncxp1  27076  relogbdiv  27112  lawcoslem1  27148  dvatan  27268  leibpi  27275  log2tlbnd  27278  fsumharmonic  27344  lgamgulmlem2  27362  lgamgulmlem3  27363  lgamgulmlem4  27364  basellem8  27420  chebbnd1  27804  rplogsumlem2  27817  rpvmasumlem  27819  dchrmusumlema  27825  dchrisum0lema  27846  dchrisum0lem1  27848  dchrisum0lem2a  27849  dchrisum0lem2  27850  dchrmusumlem  27854  mulogsumlem  27863  mulogsum  27864  logdivsum  27865  mulog2sumlem1  27866  vmalogdivsum2  27870  2vmadivsumlem  27872  log2sumbnd  27876  logdivbnd  27888  selberg4lem1  27892  selberg34r  27903  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem6  27915  pntpbnd2  27919  smcnlem  31304  ipasslem5  31442  constrresqrtcl  34455  cos9thpiminplylem2  34461  omssubadd  34978  logdivsqrle  35325  knoppndvlem14  37483  dvtan  38681  areacirclem1  38719  areacirclem4  38722  lcmineqlem5  43176  lcmineqlem16  43187  dvrelogpow2b  43211  irrapxlem5  43926  pell14qrdivcl  43965  hashnzfzclim  45399  binomcxplemnotnn0  45433  ltdiv23neg  46498  climdivf  46717  divlimc  46759  ioodvbdlimc1lem2  47035  ioodvbdlimc2lem  47037  dvnxpaek  47045  stoweidlem36  47139  wallispi  47173  stirlinglem7  47183  dirkercncflem2  47207  dirkercncflem4  47209  fourierdlem39  47249  fourierdlem40  47250  fourierdlem56  47265  fourierdlem62  47271  fourierdlem78  47287  fourierdlem83  47292  fourierdlem95  47304  smfdiv  47900  dignn0flhalflem1  49820  amgmlemALT  51156  young2d  51158