Theorem lcmineqlem4 42471

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 42473. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
lcmineqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem4	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5088	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2		fzssz 13480	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
3		fzfi 13934	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6		dvdslcmf 16600	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8		1zzd 12558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem4.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		0zd 12536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		lcmineqlem4.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13, 10	zsubcld 12638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
15	9	nnred 12189	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	leidd 11716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
17		fznn 13546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
19	9, 16, 18	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
20		lcmineqlem4.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
21		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	21	addridd 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
23	22	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
24	12	nncnd 12190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
25	9	nncnd 12190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	24, 25	npcand 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)))
29	24, 25	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30		subcl 11392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
32	31, 25	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33		addcom 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
35		eqeq2 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
37	28, 36	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
38	37	pm5.74i 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
39	26, 38	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
40	8, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39	fzadd2d 42418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
41	1, 7, 40	rspcdva 3565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42		fz1ssnn 13509	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
43	42, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44		lcmfnncl 16598	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47		elfznn0 13574	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
49		nnnn0addcl 12467	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
50	9, 48, 49	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51		nndivdvds 16230	. . . 4 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
52	46, 50, 51	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
53	41, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12550	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461   ∥ cdvds 16221  lcmclcmf 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-lcmf 16560

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42473