Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem4 41204
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 41206. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3 (𝜑𝑀𝑁)
lcmineqlem4.4 (𝜑𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem4 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . . 4 (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2 fzssz 13508 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ ℤ
3 fzfi 13942 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
42, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6 dvdslcmf 16573 . . . . 5 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8 1zzd 12598 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9 lcmineqlem4.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12590 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 0zd 12575 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 lcmineqlem4.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1312nnzd 12590 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1413, 10zsubcld 12676 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
159nnred 12232 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1615leidd 11785 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑀)
17 fznn 13574 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑀)))
1810, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑀)))
199, 16, 18mpbir2and 710 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
20 lcmineqlem4.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
21 1cnd 11214 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2221addridd 11419 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 0) = 1)
2322eqcomd 2737 . . . . 5 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
2412nncnd 12233 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
259nncnd 12233 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2624, 25npcand 11580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2924, 25jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30 subcl 11464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
3231, 25jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33 addcom 11405 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
35 eqeq2 2743 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3728, 36bitrd 278 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3837pm5.74i 270 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3926, 38mpbi 229 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
408, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39fzadd2d 41150 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
411, 7, 40rspcdva 3614 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42 fz1ssnn 13537 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ ℕ
4342, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44 lcmfnncl 16571 . . . . . 6 (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5 (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
4645a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47 elfznn0 13599 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4820, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
49 nnnn0addcl 12507 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
509, 48, 49syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51 nndivdvds 16211 . . . 4 (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
5246, 50, 51syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
5341, 52mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
5453nnzd 12590 1 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wss 3949   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  cle 11254  cmin 11449   / cdiv 11876  cn 12217  0cn0 12477  cz 12563  ...cfz 13489  cdvds 16202  lcmclcmf 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-prod 15855  df-dvds 16203  df-lcmf 16533
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  41206
  Copyright terms: Public domain W3C validator