Theorem lcmineqlem4 41989

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 41991. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
lcmineqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem4	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5169	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2		fzssz 13586	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
3		fzfi 14023	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6		dvdslcmf 16678	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8		1zzd 12674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem4.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		0zd 12651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		lcmineqlem4.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13, 10	zsubcld 12752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
15	9	nnred 12308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	leidd 11856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
17		fznn 13652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
19	9, 16, 18	mpbir2and 712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
20		lcmineqlem4.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
21		1cnd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	21	addridd 11490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
23	22	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
24	12	nncnd 12309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
25	9	nncnd 12309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	24, 25	npcand 11651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27		eqcom 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)))
29	24, 25	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30		subcl 11535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
32	31, 25	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33		addcom 11476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
35		eqeq2 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
37	28, 36	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
38	37	pm5.74i 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
39	26, 38	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
40	8, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39	fzadd2d 41934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
41	1, 7, 40	rspcdva 3636	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42		fz1ssnn 13615	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
43	42, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44		lcmfnncl 16676	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47		elfznn0 13677	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
49		nnnn0addcl 12583	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
50	9, 48, 49	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51		nndivdvds 16311	. . . 4 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
52	46, 50, 51	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
53	41, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12666	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567   ∥ cdvds 16302  lcmclcmf 16636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-prod 15952  df-dvds 16303  df-lcmf 16638

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  41991