Theorem lcmineqlem4 42027

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 42029. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
lcmineqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem4	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5113	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2		fzssz 13494	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
3		fzfi 13944	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6		dvdslcmf 16608	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8		1zzd 12571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem4.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		0zd 12548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		lcmineqlem4.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13, 10	zsubcld 12650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
15	9	nnred 12208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	leidd 11751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
17		fznn 13560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
19	9, 16, 18	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
20		lcmineqlem4.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
21		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	21	addridd 11381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
23	22	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
24	12	nncnd 12209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
25	9	nncnd 12209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	24, 25	npcand 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27		eqcom 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)))
29	24, 25	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30		subcl 11427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
32	31, 25	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33		addcom 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
35		eqeq2 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
37	28, 36	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
38	37	pm5.74i 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
39	26, 38	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
40	8, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39	fzadd2d 41973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
41	1, 7, 40	rspcdva 3592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42		fz1ssnn 13523	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
43	42, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44		lcmfnncl 16606	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47		elfznn0 13588	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
49		nnnn0addcl 12479	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
50	9, 48, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51		nndivdvds 16238	. . . 4 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
52	46, 50, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
53	41, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12563	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475   ∥ cdvds 16229  lcmclcmf 16566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-dvds 16230  df-lcmf 16568

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42029