Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem4 40489
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 40491. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3 (𝜑𝑀𝑁)
lcmineqlem4.4 (𝜑𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem4 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5108 . . . 4 (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2 fzssz 13443 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ ℤ
3 fzfi 13877 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
42, 3pm3.2i 471 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6 dvdslcmf 16507 . . . . 5 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8 1zzd 12534 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9 lcmineqlem4.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12526 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 0zd 12511 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 lcmineqlem4.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1312nnzd 12526 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1413, 10zsubcld 12612 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
159nnred 12168 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1615leidd 11721 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑀)
17 fznn 13509 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑀)))
1810, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑀)))
199, 16, 18mpbir2and 711 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
20 lcmineqlem4.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
21 1cnd 11150 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2221addid1d 11355 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 0) = 1)
2322eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
2412nncnd 12169 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
259nncnd 12169 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2624, 25npcand 11516 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27 eqcom 2743 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2924, 25jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30 subcl 11400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
3231, 25jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33 addcom 11341 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
35 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3728, 36bitrd 278 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3837pm5.74i 270 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3926, 38mpbi 229 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
408, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39fzadd2d 40435 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
411, 7, 40rspcdva 3582 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42 fz1ssnn 13472 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ ℕ
4342, 3pm3.2i 471 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44 lcmfnncl 16505 . . . . . 6 (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5 (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
4645a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47 elfznn0 13534 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4820, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
49 nnnn0addcl 12443 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
509, 48, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51 nndivdvds 16145 . . . 4 (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
5246, 50, 51syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
5341, 52mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
5453nnzd 12526 1 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cdvds 16136  lcmclcmf 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-lcmf 16467
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  40491
  Copyright terms: Public domain W3C validator