Theorem lcmineqlem4 40489

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 40491. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
lcmineqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem4	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5108	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2		fzssz 13443	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
3		fzfi 13877	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6		dvdslcmf 16507	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8		1zzd 12534	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem4.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		0zd 12511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		lcmineqlem4.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13, 10	zsubcld 12612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
15	9	nnred 12168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	leidd 11721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
17		fznn 13509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
19	9, 16, 18	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
20		lcmineqlem4.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
21		1cnd 11150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	21	addid1d 11355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
23	22	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
24	12	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
25	9	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	24, 25	npcand 11516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)))
29	24, 25	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30		subcl 11400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
32	31, 25	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33		addcom 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
35		eqeq2 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
37	28, 36	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
38	37	pm5.74i 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
39	26, 38	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
40	8, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39	fzadd2d 40435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
41	1, 7, 40	rspcdva 3582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42		fz1ssnn 13472	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
43	42, 3	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44		lcmfnncl 16505	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47		elfznn0 13534	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
49		nnnn0addcl 12443	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
50	9, 48, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51		nndivdvds 16145	. . . 4 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
52	46, 50, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
53	41, 52	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12526	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ...cfz 13424   ∥ cdvds 16136  lcmclcmf 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-lcmf 16467

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  40491