Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem4 42014
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 42016. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3 (𝜑𝑀𝑁)
lcmineqlem4.4 (𝜑𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem4 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . 4 (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2 fzssz 13563 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ ℤ
3 fzfi 14010 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ Fin
42, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6 dvdslcmf 16665 . . . . 5 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8 1zzd 12646 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9 lcmineqlem4.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 0zd 12623 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 lcmineqlem4.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1312nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1413, 10zsubcld 12725 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
159nnred 12279 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1615leidd 11827 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑀)
17 fznn 13629 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑀)))
1810, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑀)))
199, 16, 18mpbir2and 713 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
20 lcmineqlem4.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
21 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2221addridd 11459 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 0) = 1)
2322eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
2412nncnd 12280 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
259nncnd 12280 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2624, 25npcand 11622 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27 eqcom 2742 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2924, 25jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30 subcl 11505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
3231, 25jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33 addcom 11445 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
35 eqeq2 2747 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3728, 36bitrd 279 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3837pm5.74i 271 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀))))
3926, 38mpbi 230 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (𝑀 + (𝑁𝑀)))
408, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39fzadd2d 41960 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
411, 7, 40rspcdva 3623 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42 fz1ssnn 13592 . . . . . . 7 (1...𝑁) ⊆ ℕ
4342, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44 lcmfnncl 16663 . . . . . 6 (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5 (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
4645a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47 elfznn0 13657 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4820, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
49 nnnn0addcl 12554 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
509, 48, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51 nndivdvds 16296 . . . 4 (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
5246, 50, 51syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
5341, 52mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
5453nnzd 12638 1 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cdvds 16287  lcmclcmf 16623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-lcmf 16625
This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42016
  Copyright terms: Public domain W3C validator