Theorem lcmineqlem4 42005

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. F is found in lcmineqlem6 42007. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
lcmineqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem4	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem lcmineqlem4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5098	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝐾) → (𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2		fzssz 13447	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
3		fzfi 13897	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin))
6		dvdslcmf 16560	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
8		1zzd 12524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem4.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		0zd 12501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		lcmineqlem4.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13, 10	zsubcld 12603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
15	9	nnred 12161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	15	leidd 11704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
17		fznn 13513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
19	9, 16, 18	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
20		lcmineqlem4.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
21		1cnd 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	21	addridd 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
23	22	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
24	12	nncnd 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
25	9	nncnd 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	24, 25	npcand 11497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
27		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)))
29	24, 25	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
30		subcl 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
32	31, 25	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
33		addcom 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
35		eqeq2 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
37	28, 36	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
38	37	pm5.74i 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀))))
39	26, 38	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)))
40	8, 10, 11, 14, 19, 20, 23, 39	fzadd2d 41951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ (1...𝑁))
41	1, 7, 40	rspcdva 3580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
42		fz1ssnn 13476	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
43	42, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
44		lcmfnncl 16558	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
47		elfznn0 13541	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48	20, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
49		nnnn0addcl 12432	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
50	9, 48, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ)
51		nndivdvds 16190	. . . 4 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
52	46, 50, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ))
53	41, 52	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12516	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝐾)) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ...cfz 13428   ∥ cdvds 16181  lcmclcmf 16518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829  df-dvds 16182  df-lcmf 16520

This theorem is referenced by:  lcmineqlem6  42007