Theorem lcmineqlem6 42052

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem6.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem6.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem6	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem6.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem6.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem6.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem6.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem3 42049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
6	5	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
7		fzfid 13996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		fz1ssnn 13577	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
9		fzfi 13995	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
11		lcmfnncl 16653	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
13	12	nncni 12255	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
15		elfzelz 13546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16		m1expcl 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
20		bccl2 14346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	mulcld 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
24	3	nncnd 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
26	15	zcnd 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	25, 27	addcld 11259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℂ)
29		elfznn0 13642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		nnnn0addcl 12536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
32	3, 31	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
33	32	nnne0d 12295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ≠ 0)
34	28, 33	reccld 12015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1 / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℂ)
35	23, 34	mulcld 11260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℂ)
36	7, 14, 35	fsummulc2 15805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
37	6, 36	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
38	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
39	38, 23, 28, 33	lcmineqlem5 42051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
40	39	sumeq2dv 15723	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
41	37, 40	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
42	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
43	20	nnzd 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
45	42, 44	zmulcld 12708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℤ)
46	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
48	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑁)
49		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
50	46, 47, 48, 49	lcmineqlem4 42050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℤ)
51	45, 50	zmulcld 12708	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
52	7, 51	fsumzcl 15756	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
53	41, 52	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   ≤ cle 11275   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  [,]cicc 13370  ...cfz 13529  ↑cexp 14084  Ccbc 14325  Σcsu 15707  lcmclcmf 16613  ∫citg 25576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-symdif 4233  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-prod 15925  df-dvds 16278  df-lcmf 16615  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-cmp 23330  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577  df-itg1 25578  df-itg2 25579  df-ibl 25580  df-itg 25581  df-0p 25628  df-limc 25824  df-dv 25825

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42061