Theorem lcmineqlem6 42147

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem6.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem6.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem6	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem6.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem6.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem6.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem6.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem3 42144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
6	5	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
7		fzfid 13882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		fz1ssnn 13457	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
9		fzfi 13881	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
11		lcmfnncl 16542	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
13	12	nncni 12142	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
15		elfzelz 13426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16		m1expcl 13995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
20		bccl2 14232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	mulcld 11139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
24	3	nncnd 12148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
26	15	zcnd 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	25, 27	addcld 11138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℂ)
29		elfznn0 13522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		nnnn0addcl 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
32	3, 31	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
33	32	nnne0d 12182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ≠ 0)
34	28, 33	reccld 11897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1 / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℂ)
35	23, 34	mulcld 11139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℂ)
36	7, 14, 35	fsummulc2 15693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
37	6, 36	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
38	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
39	38, 23, 28, 33	lcmineqlem5 42146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
40	39	sumeq2dv 15611	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
41	37, 40	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
42	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
43	20	nnzd 12501	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
45	42, 44	zmulcld 12589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℤ)
46	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
48	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑁)
49		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
50	46, 47, 48, 49	lcmineqlem4 42145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℤ)
51	45, 50	zmulcld 12589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
52	7, 51	fsumzcl 15644	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
53	41, 52	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   ≤ cle 11154   − cmin 11351  -cneg 11352   / cdiv 11781  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  [,]cicc 13250  ...cfz 13409  ↑cexp 13970  Ccbc 14211  Σcsu 15595  lcmclcmf 16502  ∫citg 25547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-prod 15813  df-dvds 16166  df-lcmf 16504  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-cmp 23303  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548  df-itg1 25549  df-itg2 25550  df-ibl 25551  df-itg 25552  df-0p 25599  df-limc 25795  df-dv 25796

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42156