Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem6 40520
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem6.1 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
lcmineqlem6.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem6.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem6.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem6 (๐œ‘ โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ๐น) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lcmineqlem6
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem6.1 . . . . . 6 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
2 lcmineqlem6.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 lcmineqlem6.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4 lcmineqlem6.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
51, 2, 3, 4lcmineqlem3 40517 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜))))
65oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ๐น) = ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)))))
7 fzfid 13885 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ Fin)
8 fz1ssnn 13479 . . . . . . . . 9 (1...๐‘) โŠ† โ„•
9 fzfi 13884 . . . . . . . . 9 (1...๐‘) โˆˆ Fin
108, 9pm3.2i 472 . . . . . . . 8 ((1...๐‘) โŠ† โ„• โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin)
11 lcmfnncl 16512 . . . . . . . 8 (((1...๐‘) โŠ† โ„• โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (lcmโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ โ„•)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (lcmโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ โ„•
1312nncni 12170 . . . . . 6 (lcmโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ โ„‚
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (lcmโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ โ„‚)
15 elfzelz 13448 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
16 m1expcl 13999 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12615 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
20 bccl2 14230 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12176 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2221adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2319, 22mulcld 11182 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
243nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2524adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2615zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2726adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2825, 27addcld 11181 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 elfznn0 13541 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
30 nnnn0addcl 12450 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
323, 31sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3332nnne0d 12210 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โ‰  0)
3428, 33reccld 11931 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3523, 34mulcld 11182 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
367, 14, 35fsummulc2 15676 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)))))
376, 36eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ๐น) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)))))
3813a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (lcmโ€˜(1...๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3938, 23, 28, 33lcmineqlem5 40519 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท ((lcmโ€˜(1...๐‘)) / (๐‘€ + ๐‘˜))))
4039sumeq2dv 15595 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (1 / (๐‘€ + ๐‘˜)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท ((lcmโ€˜(1...๐‘)) / (๐‘€ + ๐‘˜))))
4137, 40eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ๐น) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท ((lcmโ€˜(1...๐‘)) / (๐‘€ + ๐‘˜))))
4217adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4320nnzd 12533 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4443adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4542, 44zmulcld 12620 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
462adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
473adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
484adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
49 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
5046, 47, 48, 49lcmineqlem4 40518 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) / (๐‘€ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
5145, 50zmulcld 12620 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท ((lcmโ€˜(1...๐‘)) / (๐‘€ + ๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
527, 51fsumzcl 15627 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท ((lcmโ€˜(1...๐‘)) / (๐‘€ + ๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
5341, 52eqeltrd 2838 1 (๐œ‘ โ†’ ((lcmโ€˜(1...๐‘)) ยท ๐น) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  Ccbc 14209  ฮฃcsu 15577  lcmclcmf 16472  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-lcmf 16474  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  40529
  Copyright terms: Public domain W3C validator