Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem6 40042
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem6.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem6.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem6 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem6.1 . . . . . 6 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem6.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem6.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem6.4 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem3 40039 . . . . 5 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
65oveq2d 7291 . . . 4 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
7 fzfid 13693 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁𝑀)) ∈ Fin)
8 fz1ssnn 13287 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ⊆ ℕ
9 fzfi 13692 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ∈ Fin
108, 9pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
11 lcmfnncl 16334 . . . . . . . 8 (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
1312nncni 11983 . . . . . 6 (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
15 elfzelz 13256 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16 m1expcl 13805 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
1817zcnd 12427 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
20 bccl2 14037 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ)
2120nncnd 11989 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
2319, 22mulcld 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
243nncnd 11989 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
2615zcnd 12427 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
2825, 27addcld 10994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℂ)
29 elfznn0 13349 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30 nnnn0addcl 12263 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3129, 30sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
323, 31sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
3332nnne0d 12023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ≠ 0)
3428, 33reccld 11744 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1 / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℂ)
3523, 34mulcld 10995 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℂ)
367, 14, 35fsummulc2 15496 . . . 4 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
376, 36eqtrd 2778 . . 3 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
3813a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
3938, 23, 28, 33lcmineqlem5 40041 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
4039sumeq2dv 15415 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
4137, 40eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
4217adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
4320nnzd 12425 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
4443adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
4542, 44zmulcld 12432 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) ∈ ℤ)
462adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
473adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
484adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑀𝑁)
49 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
5046, 47, 48, 49lcmineqlem4 40040 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℤ)
5145, 50zmulcld 12432 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
527, 51fsumzcl 15447 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
5341, 52eqeltrd 2839 1 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  [,]cicc 13082  ...cfz 13239  cexp 13782  Ccbc 14016  Σcsu 15397  lcmclcmf 16294  citg 24782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-lcmf 16296  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  40051
  Copyright terms: Public domain W3C validator