Theorem lcmineqlem6 42126

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem6.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem6.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem6.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem6	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem6.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem6.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem6.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem6.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem3 42123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))))
6	5	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
7		fzfid 13880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		fz1ssnn 13455	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
9		fzfi 13879	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
11		lcmfnncl 16540	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
13	12	nncni 12135	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
15		elfzelz 13424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16		m1expcl 13993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
20		bccl2 14230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	mulcld 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
24	3	nncnd 12141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
26	15	zcnd 12578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	25, 27	addcld 11131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℂ)
29		elfznn0 13520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		nnnn0addcl 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
32	3, 31	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ)
33	32	nnne0d 12175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝑘) ≠ 0)
34	28, 33	reccld 11890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1 / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℂ)
35	23, 34	mulcld 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℂ)
36	7, 14, 35	fsummulc2 15691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
37	6, 36	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))))
38	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
39	38, 23, 28, 33	lcmineqlem5 42125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
40	39	sumeq2dv 15609	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((lcm‘(1...𝑁)) · (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (1 / (𝑀 + 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
41	37, 40	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))))
42	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
43	20	nnzd 12495	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℤ)
45	42, 44	zmulcld 12583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℤ)
46	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
47	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
48	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑀 ≤ 𝑁)
49		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
50	46, 47, 48, 49	lcmineqlem4 42124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘)) ∈ ℤ)
51	45, 50	zmulcld 12583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
52	7, 51	fsumzcl 15642	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 + 𝑘))) ∈ ℤ)
53	41, 52	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  [,]cicc 13248  ...cfz 13407  ↑cexp 13968  Ccbc 14209  Σcsu 15593  lcmclcmf 16500  ∫citg 25546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-dvds 16164  df-lcmf 16502  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-mbf 25547  df-itg1 25548  df-itg2 25549  df-ibl 25550  df-itg 25551  df-0p 25598  df-limc 25794  df-dv 25795

This theorem is referenced by:  lcmineqlem15  42135